1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．处可填 B．处可填 C．处可填 D．处可填 3．如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（    ） A．30° B．20° C．15° D．10° 4．如图，在 中，下列结论中错误的是（ ） A．当时， 是菱形 B．当时， 是矩形 C．当平分 时， 是菱形 D．当时， 是正方形 5．如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 6．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将三角形沿所在直线折叠到三角形，延长交边于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 8．如图，E为正方形中边上的一点，且，，M，N分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（  ）    A．8 B．8 C．8 D．12 二、填空题 9．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接．若，则的长为 ． 10．如图，在边长为5的正方形中，为的中点，为的中点，连接交于点，连接，则的长为 ． 11．如图，在正方形中，为的中点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点为的中点，连接．若，则的长为 ． 12．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为 ． 13．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ． 14．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为 ．（用含的代数式表示） 三、解答题 15．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．    16．如图，已知在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，. （1） 求证：. （2） 当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由. 17．如图，M为正方形内一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 18．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 参考答案 1．【答案】B 【分析】理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意； B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意； C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意； D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意． 故选B． 2．【答案】A 【分析】菱形、矩形、正方形的判定，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵一组对边相等是平行四边形的性质， ∴选项符合题意， ∵一组邻边互相垂直的菱形是正方形， ∴选项不符合题意， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴选项不符合题意， ∵一组邻边相等的矩形是正方形， ∴选项不符合题意， 故选． 3．【答案】C 【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案． 【详解】四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， 故选C． 4．【答案】D 【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， 是菱形，故本选项正确，不符合题意； B、当时，， 是矩形，故本选项正确，不符合题意； C、当平分 时，，所以，则 是菱形，故本选项正确，不符合题意； D、当时， 是矩形，故本选项错误，符合题意； 故选D 5．【答案】B 【分析】连接，过M作交于F，交于G，作交于H，证明，根据勾股定理得到，设，由等面积法求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过M作交于F，交于G，作交于H， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在边长为8的正方形中，点E是边的中点， ∴， 解得：， 设， ∵， ∴ 解得： ∴， 故选B． 6．【答案】D 【分析】根据正方形的性质和直角三角形性质，可得，得，然后由轴对称的性质得到，进一步推得． 【详解】∵正方形中，，且， ∴， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴． 故选D． 7．【答案】A 【分析】根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 【关键点拨】直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 8．【答案】C 【分析】由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，由可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为， ∴． 故选C． 9．【答案】1 【分析】先根据正方形的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵点E是的中点，， ∴. 10．【答案】 【分析】过点作，垂足为，容易证明，进而可得，再利用，求出，进而求出可得，由面积法求出，结合勾股定理即可求出，，由，即可解题． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在边长为5的正方形中， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，. 11．【答案】 【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵为的中点，为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵在正方形中， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∴ ∴． 12．【答案】 【分析】分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长． 【详解】解：如图：分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O， ∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 又∵H是AF的中点， ∴CH＝HF， ∵EC＝EF， ∴点H和点E都在线段CF的中垂线上， ∴HE是CF的中垂线， ∴点H和点O是线段AF和CF的中点， ∴OH＝AC， 在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3， ∴AC＝， ∴CF＝3， 又OE是等腰直角△CEF斜边上的高， ∴OE＝， ∴HE＝HO＋OE＝2． 13．【答案】 【分析】由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是. 14．【答案】 【分析】连接 ，过点作交延长线于点，则，由为等腰直角三角形，则，，所以，又四边形是正方形，则，即有，然后下面，故有，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，然后通过是的角平分线，即点在的角平分线上运动，则点在的延长线上，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，过点作交延长线于点，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在的射线上运动，作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，即点在的角平分线上运动， ∴点在的延长线上， 当三点共线时，最小， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， ∴此时的周长为. 15．【答案】（1）证明见解析（2）菱形 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【详解】：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS） （2）如图，连接AC，      四边形AECF是菱形． 理由：在正方形ABCD中， OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 16．【答案】 （1） 【证明】 四边形是菱形， ，. 点，，分别为，，的中点， . 在和中， . （2） 【解】当时，四边形是正方形.理由如下： ,,分别为,,的中点，,,,, ,， 四边形是菱形. ，，， ， 四边形是正方形. 17．【答案】（1） （2）①，见详解；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，得出，设，在四边形中，根据四边形内角和即可解得，即可求解； （2）①过作， 且， 连接交于点， 连接．根据四边形为正方形，得出结合， 且，证出四边形为平行四边形，得出， 且，由（1）知，得出，证明，得出，即，在等腰中 ，根据勾股定理得出，即可证出； ②根据题意以及①可得，得出，根据勾股定理得出，根据，得出垂直平分线段，根据等面积法得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理算出，再算出，由①得，证明，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ， ， ， ∴可设， 在四边形中，， 解得：， 则：； （2）解：①过作， 且， 连接交于点， 连接． ∵四边形为正方形， ∴ ∵， 且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰中 ，， ； ②根据题意以及①可得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴． 18．【答案】（1） （2）见详解 （3）①见详解；② 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件，得出三角形的外角的性质即可求解； （2）连接，证明得出，，进而可得，等量代换，即可得证； （3）①根据题意补全图形，即可求解； ②连接，延长交于点，连接，证明是的中位线，得出，进而证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ （2）连接， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）①补全图形如图， ②如图，连接，延长交于点，连接， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵是正方形，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$