专题02 代数式的有关运算（6大真题考点+7大模拟题型）（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题02 代数式的有关运算 考点一、代数式 1．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 2．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 【答案】 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键． 3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 【答案】 4 1 【详解】答题空1： 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意： 解得： 故答案为：4 答题空2： 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多： 故答案为： 答题空3： 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 故答案为：1 考点二、整式的运算 4．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A. =，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键． 5．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，则“？”是2， 故选：C． 7．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 【答案】D 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意； D. 是一个13位数,正确，符合题意． 故选D． 8．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【详解】（1） （2） 所以． 考点三、乘法公式的应用 12．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 13．（2021·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 【答案】 4 【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为 ∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为：． （2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块． 故答案为：4． 14．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】验证：；论证见解析 【详解】证明：验证：10的一半为5，； 设“发现”中的两个已知正整数为m，n， ∴，其中为偶数， 且其一半正好是两个正整数m和n的平方和， ∴“发现”中的结论正确． 【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键． 考点四、因式分解 15．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 考点五、分式的运算 16．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 17．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 18．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 19．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 ∵x和y互为倒数 ∴ 故选：B 20．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 21．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 考点六、二次根式的性质和运算 22．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解： 故选：B． 23．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 24．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 25．（2021·河北·中考真题）若取1.442，计算的结果是（    ） A．-100 B．-144．2 C．144.2 D．-0.01442 【答案】B 【详解】 故选B． 26．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 专练一、列代数式与代数式求值 27．（2025·河北邢台·三模）下列代数式中，表示“x与1的和的相反数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵x与1的和是， ∴x与1的和的相反数为， 故选B． 28．（2025·河北邯郸·二模）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【详解】解：代数式“”表示的是与的积． 故选：C． 29．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ，， 解得， ， 故选：D． 30．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 31．（2025·河北唐山·二模）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图，则报6的人心里想的数是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：设报6的人心里想的数是x， 则报8的人心里想的数应该是， 于是报10的人心里想的数是， 报2的人心里想的数是， 报4的人心里想的数是， 报6的人心里想的数是， ∴， 解得． 故选：A． 32．（2025·河北秦皇岛·一模）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第2025个图案中菱形的个数是（    ） A．6071 B．6072 C．6073 D．6074 【答案】D 【详解】解：第①个图案中有2个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ， 第个图案中有个菱形， 第2025个图案中菱形的个数为， 故选D． 33．（2025·河北石家庄·模拟预测）若代数的值为5，则代数式的值是 ． 【答案】7 【详解】解：∵代数的值为5， ∴， ∴， 故答案为：7． 34．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 专练二、整式的加减运算 35．（2025·河北唐山·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 36．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 37．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 38．（2025·河北沧州·模拟预测）将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 【答案】0 【详解】解：由题意知，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为0． 39．（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 【答案】(1) (2)99 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵， ∴，． 解得：，． 将，代入， 原式． 40．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与的和大于1，见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）解：与的和大于1 与的和大于1． 专练三、整式的乘除法运算 41．（2025·河北石家庄·模拟预测）结果等于的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符题意； 故选：C ． 42．（2025·河北邢台·三模）若，则“□”中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算法则．根据单项式乘法法则逆推即可判断出正确选项． 【详解】解：， ∴与的积为， 故选C． 43．（2025·河北石家庄·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 故选：D． 44．（2025·河北邯郸·二模）如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】解：①； ②； ③； ④ ； 所以结果为的对应运算④ ． 故选：D． 45．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 46．（2025·河北张家口·模拟预测）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，将2025阿秒用科学记数法表示为______秒（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 47．（2025·河北唐山·二模）下面选取了四份作业中对整式“”的计算过程，其中计算过程和结果均正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选D． 48．（2025·河北邯郸·三模）计算： ． 【答案】25 【详解】解：． 故答案为：25． 49．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 50．（2025·河北邯郸·三模）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 【答案】(1)，(2)100 【详解】（1）解：由图可得，， （2）． ， ． 51．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 52．（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉说的对，理由见解析 【详解】（1）解：； （2）解：嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 专练四、乘法公式的应用 53．（2025·河北唐山·二模）化简： ． 【答案】1 【详解】解： ， 故答案为：1． 54．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 55．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式： ； ． (1)比较，的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解： ， ∴． （2）证明： ， ∴不可能小于0． 56．（2025·河北廊坊·二模）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值； (2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 【答案】(1)；当时，M(2)同意，理由见解析 【详解】（1）解：∵ ∴ ， 当时，原式； （2）解：同意，理由如下： ∵ ∴； ∴ ； 当时，，此时，； 当不取，恒大于0，的值就一定大于的值． 57．（2025·河北石家庄·二模）如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 【答案】(1)画图见解析，该正方形的面积为； (2)，绿地的面积为． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； 该正方形的面积为； （2）解：绿地的面积为： ， 当，时，绿地的面积为， ∴绿地的面积为． 58．（2025·河北沧州·模拟预测）设，，…，（n为大于0的自然数）． (1)探究是否为8的倍数； (2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”． 直接写出，，…，这一列数中从小到大排列的前3个“完全平方数”，并指出当n满足什么条件时，为“完全平方数”．（不必说明理由）． 【答案】(1)是8的倍数 (2)当n为一个“完全平方数”的2倍时，为“完全平方数” 【详解】（1）解：． 又为非零自然数， 是8的倍数； （2）解：这一列数中从小到大排列的前3个完全平方数为16，64，144； 当n为一个“完全平方数”的2倍时，为“完全平方数”． 59．（2025·河北唐山·二模）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： (1)直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； (2)若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【详解】（1）解：①， 则，， 故答案为：，； ② ， 故答案为：； （2）解： ， 即n为任意正整数，的值总能被7整除． 60．（2025·河北·模拟预测）如图，将若干个边长分别为m，n的甲、乙两种规格的正方形拼叠成图①，图②，阴影部分的面积分别为a， (1)请用含m，n的代数式表示a，b； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，；(2)． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②中阴影部分是长，宽为的长方形，因此面积； （2）解：当，时， ． 61．（2025·河北·模拟预测）甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数 步骤二：乙计算：； 步骤三：甲再根据，写出； ．．． 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加． (1)根据观察到的规律请你将表格补充完整： (2)甲根据观察发现：与的差为2 ①当时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 【答案】(1)见解析 (2)①见详解； ②见详解 【详解】（1）解：∵ 当时， ， 当时， 当时，， 补充表格 （2）解：①当时， ∴； ∴甲的结论正确 ②甲的结论正确，理由如下 62．（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得正方形的边长， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由如下， 设， ， ， 解得：， 为正整数， ∴长方形与正方形的面积之和不可以等于． 63．（2025·河北唐山·二模）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分________； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推，可知第2024个等式： （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， ∴成立． （3）解：如图所示，即为所求． 64．（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 【答案】(1)5 (2)，， (3)8 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）根据题意，大矩形的长为，宽为，则其面积为：， 大矩形的面积也可以表示为：， 最终可以得到等式：； （3）根据（2）中方法可以列出等式：， 将，代入上述等式中， 可得． 65．（2025·河北保定·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 专练五、因式分级及其应用 66．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：， ∴，即：甲一定是正数； ∵， ∴， ∴ ∴，即：乙一定是正数； 故选B． 67．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴“”是， 故选：． 68．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 69．（2025·河北石家庄·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 70．（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ． 【答案】28 【详解】解：长方形的长和宽分别为，， ，， ， ， 故答案为：． 71．（2025·河北唐山·二模）若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 72．（2025·河北秦皇岛·一模）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由表可知， ． （2）解：由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴，即， 联立， 解得． 73．（2025·河北沧州·一模） 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 【答案】探究一：；探究二：（1）；（2）见解析 63，65；⋯得出一般规律即可得出答案； （2）根据完全平方公式，进行证明即可． 【详解】解：探究一： ， ∴勾可以表示为； 探究二：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ ∴用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为：； （2）证明：∵， ∴，，是一组勾股数． 74．（2025·河北沧州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【答案】(1)①7，5；② (2)② (3)正确 【详解】（1）解：由规律可得，， 故答案为：，； 由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． （3）解：依题意，由①②③可知，猜测正确 故答案为：正确 专练六、分式及其运算 75．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 76．（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 77．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 78．（2025·河北邢台·三模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 79．（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 80．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 81．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】解：①，②不能继续化简；③；④ ∴与相等的是④． 故选：D． 82．（2025·河北邯郸·二模）若分式有意义，请你写出一个x的整数值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故的值可以为2； 故答案为：2（答案不唯一） 83．（2025·河北张家口·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 84．（2025·河北邯郸·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； (2)若被污染的部分是常数1，求的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：这个代数式为： ； （2）解：由（1）得， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为4． 85．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题： (1)求（结果需化简）； (2)若输出的的结果为3，求输入的的值． 【答案】(1) (2)的值为 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解：依题意得：， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴输入的的值为． 86．（2025·河北石家庄·模拟预测）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有_______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)乙、丁； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：乙分式分子相减时符号错误；丁遗漏了负号； 故答案为：乙、丁； （2）解：原式 ； （3）解：由于且， 所以且， 所以， 当时， 原式． 专练七、二次根式及其运算 87．（2025·河北邯郸·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，本选项的计算正确，符合题意； B．，本选项的计算错误，不符合题意； C．2与不能合并，本选项的计算错误，不符合题意； D．，本选项的计算错误，不符合题意． 故选：A 88．（2025·河北邯郸·二模）若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴“”中的运算符号是． 故选：D． 89．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 90．（2025·河北石家庄·三模）已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：∵矩形的周长为，其中一边的长为， ∴矩形另一边的长为：， 则该矩形面积为：． 故选：D． 91．（2025·河北邢台·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 92．（2025·河北邯郸·一模）若，，则（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：B． 93．（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 94．（2025·河北邯郸·二模）计算：，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键，先化简二次根式，再运用即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 95．（2025·河北唐山·二模）已知n为正整数，若计算的结果为，则 ． 【答案】50 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 96．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 【答案】(1)第1题第③步错误，第2题第①步错误，正确解答过程见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：第1题第③步错误；第2题第①步错误； 第1题：      ；   第2题： ； （2）解：① ， ， ， ， ． ②，， ， ． 试卷第2页，共60页 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式的有关运算 考点一、代数式 1．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 考点二、整式的运算 4．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 8．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·中考真题）计算： ． 11．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 考点三、乘法公式的应用 12．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 13．（2021·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 14．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 考点四、因式分解 15．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 考点五、分式的运算 16．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 17．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 18．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 19．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 21．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 考点六、二次根式的性质和运算 22．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 24．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2021·河北·中考真题）若取1.442，计算的结果是（    ） A．-100 B．-144．2 C．144.2 D．-0.01442 26．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 专练一、列代数式与代数式求值 27．（2025·河北邢台·三模）下列代数式中，表示“x与1的和的相反数”的是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·河北邯郸·二模）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 29．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 30．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 31．（2025·河北唐山·二模）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图，则报6的人心里想的数是（   ） A．1 B．2 C． D． 32．（2025·河北秦皇岛·一模）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第2025个图案中菱形的个数是（    ） A．6071 B．6072 C．6073 D．6074 33．（2025·河北石家庄·模拟预测）若代数的值为5，则代数式的值是 ． 34．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 专练二、整式的加减运算 35．（2025·河北唐山·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 38．（2025·河北沧州·模拟预测）将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 39．（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 40．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 专练三、整式的乘除法运算 41．（2025·河北石家庄·模拟预测）结果等于的有（　　） A． B． C． D． 42．（2025·河北邢台·三模）若，则“□”中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·河北石家庄·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·河北邯郸·二模）如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 45．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 46．（2025·河北张家口·模拟预测）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，将2025阿秒用科学记数法表示为______秒（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河北唐山·二模）下面选取了四份作业中对整式“”的计算过程，其中计算过程和结果均正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2025·河北邯郸·三模）计算： ． 49．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 50．（2025·河北邯郸·三模）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 51．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 52．（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 专练四、乘法公式的应用 53．（2025·河北唐山·二模）化简： ． 54．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 55．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式： ； ． (1)比较，的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 56．（2025·河北廊坊·二模）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值； (2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 57．（2025·河北石家庄·二模）如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 58．（2025·河北沧州·模拟预测）设，，…，（n为大于0的自然数）． (1)探究是否为8的倍数； (2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”． 直接写出，，…，这一列数中从小到大排列的前3个“完全平方数”，并指出当n满足什么条件时，为“完全平方数”．（不必说明理由）． 59．（2025·河北唐山·二模）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： (1)直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； (2)若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 60．（2025·河北·模拟预测）如图，将若干个边长分别为m，n的甲、乙两种规格的正方形拼叠成图①，图②，阴影部分的面积分别为a， (1)请用含m，n的代数式表示a，b； (2)若，，求的值． 61．（2025·河北·模拟预测）甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数 步骤二：乙计算：； 步骤三：甲再根据，写出； ．．． 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加． (1)根据观察到的规律请你将表格补充完整： (2)甲根据观察发现：与的差为2 ①当时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 62．（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 63．（2025·河北唐山·二模）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分________； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 64．（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 65．（2025·河北保定·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 专练五、因式分级及其应用 66．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 67．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 68．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 69．（2025·河北石家庄·模拟预测）因式分解： ． 70．（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ． 71．（2025·河北唐山·二模）若，，则的值为 ． 72．（2025·河北秦皇岛·一模）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 73．（2025·河北沧州·一模） 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 74．（2025·河北沧州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 专练六、分式及其运算 75．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 76．（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 77．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 78．（2025·河北邢台·三模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 79．（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 80．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 81．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 82．（2025·河北邯郸·二模）若分式有意义，请你写出一个x的整数值 ． 83．（2025·河北张家口·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ． 84．（2025·河北邯郸·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； (2)若被污染的部分是常数1，求的值． 85．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题： (1)求（结果需化简）； (2)若输出的的结果为3，求输入的的值． 86．（2025·河北石家庄·模拟预测）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有_______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 专练七、二次根式及其运算 87．（2025·河北邯郸·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 88．（2025·河北邯郸·二模）若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 89．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 90．（2025·河北石家庄·三模）已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（   ） A． B． C．4 D．2 91．（2025·河北邢台·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．5 92．（2025·河北邯郸·一模）若，，则（   ） A．15 B． C． D． 93．（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 94．（2025·河北邯郸·二模）计算：，则表示的数为 ． 95．（2025·河北唐山·二模）已知n为正整数，若计算的结果为，则 ． 96．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 试卷第2页，共60页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$