第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高-2025-2026学年人教版八年级上册数学

新人教版八年级上册数学同步习题 第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1.满足下列条件的三条线段a，b，c 能组成三角形的是( ) A.a:b:c=1:2:3 B.a+b=4，a+b+c=9 C.a=3，b=4，c=5 D.a=3t，b=2t，c=t 2.王老师有长度分别为a,b 的两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么在下列选项的剪法中，三根小棒一定能围成三角形的是( ) A. 将长为a的小棒正中间剪一刀 B.将长为b 的小棒正中间剪一刀 C.将长为a的小棒任意剪一刀 D.将长为b 的小棒任意剪一刀 3.三角形的三边长分别为5，7，x，则第三边长x 的取值范围是___________. 4.若a，b，c为△ABC的三边长，则(a−b+c)(a−b−c) ___0（填“> ”“< ”或“= ”）. 5.如图，在同一平面内有三个点A，B，C . （1） 利用尺规，按下面的要求作图（不写作法，保留作图痕迹）. ①作射线B A； ②作线段BC ； ③连接AC，并在线段AC上截一条线段AD，使AD=AB，连接BD . （2）观察（1）得到的图形，DB+DC _________________________________________BC（填“> ”“< ”或“= ”）. 6.如图，在△ABC中，点D在AB上，点O在CD 上.求证：AB+AC>OB+OC . 7.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E,F,G,H 分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( ) A. A ,G两点处 B.G,H两点处 C.B,F两点处 D.E,G 两点处 8.如图，自行车框架中的AB,AC,BC 构成一个几何图形，其可使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是__________________. 9.若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为____. 【刷提升】 10.如图（1）所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个小长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图（2）所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图，一根直的铁丝AB=20 cm ，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出AP=5 cm ； ②在点P右侧取一点Q，使PQ>5 cm ； ③将AP向右翻折，BQ 向左翻折. 若要使A，B两点能在点M处重合，则PQ 的长度可能是( ) A.12 cm B.11 cm C.10 cm D.7 cm 12.若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m 满足1 986<m<2 022 ，则这样的三角形有____个. 13.现有长为60 cm的铁丝，要截成n(n>2) 段，每段的长为不小于1 cm的整数，如果其中任意3段都不能拼成三角形，当n 取最大值时，有___种方法将该铁丝截成满足条件的n 段. 14.已知△ABC的三边长a，b，c满足a+b=3c−4 ，a−b=2c−6，且a>b . （1）求c 的取值范围； （2）若△ABC的周长为12，求c 的值. 15.若三边均不相等的三角形三边a，b，c 满足a−b>b−c(a为最长边，c为最短边) ，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7−5>5−4 ，所以这个三角形为“不均衡三角形”. （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为_____（填序号）. ①4 cm，2 cm，1 cm； ②13 cm，18 cm，9 cm； ③19 cm，20 cm，19 cm ； ④9 cm，8 cm，6 cm . （2）已知“不均衡三角形”三边长分别为2x+2，16，2x−6(x为整数)，求x 的值. 16.如图,有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小孔系一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是( ) A.N点 B.M点 C.P点 D.Q 点 17. 如图，在△ABC中，BD是边AC 上的中线，E是BD的中点，连接AE,CE，若△ABC的面积为18 cm²，则阴影部分的面积是( ) A.6 cm² B.9 cm² C.12 cm² D.条件不足，无法求出 18.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD 的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的长度之和为13，则AB 的长度为___. 知识点2 三角形的角平分线 19.若AD是△ABC 的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是( ) A. AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2∠BAD 20.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的( ) A.内部 B.外部 C.一边上 D .不确定 21.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB 边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC 的__________. 知识点3 三角形的高 22.用一块含30°角的直角三角板画△ABC的边BC 上的高，则下列三角板的摆放位 置正确的是( ) 23.如图，在△ABC 中，关于高的说法正确的是( ) A.线段AD是BC边上的高 B.线段BE是AB 边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC 边上的高 24.在△ABC中，∠B=45°，三角形的高AD与高BE 所在直线交于点H，点H在△ABC的外部，以下对∠C 的描述正确的是( ) A.∠C是锐角 B.∠C 是直角 C.∠C是钝角 D.∠C 是锐角或钝角 25.如图，在△ABC中，AD⊥BC ，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO 并延长交AC于点F，若AB=5，BC=4，AC=6，则CE:AD:BF= ____________. 26.如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，点D沿CB自点C向点B运动（点D与点C，B 不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F，在点D 的运动过程中，BE+CF 的值逐渐( ) A.变小 B.变大 C.不变 D.无法确定 27.如图，点E是长方形ABCD 内任意一点，连接AE，BE，CE，DE 把长方形分成4个三角形，将△ABE，△BCE，△CDE，△ADE的面积分别记为S1，S2，S3，S4 .已知长方形的面积，则一定可求出的值是( ) A.S1 B.S1+S2 C.S1+S2+S3 D.S1+S3 28.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，AB=3，AC=4，DF=1.5，则DE= ___. 29.如图，点G为△ABC 的重心，CF⊥BE于G，若AG×BC=16，则△BGC 面积的最大值是___. 30.如图，在每个小正方形边长都为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上. （1）通过观察，可以发现△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.直角三角形或锐角三角形 （2）仅利用无刻度的直尺画出△ABC的中线AD与角平分线CE . （3）△ABC的面积为____，△ABD 的面积为___. 刷素养 走向重高 31.如图（1），有一块三角形菜地，若从顶点A 修一条笔直的小路交BC于点D ，小路正好将菜地分成面积相等的两部分. （1）找出D 点的位置并说明理由. （2）假设在菜地中有一点E，如图（2）所示，BC上是否存在点F ，使折线A−E−F将△ABC分为面积相等的两部分？若存在，请找出F 点的位置，并说明理由. 新人教版八年级上册数学参考答案 第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 1.C 【解析】根据三角形的三边关系可知，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边. 技巧点拨 运用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形时，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可.当三条线段成比例时，可以设适当的参数来辅助求解. 2.B 【解析】 ∵b>a， ∴ 由三角形三边关系得到将长为b 的小棒正中间剪一刀，三根小棒一定能围成三角形.故选B. 3. 2<x<12 【解析】由题意得第三边长x的取值范围是7−5<x<7+5，即2<x<12 ,故答案为2<x<12 . 4. < 【解析】∵a,b,c是△ABC的三边长， ∴a+c>b，b+c>a， ∴a−b+c>0 ，a−b−c<0， ∴(a−b+c)(a−b−c)<0，故答案为< . 5. （1）【解】如图所示. ①【解】射线BA 即为所求作. ②【解】线段BC 即为所求作. ③【解】线段AC,AD,BD 即为所求作. （2）在△DBC中，DB+DC>BC.故答案为> . 6. 【证明】延长BO交AC于点E ，如图. 在△EOC中，EO+EC>OC ， ∴EO+EC+OB>OC+OB ，即EB+EC>OC+OB . 在△ABE中，AB+AE>EB ， ∴AB+AE+EC>EB+EC ， 即AB+AC>EB+EC ， ∴AB+AC>OB+OC . 7. D 【解析】由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在E，G 两点处时，不能构成三角形，所以不应该钉在E，G 两点处.故选D. 8. 三角形具有稳定性 【解析】因为AB,AC,BC 构成的几何图形是三角形，所以使自行车结构更加稳固 用到的几何原理是三角形具有稳定性.故答案为三角形具有稳定性. 9. 22 【解析】①若4是腰长，则底边长是9，但是4+4<9 ，故不能构成三角形，舍去. ②若4是底边长，则腰长是9，4+9>9 ，符合三角形三边关系，成立.故等腰三角 形的周长为4+9+9=22 . 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分 情况后的三条线段能否构成三角形. 10. B 11. D 【解析】设PQ=x cm(x>5).∵AP=5 cm,PQ=x cm ，∴BQ=AB−AP−PQ=20−5−x=(15−x)cm.由AP向右翻折，BQ 向左翻折，可知AP=MP,MQ=BQ.∵△MPQ 符合三角形三边关系， ∴MQ−MP<PQ<MQ+MP，即15−x−5<x<15−x+5，解得5<x<10 ，故选D. 12. 11 13. 6 【解析】∵n段之和为定值60 cm，∴ 要让n 尽可能大，必须每段长度尽可能小，而 每段长度为不小于1 cm的整数，且任意3段不能拼成三角形，∴ 任意3段中最长的 一段的长度不小于其他2段长度之和，因此这些截成的小段的长度（单位：cm ） 只可能是1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55.∵1+1+2+3+5+8+13+21=54<60 ， 1+1+2+3+5+8+13+21+34=88>60，∴n的最大值是8.将长为60 cm 的铁丝截成满足条件的8段，共有下列6种方式：①1,1,2,3,5,8,13,27；②1 , 1,2,3,5,8,14,26；③1,1,2,3,5,8,15,25；④1,1,2,3,5,8,16,24；⑤1 , 1,2,3,5,9,14,25;⑥1 ,1,2,3,5,9,15,24.故答案为6. 14. (1)【解】由题意得a−b<c<a+b，且a+b=3c−4，a−b=2c−6 ， ∴2c−6<c<3c−4，∴2<c<6.又∵a>b，∴a−b=2c−6>0，∴c>3 ， ∴3<c<6 . (2) 【解】∵△ABC的周长为12，∴a+b+c=12.又∵a+b=3c−4 ， ∴3c−4+c=12，∴c=4 . 思路分析 （1）利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边建立不等式 组即可解决问题. 15. (1)② 【解】①中，1+2<4，故长为4 cm，2 cm，1 cm 的小木棍不能组成“不均衡三角形”；②中，18−13>13−9，所以长为13 cm，18 cm，9 cm 的小木棍能组成“不均衡三角形”；③中，19=19，所以长为19 cm，20 cm，19 cm 的小木棍不能组成“不均衡三角形”；④中，9−8<8−6，所以长为9 cm，8 cm，6 cm 的小木棍不能组成“不均衡三角形”.故答案为②. （2） 【解】10或12或13或14 【解析】因为2x+2>2x−6 ，所以需分三种情况： ①16>2x+2>2x−6，解得x<7,此时有16−(2x+2)>2x+2−(2x−6) ， 解得x<3.因为2x−6>0，解得x>3 ，所以不合题意，舍去； ②2x+2>16>2x−6，解得7<x<11，此时有2x+2−16>16−(2x−6) ，解得x>9，故9<x<11.因为x为整数，所以x=10.当x=10 时，2x+2=2×10+2=22,2x−6=2×10−6=14 ，易知长为22，16，14的线段可组成三角形. ③2x+2>2x−6>16，解得x>11，此时有2x+2−(2x−6)>2x−6−16 ，解得x<15，故11<x<15.因为x为整数，所以x=12或13或14.易知当x=12 或13或14时，可以组成三角形. 综上所述，x 的整数值为10或12或13或14. 16. A 【解析】∵ 三角形硬纸板处于平衡状态，∴ 这个点为三角形的重心.由题图可知点 N 最可能为该三角形的重心.故选A. 17.B 18.8 【解析】∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长−△ADC 的周长 =(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=3，即AB−AC=3 .① 又∵AB+AC=13，② ∴ 由①+②得2AB=16，解得AB=8 .故答案为8. 思路分析 根据两个三角形周长的差得出边AB与AC长度的差，结合AB与AC 长度的和为13， 利用加减消元法求解即可. 19.C 【解析】∵AD是△ABC的角平分线，∴AD平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD，∠BAC=2∠BAD ，故选项A、B、D正确；不能得到BD=CD ，故选项C错误.故选C. 20.A 【解析】如图，三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部.故选A. 21.角平分线 【解析】如图.由折叠的性质可知∠CAD=∠BAD,∴l是△ABC 的角平分线. 22.D 【解析】选项A画的是AC 边上的高，故不符合题意；选项B、C画的不是任何边上 的高，故不符合题意；选项D画的是BC 边上的高,故符合题意.故选D. 23.A 【解析】由题图知AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴ 线段AD是BC 边上的高，线 段BE是AC边上的高，线段CF是AB 边上的高，故A选项符合题意.故选A. 24.D 【解析】∵ 三角形的高AD与高BE所在直线交于点H，点H在△ABC 的外部， ∴△ABC是钝角三角形.∵∠B=45°，∴∠A与∠C 一个是锐角，一个是钝角，具体 哪个角是钝角无法确定，故选D. 25.12:15:10 关键点拨 三角形三条高所在的直线交于一点. 26.B 【解析】∵△ABC的面积不变，点D沿CB自点C向点B 运动时AD逐渐减小，∴BE+CF 的值逐渐变大，故选B. 27.D 28.2 29.4 30.（1）C 【解】由格点可知，∠ACB=45°+45°=90°，∴△ABC 是直角三角形，故选C. （2）【解】如图，线段AD即为所求作的△ABC的中线，线段CE即为所求作的△ABC 的 角平分线. （3） 12 6 31. （1）【解】如图，取BC的中点D，点D即为所求.理由：连接AD.∵D为BC 中点，∴BD=CD,∴△ABD与△ACD等底同高，∴S_△ABD=S_△ACD . （2） 关键点拨 掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$