3.2 《中位数与众数 》课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

中位数和众数 学习目标 1.理解中位数和众数的概念.(重点) 2.会求一组数据的中位数和众数.(难点) 某公司员工的月工资如下: 员工 经理 副经理 职员Ａ 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工Ａ 月工资／元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 (1)该公司员工月平均工资是多少?你是如何计算的? (2)职员C的工资1900元,恰好居于所有员工工资的"正中间"(恰有4人的工资比他高,有4人的工资比他低),我们称它为_________. (3)9个员工中有3个人的工资为1800元,出现的次数最多,我们称它为______. 合作探究 (7000+4400+2400+2000+1900+1800+1800+1800+1200)÷9=2700(元) 中位数 众数 概念学习 中 位 数 的 概 念 : 一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 众 数 的 概 念 : 在例题中,从大到小,1900排在最中间. 在例题中,1800出现了3次,其他数据都只有一次. 平均数,众数,中位数都用于描述一组数据的集中趋势. 概念学习 中位数 Step1：一般的，将n个数据按大小顺序排列， Step2：如果n为奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数， 如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数作为这组数据的中位数。 ①一组数据中，任何一个数的变动都会引起平均数的变动，当数据中存在极端的异常值时，平均数就不是一个很好的代表值了。而中位数不受极端值的影响。 ②中位数反映了数据的集中程度，也反映了数据的中间水平。在一组数中，有一半的数据比中位数大，有一半的数据比中位数小。 中位数的意义 (1)为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多? 员工 经理 副经理 职员Ａ 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工Ａ 月工资／元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 议一议 (3)你认为用哪个数据表示员工的平均收入更合适?为什么? (2)平均月薪2700元,能反映该公司员工的平均收入吗?为什么? 因为极端值的影响:经理的工资比普通职员高得多. 不能.由于极端值的影响,平均数的准确性大大降低了. 中位数或众数都可以; 不易受极端值影响. 1.下面两组数据的中位数分别是多少? (1)5，6，2，3，2； (2)5，6，2，4，3，5. 2.下面这组数据的众数是多少？ 5，2，6，7，3，3，4，3，7，6. 小试牛刀 (1)从小到大排序:2,2,3,5,6. 所以中位数是3. (2)从大到小排序:6,5,5,4,3,2. 中位数是(5+4)÷2=4.5 3出现了3次,6和7出现两次,其他都是1次. 所以众数是3. 1.如果一组数据中每个数据出现的次数相同,众数是哪一个? 答:如果每个数据出现的次数相同,可以理解为这组数据没有众数. 2.如果一组数据中有两个数据出现的次数相同且最多,众数是哪一个? 答:如果有两个或多个数据出现的次数相同且最多,则这两个或多个数据都可以看作是这组数据的众数. 合作答疑 现学现练 例1 计算下列各组数的中位数。 （1）4,2,3,1,5,10，11 （2）4,2,3,1,5,10,11,12 （2）-13，-10，-15,7,6,0,0 （3） 概念学习 学生序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 成绩/个 25 24 23 92 22 19 19 19 18 在上面这组数据中，还有一个数字很特殊，你能发现吗？他特殊在哪里？ 发现 在9名同学的立定跳远成绩中，19出现了3次，是出现次数最多的数字。 回答 众数 概念学习 众数 一般的，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作众数。 思考 举例说明，一组数据中众数的个数有那些特殊情况？ ①一组数据的众数可能不止1个。如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数.例如1，2，2，3，3，4的众数是2和3。 回答 ②一组数据也可能没有众数。如果所有数据出现的次数都为1，那么这组数据就没有众数。 现学现练 例2 计算下列各组数的众数。 （1）6,7,8,8,8,13,14,16 （2）0,8,8,9,9,9，10,10 （2）-2，-2，-1,0,1,1,3 （3）-4，-4，-2，-1,0,2,8,9 解：众数为8. 解：众数为9. 解：众数为-2,1. 解：众数为-4. 现学现练 例3 小明统计全班45名学生每天上学路上所用的时间，整理后的数据如下表，求所用时间的中位数、众数。 所用时间/min 5 10 15 20 25 30 合计 人数/名 2 6 14 12 8 3 45 在分组数据中，频数最大的组对应的数是众数。要想确定中位数，先确定中位数所在的位置号，再确定中位数在哪一组当中。 解：最大频数是14，说明15这个数出现的次数最多，众数是15；一共有45个数，排序后最中间的数是第23个， 2+6+14=22， 故第23个数在所用时间为20的这一组中，所以中位数是20. 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列： 如果数据的个数是奇数，那么位于正中间位置的数就是这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数，那么正中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 如果一组数据中有极端数据，中位数比平均数更能合理地反映该组数据的整体水平． 思考：中位数有何意义？ 思考1：中位数怎么确定？ 练一练 下面两组数据的中位数是多少？ （1）5，6，2，3，2 （2）5，6，2，4，3，5 提示：确定中位数要先排序、看奇偶，再计算. 解：（1）中位数是 3. （2）中位数是 4.5. 例1 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得 12 名选手所用的时间（单位：min）如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？ 解：先将样本数据按照由小到大的顺序排列： __________________________________ __________________________________ 这组数据的中位数是__________________________ 的平均数，即 答：样本数据的中位数是______min. 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 处于中间的两个数 146 和 148 147 ____________. (2) 其中一名选手的成绩是 145 min，他的成绩如何？ 解：由（1）知样本数据的中位数为______min，它的意义是：这次马拉松比赛中，大约有______选手的成绩快于 147 min，有______选手的成绩慢于 147 min. 这名选手的成绩是 145 min，_____于中位数，因此可以推测他的成绩比__________选手的成绩好. 147 一半 一半 快 一半以上 2. 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平； 总结归纳 1. 中位数是一个位置代表值(中间数)，它是唯一的； 3. 如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于(含等于)这个中位数的数据各占一半，即反映这组数据的中间水平． 中位数的特征及意义： 数学老师布置了 10 道选择题，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，根据图表，全班每位同学答对的题数的中位数是______. 答对题数 学生数 9 4人 20人 18人 8人 做一做 例2 已知一组数据 10，10，x，8 (由大到小排列) 的中位数与平均数相等，求 x 值及这组数据的中位数. 解：∵ 10，10，x，8 的中位数与平均数相等， ∴ (10 + x)÷2＝ (10 + 10 + x + 8)÷4. 解得 x＝8. (10 + 8)÷2＝9， ∴ 这组数据的中位数是 9. 做一做 一组数据 18，22，15，13，x，7，它的中位数是 16，则 x 的值是_______. 17 分析：这组数据有 6 个，中位数是按大小排序后中间两个数的平均数. 因为 7 < 13 < 15 < 16 < 18 < 22，所以中间两个数必须是 15，x，故 (15 + x)÷2 = 16，即 x = 17. （1）一组数据中可能没有众数，如 1，2，3，4，5，6 中没有众数. （2）一组数据的众数可能不止一个，如 1，1，2，3，3，5 中，众数是 1 和 3. （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是最多的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3. 思考2：众数是否一定唯一？ 归纳总结 它们从不同角度描述了一组数据的“平均水平”. 平均数、中位数和众数有哪些特征? 计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，应用最为广泛. 但它容易受极端值的影响 中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关. 但不能充分利用所有的数据信息. 众数只与其在数据中重复的次数有关，而且可能不是唯一的. 不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义. 谢 谢 大 家 数学 八年级（下） $$