1.4.1充分条件与必要条件同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章　1.4　1.4.1充分条件与必要条件 一．选择题 1．(多选)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是( 　 ) A．P∩Q＝P B．P∩Q＝∅ C．P∪Q＝Q D．P∪Q＝P 2．条件p：(a＋b)·(a－b)＝0，条件q：a＝b，则p是q的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．使不等式0＜x＜2成立的一个充分条件是( 　 ) A．0＜x＜1 B．－＜x＜1 C．－1＜x＜2 D．0＜x＜3 4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 5．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( 　 ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 7．已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( 　 ) A．{m|m≥2} B．{m|m≤2} C．{m|m>2} D．{m|－2<m<2} 二．填空题 8．已知命题p：整数a的末位是0，q：a能被5整除，则p是q的 　条件；q是p的 　条件．(用“充分”“必要”填空) 9．下列说法正确的是 　.(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 10．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，如果B的充分条件是A，则实数a的取值范围是 　. 11．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中 　是a＋b>0的充分条件．(填序号) 12．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 　. 三．解答题 13．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 14．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？ 15．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由． 16．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章　1.4　1.4.1充分条件与必要条件 一．选择题 1．(多选)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是( 　 ) A．P∩Q＝P B．P∩Q＝∅ C．P∪Q＝Q D．P∪Q＝P 【解析】　由“集合P是集合Q的子集”可推出P∩Q＝P，P∪Q＝Q，推不出P∩Q＝∅，P∪Q＝P.故选AC. 2．条件p：(a＋b)·(a－b)＝0，条件q：a＝b，则p是q的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【解析】　由(a＋b)·(a－b)＝0知，a＝b或a＝－b，所以pq，q⇒p，所以p是q的必要条件．故选B. 3．使不等式0＜x＜2成立的一个充分条件是( 　 ) A．0＜x＜1 B．－＜x＜1 C．－1＜x＜2 D．0＜x＜3 【解析】　设p所对应的集合为A，q所对应的集合为B，则p成立的充分条件是q，转化为B⊆A，所以不等式0＜x＜2成立的充分条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的子集，根据选项，只有A符合要求．故选A. 4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 【解析】　由题意可知，好货⇒不便宜，故选A. 5．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( 　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　两个有理数的乘积仍为有理数，故“x，y∈Q”⇒“xy∈Q”，反之，当x＝y＝，xy＝2∈Q，但x∉Q，y∉Q.故“xy∈Q”“x，y∈Q”．所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分条件．故选A. 6．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( 　 ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 【解析】　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．故选B. 7．已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( 　 ) A．{m|m≥2} B．{m|m≤2} C．{m|m>2} D．{m|－2<m<2} 【解析】　因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.故选A. 二．填空题 8．已知命题p：整数a的末位是0，q：a能被5整除，则p是q的 充分　条件；q是p的 必要　条件．(用“充分”“必要”填空) 【解析】　因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 9．下列说法正确的是 ①③　.(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 【解析】　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确． 10．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，如果B的充分条件是A，则实数a的取值范围是 {a|a>2}　. 【解析】　“B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A⇒B，即A⊆B，得a>2. 11．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中 ①③④　是a＋b>0的充分条件．(填序号) 12．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 {a|a≤1}　. 【解析】　由1－x<0得x>1，设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，∵p是q的充分条件，∴A⊆B，∴a≤1. 三．解答题 13．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 【解析】　(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立． 即p⇒q，qp， 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (2)因为x2>1⇒x>1或x<－1， 所以p⇒q，且qp. 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q⇒p， 所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件． (4)画出Venn图(如图)可得． 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA， 反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． 14．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？ 【解析】　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件． 15．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由． 【解析】　令A＝{x|x>2或x<－1}． 由4x＋p<0，得B＝ . 当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4， 此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1， ∴当p≥4时，4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件． 16．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】　(1)由题意得到A＝{x|1≤x≤5}， 由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B， 则解得a≥2， 故实数a的取值范围是{a|a≥2}． (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A， 当B＝∅时，2－a＞1＋2a，即a＜时，满足题意， 当B≠∅时，即a≥时，则 解得≤a≤1.综上a≤1， 故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$