精品解析：贵州省安顺市普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

全市2024-2025学年度第二学期普通高中质量监测考试 高二年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 正十二边形的对角线的条数是（ ） A. 66 B. 54 C. 48 D. 24 4. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A. B. 0.596 C. D. 0.206 6. 某班级组织抽奖活动，共有10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A. 依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B. 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关 8. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于独立事件和互斥事件的说法，正确的是（ ） A. 若两个事件是互斥事件，则这两个事件一定不是对立事件 B. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“掷出的点数为奇数”，事件为“掷出的点数大于4”，则事件与事件是互斥事件 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件是互斥事件，则 10. 已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（ ） A. 各项的二项式系数之和为 B. 含的项的系数为 C. 奇数项的二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项为第项 11. 已知函数在区间上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若有3个零点，则 C. 若，则函数有2个零点 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在点处的切线方程为______． 13. 已知变量与的一组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则______，当时，的预测值为______． 14. 某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． （1）求动点的轨迹的方程． （2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． （1）若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； （2）若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； （3）设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凸函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递减，则称为上的“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凹函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递增，则称为上的“凹函数”． （1）判断函数在上的凹凸性，并说明理由； （2）已知的三个内角分别为，求的最大值； （3）已知在上是凹函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全市2024-2025学年度第二学期普通高中质量监测考试 高二年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布，即可判断答案. 【详解】由散点图可知，并且第一个图中的点更为集中，更贴近某条直线分布， 第三、四个图中的点的分布更为分散， 因此更接近于1，，的绝对值更接近于0，即最大的是. 故选：A 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 3. 正十二边形的对角线的条数是（ ） A. 66 B. 54 C. 48 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】应用组合数计算求解. 【详解】正十二边形的对角线的条数是. 故选：B. 4. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 5. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A. B. 0.596 C. D. 0.206 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 6. 某班级组织抽奖活动，共有10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒． 现甲、乙两名同学依次抽奖，则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是. 故选：A. 7. 某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A. 依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B. 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解析】 【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 8. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【详解】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于独立事件和互斥事件的说法，正确的是（ ） A. 若两个事件是互斥事件，则这两个事件一定不是对立事件 B. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“掷出的点数为奇数”，事件为“掷出的点数大于4”，则事件与事件是互斥事件 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件是互斥事件，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】对A，若两个事件是互斥事件，则这两个事件不一定是对立事件，但若两个事件是对立事件则这两个事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件是两个事件是对立事件的充分不必要条件，A选项错误； 对B，掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“掷出的点数为奇数”，事件为“掷出的点数大于4”，“掷出的点数为5”时事件与事件同时发生，则事件与事件不是互斥事件，B选项错误； 对C，事件与事件相互独立，则，C选项正确； 对D，若事件与事件是互斥事件，则，D选项正确； 故选：CD. 10. 已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（ ） A. 各项的二项式系数之和为 B. 含的项的系数为 C. 奇数项的二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项为第项 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，即可求得各项系数之和，由此解方程得到的值.对于A，利用二项式系数之和的公式求解即可；对于B，写出该二项式展开式的通项，令的指数为求解即可；对于C，利用奇数项的二项式系数之和的公式求解即可；对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项. 【详解】因为的展开式中各项系数之和为，所以令，，即，解得. 对于A，各项的二项式系数之和为，故选项A正确； 对于B，的展开式的通项为，令，解得，，故含的项的系数为，选项B正确； 对于C，奇数项的二项式系数之和为，故选项C正确； 对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，时，中间项是第项，故二项式系数最大项为第项，选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数在区间上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若有3个零点，则 C. 若，则函数有2个零点 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，分析可得函数在上单调递增，进而求解的值即可判断A；利用零点的概念及意义计算判断BC；根据，求解判断D. 【详解】由，则， 当时，，则， 所以函数在上单调递增， 则，故A正确； 对于B，若有3个零点， 则， 因此，故B正确； 对于CD，当时，， 令，得或，所以函数有3个零点，故C错误， 因为， ，且， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算，按照直线方程的点斜式求解. 【详解】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 故答案为： 13. 已知变量与的一组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则______，当时，的预测值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 17 【解析】 【分析】根据回归直线经过样本中心点，代值计算即可. 【详解】由题可知：， 所以，当时，的预测值为. 故答案为：2；17 14. 某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 【答案】62 【解析】 【分析】根据化学竞赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论，结合排列数、组合数计算. 【详解】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由两边同时取倒数可得即可证明，再利用等差数列的通项公式即可求得； （2）由，利用裂项求和即可. 【详解】(1)由可得，即， 又，即，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，即. (2)由于， ∴ . 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据三棱柱的性质，得四边形为平行四边形, 所以，再由线面平行的判定定理即可证明； (2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量为，,由向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，因为分别是的中点， 根据三棱柱的性质，且，所以四边形为平行四边形, 所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意，底面是边长为的正三角形，侧棱，则． 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． （1）求动点的轨迹的方程． （2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案； （2）设直线方程并联立迹的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积的表达式，利用导数可求得其最值，比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 略. 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． （1）若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； （2）若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； （3）设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】（1） （2）采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算. （2）根据题意，分别求出采用五局三胜制和三局两胜制甲最终获胜的概率，列式运算得解. （3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值. 【小问1详解】 设事件为“比赛采用三局两胜制乙获胜”． 因为每局比赛乙获胜的概率为， 所以． 【小问2详解】 在五局三胜制中甲获胜的概率． 在三局两胜制中甲获胜的概率． ． 当时，，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大． 【小问3详解】 根据二项分布得，可知． 令，则． 令，解得，当时，可得； 令，解得，当时，可得． 故当时，最大，即时，的值最大，所以的估计值为10． 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凸函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递减，则称为上的“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凹函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递增，则称为上的“凹函数”． （1）判断函数在上的凹凸性，并说明理由； （2）已知的三个内角分别为，求的最大值； （3）已知在上是凹函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）为上的凸函数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数凹凸性和函数单调性及函数导数与单调性之间的关系，判断函数的凹凸性； （2）根据为凸函数和凸函数的性质，根据三个角的关系，列出不等式，求出最大值； （3）根据函数的凹凸性,判断函数的单调性，根据单调性求出导函数的值域，列出关于参数的不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 为上的凸函数． 因为，所以， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减． 故为上的凸函数． 【小问2详解】 由（1）知为上的凸函数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 所以的最大值为，当且仅当时，等号成立． 【小问3详解】 因为， 所以， 令，则， 因为在区间上为“凹函数”， 所以，即． 令， 则． 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $