精品解析：甘肃省平凉市三校2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期 期末考试试题 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息. 3.所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算表示，结合复数的模长公式可得结果. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，利用交集概念求出答案. 【详解】， 所以. 故选：A 3. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称且对称轴为轴，即可得处答案. 【详解】由题意得出 由于函数是偶函数，则 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题. 4. 如图，正方体中，、分别是边和的中点，则和所成的角是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线平移和直线相交，找到异面直线与所成的角，解三角形即可求得结果． 【详解】如图，取的中点，连接，， 在正方体中，设正方体边长为2， 易证（或补角）为异面直线与所成的角， 在中，，，， 由余弦定理得，即， 所以异面直线与所成的角为. 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题． 5. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用差角的正切公式求得，结合角的象限求出角的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得. 【详解】由可得，解得， 因为是第四象限角，所以，， 由解得 所以. 故选：D. 6. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得 选B. 7. 深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论. 【详解】设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”， 表示“甲球员担当组织后卫”， 表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”. 根据题意，则 ． 所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：. 故选：C． 8. 已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的垂直关系得到过F与第一象限的渐近线垂直的直线方程，分别代入两渐近线方程，得到关于M,N的纵坐标的方程，利用得到M,N的纵坐标的关系，两者联系，得到关于a,b的方程，化为a,c的方程，即可求得离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为,过与此渐近线垂直的直线方程为：, 联立求得,，① 代入渐近线中，得到,,②， ∵，∴,∴， 整理得：, 结合，整理可得， 即离心率. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 圆关于直线对称 C. 若直线被圆截得的弦长为，则 D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 10. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得A正确；由，两边配方可得B正确；利用，展开后，利用基本不等式可判定C错误；将平方后，利用A的结论可以判定D正确. 【详解】∵是正实数，∴， ∵，∴， ∴，当且仅当时取等号， 故A正确； 由，∴， ∴，当且仅当时取等号，故B正确； ， 当且仅当时取等号；故C错误； ∵， ∴，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两个动点，且三点不共线，抛物线在两点处的切线分别为在上的射影点分别为，则（ ） A. 点关于的对称点在上 B. 点在上 C. 点为的外心 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质及定义知，从而的垂直平分线为，的垂直平分线为，即可判断选项AC，再利用三点共线时，得到点在上和判断BD. 【详解】 如图：由抛物线定义知，，，根据抛物线的光学性质知： 从F发出的光线经抛物线的反射光线AD、BC与y轴平行， 又抛物线在两点处的切线分别为， 结合平行线性质及对顶角相等得， 即的垂直平分线为，的垂直平分线为， 所以，，所以点为的外心，故选项C正确； 点关于的对称点在上，故选项A正确； 假设三点共线，设，，直线AB方程为， 因为，即，所以，所以，， 所以的方程分别为，， 即，， 联立，所以，所以， 则 ，所以， 则当三点共线时，点落在， 当三点不共线时，取,则的方程分别为，， 交点为,不在上，所以选项B错误； 当三点共线时，， 当时，直线AB方程为，直线FT方程为，此时， 当时，，此时， 故只有三点共线时，有， 当三点不共线时，取,则的方程分别为，， 交点为,FT⊥AB不成立，故选项D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：抛物线的切线相关结论：抛物线C：的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线相交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，则点G在抛物线的准线上，且GF⊥AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，的夹角为，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】，利用向量数量积计算结果. 【详解】向量，的夹角为，，，有， 则. 故答案为：. 13. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二项分布均值公式即可求解. 【详解】每一次拿球拿到黄球的概率是，则， 所以. 故答案为：2 14. 对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得，从而可得，讨论，或，再求出的单调递增区间，只需是单调递增区间的子集即可求解. 【详解】，， 由正弦函数的性质，的每个增区间的长度为，其中函数的最小正周期为. 函数在区间上单调地藏，可得，即. ①当时，此时，单调递增， 当，单调递增， 解得， 只需， 从而可得， 解得对成立， 则，即， 由，解得，，. 所以，； ②当时，函数为常函数，不合乎题意； ③当时，，单调递减， 由， 解得对成立， 可得，解得对成立， 于是，即， 由，解得，由，，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. （1）根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 （2）在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 120 20 140 女性 40 20 60 合计 160 40 200 （2）性别与满意度有关联【解析】 【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求. （2）计算卡方，与临界值比较即可求解. 【小问1详解】 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 120 20 140 女性 40 20 60 合计 160 40 200 【小问2详解】零假设为：性别与满意度无关. 此时. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立. 即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 16. 在数列中，已知，数列为等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式： （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式求解； （2）由等差数列的通项公式求解； （3）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，. 故， 设数列的公差为，则， 所以； 【小问3详解】 ， 即， 所以， 两式相减得， 所以， 所以. 17. 已知点是离心率为的椭圆上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设出点的坐标，得到直线的斜率，将点的坐标代入椭圆方程得到其横纵坐标关系式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由，可得，即①， 将点代入椭圆方程可得②， 由①②可得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意可得在椭圆上，直线和的斜率分别为均存在，设， 则，，则①， 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入①可得，， 所以直线AP和BP的斜率之积为定值. 18. 如图，在边长为8的正方形中，点分别是上的点，，将分别沿折起，使点重合于点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） ， 平面平面， 又平面平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据题意，设与交于点，连接，在平面内作于点，在平面内作于点，连接，即可得到为二面角的平面角，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，连接， 在平面内作于点， 在平面内作于点，连接， 平面平面， 平面 平面平面 平面 平面，又平面， 又平面 平面，又平面， 为二面角的平面角， ， 平面， ， ， ， 即二面角的正弦值为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 由（2）知，当时，有，即， 令，得， ， ， 即. 【解析】 【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得； （2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证. 【小问1详解】 ， 当时，易知，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 令， ，故恒成立，即， ，令，则， 所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减， ，即单调递增， 所以， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又 所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期 期末考试试题 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息. 3.所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，正方体中，、分别是边和的中点，则和所成的角是 A. B. C. D. 5. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 7. 深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7 8. 已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 圆关于直线对称 C. 若直线被圆截得的弦长为，则 D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则 10. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两个动点，且三点不共线，抛物线在两点处的切线分别为在上的射影点分别为，则（ ） A. 点关于的对称点在上 B. 点在上 C. 点为的外心 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，的夹角为，，，则_______． 13. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 14. 对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. （1）根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 （2）在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在数列中，已知，数列为等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式： （3）求数列的前项和. 17. 已知点是离心率为的椭圆上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 18. 如图，在边长为8的正方形中，点分别是上的点，，将分别沿折起，使点重合于点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $