2025年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷

2025年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.足球是全球最具影响力的单项体育运动，它的质量有严格标准，若将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面四个足球的质量最接近标准的是(    ) A. B. C. D. 2.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是(    ) A. B. C. D. 3.2023年，吉林省旅游行业实现了快速增长，全省共接待国内游客314000000人次，同比增长数据314000000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.古语有言“逸一时，误一世”.其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，关于这一组数的众数和中位数分别是(    ) A. 1，1 B. 1， C. 1， D. 4，4 6.估算的值在(    ) A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 8.数轴是认识数形结合的重要工具.如图，完整的数轴上有A、B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则下列数值中符合x取值范围的是(    ) A. B. C. D. 0 9.小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是(    ) A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 10.定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”.下列关于“零和点”的说法中错误的是(    ) A. 函数图象上的“零和点”就是原点 B. 函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C. 函数图象上至少有一个“零和点” D. 函数图象上有且只有一个“零和点” 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在函数中，自变量x的取值范围为______. 12.分解因式：          . 13.关于x的方程的一个根为，则m的值为______. 14.如果从，0，2三个数中任取一个数作为k，则直线不经过第四象限的概率是______. 15.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为______. 16.如图所示的机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______ 17.如图，在平行四边形ABCD中，，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧.两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为______. 18.图1是我国古代提水的器具桔槔éā，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿小竹竿始终与地面垂直，小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，当水桶在井里时，如图2，此支点O到小竹竿AC的距离是______米结果精确到米；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至的位置，小竹竿AC至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是______米精确到米参考数据： 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算： 20.本小题6分 先化简，再求值：，其中 21.本小题8分 为落实“劳动”课程，激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的劳动活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选其中一门.现随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图： 请根据图表信息回答下列问题： 求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图； 本校共有900名学生，若每间活动教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间. 22.本小题8分 如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌米数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离. 项目名称 测量学校教学楼标语牌的底部点D到地面的距离 测量工具 测角仪、皮尺等 方案示意图 图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内 测量数据 【数据一】标语长为3米即米； 【数据二】测角仪支架高米； 【数据三】小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为； 【数据四】小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为； 【数据五】小明与小红相距5米. 解决问题 依据他们测量的数据，求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长. 参考数据 23.本小题9分 如图，在中，，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点 求证：AB与相切； 若，，求的面积. 24.本小题9分 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”.为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加减书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍. 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的 【问题解决】 求A，B两种书架的单价； 设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，试求出总费用最少时的购买方案. 25.本小题10分 如图，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点 求抛物线的函数解析式. 在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 若点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标. 26.本小题10分 【问题背景】在学习了三角形的相关知识后，某中学数学兴趣小组的几个同学对等腰直角三角形进行了探究.如图，在中，，，点D，E分别在边AB、AC上不同时在点，连接 【初步感知】如图1，当点D、E分别与点B、C重合时，将线段DE绕点E顺时针方向旋转，得到线段FE，连接试判断四边形ABCF是正方形. 【问题探究】如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转，得到线段FE，连接则AF与BC的位置关系是怎样的？请说明理由. 【拓展延伸】如图3，当点E不与点C重合，且D为AB的中点时，将线段DE绕点E顺时针旋转，得到线段FE，点G是点C关于直线AB的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，，，， 因为， 所以， 所以足球质量最接近标准的是 故选： 先确定各数的绝对值，即可得出答案． 本题主要考查了正负数和绝对值，理解题意是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：从正面看到的平面图形是：. 故选： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3.【答案】B  【解析】解：数据314000000用科学记数法表示为， 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4.【答案】B  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、与不能合并，故此选项不符合题意； D、与不能合并，故此选项不符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：，1，4，5，1，4这一组数中1最多， 众数是1， ，1，4，5，1，4这一组数从小到大排列为：1，1，1，4，4，5， 中位数为， 故选： 根据中位数，众数的定义解答即可． 本题考查了中位数、众数，掌握相关统计量的定义及求法是解决问题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：， ， 的值在2和3之间， 故选： 先根据二次根式的乘法法则进行计算，然后估算计算结果的大小即可． 本题主要考查了二次根式的乘除运算和无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则． 7.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， 故选： 由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由平角定义求出 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出 8.【答案】A  【解析】解：根据题意可知， 解得：， 的值可以是， 故选： 根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案． 本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：如图所示：AB、CD相交于点O， 是烛焰的高，DB是实像的高， ， ∽， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，， ， 故选： 根据证明∽，利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：A、函数图象上的“零和点”就是原点，符合横坐标与纵坐标互为相反数的点，不符合题意； B、当时，，，符合横坐标与纵坐标互为相反数的点，不符合题意； C、函数图象在第一三象限，两个分支以原点为对称轴中心，故不存在“零和点”，原说法错误，符合题意； D、令，则，，原说法正确，不符合题意； 故选： 根据反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得： 故答案为： 根据分母不为0可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 12.【答案】  【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止． 先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解： 故答案为： 13.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得 故答案为： 把代入方程得，然后解关于m的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】解：列表如下： k 0 2 2 由表知，共有3种等可能结果，其中一次函数的图象不经过第四象限的有以及有2种结果， 所以直线不经过第四象限的概率是 故答案为： 首先根据题意列表得出所有等可能的结果与所得一次函数的图象不经过第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 本题主要考查概率公式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 15.【答案】  【解析】解：连接OB， 边PA、PB分别与相切于点A、B， ， ， ， ，， ， 故答案为： 连接OB，根据切线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16.【答案】6  【解析】解：设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，， 答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度 故答案为： 利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是关键． 17.【答案】2  【解析】解：由作图过程可知，BE为的平分线， 四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， ， 故答案为： 由作图过程可知，BE为的平分线，可得由平行四边形的性质可得，则，可得，即，进而可得 本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键． 18.【答案】    【解析】解：如图2：作于点M，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，O为AB的中点， 米， 米， 如图3：作于点N，则， 同理可得，， 米， 水桶水平移动的距离为米， 故答案为：， 作于点M，易得AO的长度和的度数，根据AO的长度和的余弦值可得OM的长度，作于点N，同法可得ON的长度，则水桶水平移动的距离为OM与ON的差． 本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段整理到合适的直角三角形中是解决本题的关键． 19.【答案】  【解析】解： 先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20.【答案】，原式  【解析】解： ， 当时，原式 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21.【答案】解：本次被调查的学生人数为人， 样本中“采艾叶”的学生人数为：人， 补全条形统计图如下： 人，， 答：估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要5间．  【解析】从两个统计图可知，样本中“包粽子”的有18人，占调查人数的，即可求出调查人数；求出样本中“采艾叶”的学生人数，即可补全条形统计图； 求出样本中“折纸龙”的学生所占的百分比，估计总体中“折纸龙”的学生所占的百分比，求出总体中“折纸龙”的学生人数，再计算需要的教室的间数． 本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数据之间的关系是正确解答的前提． 22.【答案】标语牌底部点D到地面的距离DH的长约为米．  【解析】解：延长EF交CH于点G，则， 由题意得：米，，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 米， 标语牌底部点D到地面的距离DH的长约为米． 延长EF交CH于点G，则，根据题意可得：米，，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出DG和CG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23.【答案】见解析；     【解析】证明：连接OC， 在中，，C是边AB的中点， ， 以O为圆心的圆过点C， 与相切； 解：，， ， ，C是边AB的中点， ， ， 的面积为： 首先连接OC，然后由，C是边AB的中点，根据三线合一的性质，可证得AB与相切； 首先求得OC的长，继而可求得的面积． 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 24.【答案】A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元；   总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个．  【解析】设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元． 设购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意得：， 解得：， 购买书架的总费用为w元 ， ， 随a的增大而增大， 当时，w取得最小值， 此时，， 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买a个A种书架，则购买个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 25.【答案】；   存在，或；   四边形AOCP的面积有最大值16，此时  【解析】将，代入中， ， 解得， ； 存在点M，使得是以AC为斜边的直角三角形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 是以AC为斜边的直角三角形， ， 解得或， 或； 直线AC的解析式为， 设，则， 四边形AOCP的面积， 当时，四边形AOCP的面积有最大值16，此时 用待定系数法求函数的解析式即可； 设，则，，，由是以AC为斜边的直角三角形，可得，求出m的值即可求解； 设，则，则四边形AOCP的面积，当时，四边形AOCP的面积有最大值16，此时 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理逆定理，割补法求面积是解题的关键． 26.【答案】见解析；   ；     【解析】由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 四边形ABCF是平行四边形， ， 四边形ABCF是正方形； ，理由如下： 如图2，过E作交AB的延长线于点M， 则， ，， 是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质得：，， ， ，即， ≌， ， ， ； 如图3，连接AF、CF，过E作于点M，延长ME交CF于点H， 则， 由可知， ，， 为AB的中点， ， ≌， ， 点G是点C关于直线AB的对称点， ， ， 四边形ABCF是平行四边形， ，， 点G是点C关于直线AB的对称点， ， ， 四边形ABCF是平行四边形， ， 平行四边形ABCF是正方形， ，，， ， ， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ≌， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 先证，再证，则四边形ABCF是平行四边形，即可得出结论； 过E作交AB的延长线于点M，证明≌，得，则，即可得出结论； 连接AF、CF，过E作于点M，延长ME交CF于点H，证四边形ABCF是正方形，得，，，再证≌，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题． 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$