精品解析：山西省大同市2024-2025学年七年级数学下学期数学期末试卷

2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 注意事项： 1．试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在下列调查中，适宜用全面调查的是（ ） A. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查怀仁市初中学生每天的睡眠时间 D. 调查某校七年级一班女生的体重 4. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 将不等式2(x＋1)－1≥3x的解集表示在数轴上，正确的是(　 　) A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何? ”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（ ） A. 脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B. 脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C. 脉搏次数在165~170之间的人数最少 D. 脉搏次数在130~150之间的人数有20人 9. 将一副直角三角板和按如图所示的方式摆放在两条平行线和之间，点在上，在上，，，．以下四个结论：①；②；③；④．其中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 甲、乙两超市以相同价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按八五折收费．王师傅购物预计超过250元，他应该去的超市是（ ） A. 甲超市 B. 乙超市 C. 甲、乙两超市任选 D. 根据计划购买物品的金额选择超市 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “x与的乘积不超过8”用不等式表示为_____． 12. 通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下图是一家广告公司为了更加清楚明了地看到变化情况，绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为8万元时，销售收入是_____万元． 13. 学习完二元一次方程后，同学们知道在没有条件限定时，二元一次方程有无数个解，但有条件限定时，求出的解必须符合实际．已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，且满足，则这个两位数是_____． 14. 如图，直线，相交于点，．若，三等分，则的度数为_____． 15. 某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是_____件． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组，并直接写出该不等式组的整数解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和，请解答下列问题： （1）标出点，并连接和； （2）把三角形平移至三角形，且点的对应点为点，点的对应点为点． ①画出三角形； ②三角形的面积为_____； （3）在图中不添加线的情况下，与线段平行且相等的线段是_____． 18. 阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 19. 为了丰富学生校园生活，培养学生的兴趣和爱好，某校对七年级学生开设社团活动课，要求所有七年级的学生都参加社团活动，但因条件有限，规定每个学生只能参加一个社团．学校的学生会针对七年级学生参加社团活动课的情况进行一次调查，给出下面三种方案： 【调查方案】 方案一：从七年级（1）班的所有学生中进行调查，调查学生参加社团活动课的情况； 方案二：从七年级女生中随机抽取200名学生，调查学生参加社团活动课的情况； 方案三：从七年级学生中随机抽取200名学生，调查学生参加社团活动课的情况． 【获取信息】 学校根据学生会给出的调查方案，选出了一种符合调查的方案，并根据这种方案的调查数据绘制了两幅不完整的统计图． 【问题解决】 （1）学校在这三种调查方案中，选取的是方案_____；理由是这种方案中的样本具有_____、_____，_____和广泛性． （2）请根据提供的相关信息，解决下列问题： ①把条形图补充完整； ②在扇形图中，美术社所在扇形的圆心角的度数是_____； ③若这所学校七年级共有800名学生，根据以上调查结果，估计这所学校七年级学生中参加文学社的人数． 20. 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．现有甲、乙两家种棉大户，根据实际面积分别租用大、小两种型号的采棉机，甲户租了3台大型采棉机和2台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘；乙户租了2台大型采棉机和5台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘．请计算大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积． 21. 怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． （1）求正方形卡片的边长； （2）通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 22. 综合与探究 【问题情境】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某社区为了提升当地居民的文化素养及建立友好的居民友善氛围，提供更加良好的阅读环境，决定扩大图书馆面积，增加藏书数量．现准备购买A型和B型两种不同的书架20个用于摆放书籍． 【相关信息】 购买A型书架3个和B型书架4个所需费用为1700元； 购买A型书架5个和B型书架2个所需费用为1900元； 社区准备购买书架的资金为4860元． 【问题解决】 （1）求A型和B型两种书架的单价； （2）求最多购买A型书架的个数． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出这样一道题：如图，，直线交于点，交于点，点在上，过点作，交于点．探索图形间的关系． 【探究发现】 （1）勤奋小组的同学发现，请说明理由； 【操作探究】 （2）如图，乐思小组的同学过点作直线，且平分，，当时，的度数不变，求的度数； 【拓展探究】 （3）创意小组的同学测得图中的，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 注意事项： 1．试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：． 【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，熟练掌握各象限坐标符号(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 是解题关键． 利用平面直角坐标系中各象限坐标符号特征来判断点所在象限． 【详解】解： ∵ 点横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征 ∴ 点在第四象限 故选：D ． 3. 在下列调查中，适宜用全面调查的是（ ） A. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查怀仁市初中学生每天的睡眠时间 D. 调查某校七年级一班女生的体重 【答案】D 【解析】 【分析】全面调查适用于范围小、精确度要求高或个体差异较大的情况．需逐一分析各选项的调查对象数量、可行性和调查性质． 【详解】解：冰淇淋市场质量调查．冰淇淋数量庞大，检测具有破坏性（如拆封后无法销售），适合抽样调查，故A错误． 汽车抗撞击能力测试．测试会破坏汽车，无法全面检测，必须抽样，故B错误． 全市初中生睡眠时间．调查对象数量多，全面调查成本高，适合抽样，故C错误． 某校七年级一班女生体重．调查范围小（仅一个班级），人数有限，全面调查可行且结果精确，符合要求，故D正确． 故选D． 4. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可 【详解】解：A、，两边同时乘以，根据不等式性质，乘以负数不等号方向改变，故变为，因此选项A错误； B、，由可得，两边加上2后，，因此选项B错误； C、两边同时除以正数3，不等号方向不变，故直接推出，因此选项C正确； D、两边同时加上2，不等号方向不变，故应推出，因此选项D错误； 故选：C 5. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故选：C． 6. 将不等式2(x＋1)－1≥3x的解集表示在数轴上，正确的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 故选D. 点睛：根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 7. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何? ”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，需建立两个方程：一是总酒量为2斗，二是总花费为30钱．醇酒和行酒的单价分别为50钱/斗和10钱/斗，由此可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗． 总酒量：两种酒共2斗，即． 总花费：醇酒花费钱，行酒花费钱，总花费为30钱，即． 综上，方程组为,对应选项D． 故答案为：D． 8. 为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（ ） A. 脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B. 脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C. 脉搏次数在165~170之间的人数最少 D. 脉搏次数在130~150之间的人数有20人 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图的性质，结合已知条件分别分析每个选项． 【详解】解：已知全班共有50名学生，从频数分布直方图中可以看出，除被墨水盖住的长方形（160∼165这一组）外，其他组的频数分别为： 130∼135组的频数是1；135∼140组的频数是2；140∼145组的频数是4；145∼150组的频数是6；150∼155组的频数是8；155∼160组的频数是16；165∼170组的频数是2； ∴160∼165组的频数人，故A选项正确． 由前面分析可知155∼160组的频数是16，全班总人数是50人， 则脉搏次数在155∼160之间的人数占全班总人数的百分比为​，故B选项错误． 由前面分析可知各小组的频数可知， 130∼135组：1人；是最少，故C选项错误． 130∼150包含130∼135、135∼140、140∼145、145∼150这四组， 这四组的频数分别为1，2，4，6，则人数共有人，故D选项错误． 故选A． 9. 将一副直角三角板和按如图所示的方式摆放在两条平行线和之间，点在上，在上，，，．以下四个结论：①；②；③；④．其中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线性质（内错角/同位角）、三角板角度特征，熟练掌握“平行线的角关系”和“三角板固定角度（）”是解题关键．利用三角板角度、平行线性质（同位角/内错角相等），逐一分析四个结论的真假． 【详解】解：∵，， ∴ ，①正确． ∵． ∴，②正确． ∵，． ∴ ∴与不平行，③错误． ∵， ∴， ∴ ， ∵,， ∴， ∴．故，④正确． 综上，①②④正确，共个． 故选：． 10. 甲、乙两超市以相同价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按八五折收费．王师傅购物预计超过250元，他应该去的超市是（ ） A. 甲超市 B. 乙超市 C. 甲、乙两超市任选 D. 根据计划购买物品的金额选择超市 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，不等式的应用，比较甲、乙两超市在购物金额超过250元时的实际支付费用，确定更优惠的方案． 【详解】解：设购物金额为元（）： 甲超市费用：当时，费用为， 乙超市费用：当时，费用为， 比较两者费用差： ， 当时，即，乙超市更优惠， 由于王师傅预计购物金额超过250元（），此时乙超市费用更低，因此，选择乙超市， 故选：B． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “x与的乘积不超过8”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式． 先表示出“x与的乘积”，再表示“x与的乘积不超过8”即可． 【详解】解：x与的乘积为，不超过用不等号表示为“”， ∴“x与的乘积不超过8”用不等式表示， 故答案为：． 12. 通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下图是一家广告公司为了更加清楚明了地看到变化情况，绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为8万元时，销售收入是_____万元． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查趋势图，根据题意知销售收入随广告支出增加而增加，这些点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，由此可得答案． 【详解】解：如图，延长趋势线，可得广告支出为8万元时，销售收入是50万元， 故答案为：50． 13. 学习完二元一次方程后，同学们知道在没有条件限定时，二元一次方程有无数个解，但有条件限定时，求出的解必须符合实际．已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，且满足，则这个两位数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 求出，的范围，再列出所有符合要求的情况即可． 【详解】解：∵已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为， ∴，，且，均为整数． ∵， ∴，， ∴，， 综上所述，，， 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求； ∴这个两位数是， 故答案为：． 14. 如图，直线，相交于点，．若，三等分，则的度数为_____． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的有关计算，由可得，进而可得，再根据平角的定义求解． 【详解】解：， ． ，三等分， ． ． 故答案为：． 15. 某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是_____件． 【答案】70 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 故答案为：70 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组，并直接写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解为：，0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次不等式组． （1）先计算绝对值，算术平方根、立方根，再进行加减运算； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出公共解集，最后写出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为：， 整数解为：，0，1，2，3． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和，请解答下列问题： （1）标出点，并连接和； （2）把三角形平移至三角形，且点的对应点为点，点的对应点为点． ①画出三角形； ②三角形的面积为_____； （3）在图中不添加线的情况下，与线段平行且相等的线段是_____． 【答案】（1）图见解析 （2）①图见解析②7 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据要求，描点，连线即可； （2）①根据平移规则画出三角形即可；②分割法求出三角形的面积即可； （3）根据平移的性质作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 ①如图，即为所求； ②； 【小问3详解】 由图可知：与线段平行且相等的线段是； 故答案为： 18. 阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 【答案】任务一：（1）等式的性质；（2）两边不是除以未知数的系数4；（3）；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 任务一：根据小明同学的解题步骤逐步分析即可； 任务二：仿照小明同学的解题步骤求解即可． 【详解】解：任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是等式的性质； （2）第五步出现错误，错误的原因是两边不是除以未知数的系数4； （3）解：①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 任务二： ①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 19. 为了丰富学生校园生活，培养学生的兴趣和爱好，某校对七年级学生开设社团活动课，要求所有七年级的学生都参加社团活动，但因条件有限，规定每个学生只能参加一个社团．学校的学生会针对七年级学生参加社团活动课的情况进行一次调查，给出下面三种方案： 【调查方案】 方案一：从七年级（1）班的所有学生中进行调查，调查学生参加社团活动课的情况； 方案二：从七年级女生中随机抽取200名学生，调查学生参加社团活动课的情况； 方案三：从七年级学生中随机抽取200名学生，调查学生参加社团活动课的情况． 【获取信息】 学校根据学生会给出的调查方案，选出了一种符合调查的方案，并根据这种方案的调查数据绘制了两幅不完整的统计图． 【问题解决】 （1）学校在这三种调查方案中，选取的是方案_____；理由是这种方案中的样本具有_____、_____，_____和广泛性． （2）请根据提供的相关信息，解决下列问题： ①把条形图补充完整； ②在扇形图中，美术社所在扇形的圆心角的度数是_____； ③若这所学校七年级共有800名学生，根据以上调查结果，估计这所学校七年级学生中参加文学社的人数． 【答案】（1）三，代表性，随机性，可靠性 （2）①图见解析②③估计这所学校七年级学生中参加文学社的人数为人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据抽样调查的广泛性和代表性进行判断作答即可； （2）①用舞蹈社团的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而求出篮球社的人数，补全条形图即可； ②用360度乘以美术社的人数所占的比例进行求解即可； ③利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：学校在这三种调查方案中，选取的是方案三，理由是这种方案中的样本具有代表性，随机性，可靠性和广泛性； 故答案为：三，代表性，随机性，可靠性； 【小问2详解】 ①篮球社的人数为：，补全条形图如图： ②； 故答案为：； ③（人）； 答：估计这所学校七年级学生中参加文学社的人数为人． 20. 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．现有甲、乙两家种棉大户，根据实际面积分别租用大、小两种型号的采棉机，甲户租了3台大型采棉机和2台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘；乙户租了2台大型采棉机和5台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘．请计算大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积． 【答案】大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和，根据所给等量关系列方程组，解方程即可． 【详解】解：设大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和． 由题意得：， 解得， 答：大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和． 21. 怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． （1）求正方形卡片的边长； （2）通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用． （1）直接根据算术平方根计算即可； （2）设长方形封皮的长为，根据面积公式列方程求出长方形封皮的长和宽，再判断即可． 【小问1详解】 解：∵该卡片的面积为， ∴该卡片的边长为； 【小问2详解】 解：设长方形封皮的长为，则宽为， ∵面积为， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴长方形封皮的长为，则宽为， ∵长方形封皮的宽， ∴卡片不能直接装进长方形封皮中． 22. 综合与探究 【问题情境】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某社区为了提升当地居民的文化素养及建立友好的居民友善氛围，提供更加良好的阅读环境，决定扩大图书馆面积，增加藏书数量．现准备购买A型和B型两种不同的书架20个用于摆放书籍． 【相关信息】 购买A型书架3个和B型书架4个所需费用为1700元； 购买A型书架5个和B型书架2个所需费用为1900元； 社区准备购买书架的资金为4860元． 【问题解决】 （1）求A型和B型两种书架的单价； （2）求最多购买A型书架的个数． 【答案】（1）A型和B型两种书架的单价分别为300元和200元 （2）8个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型和B型两种书架的单价分别为x元和y元，根据等量关系列方程组，解方程组即可； （2）设购买m个A型书架，则购买个B型书架，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设A型和B型两种书架的单价分别为x元和y元， 由题意得， 解得， 即A型和B型两种书架的单价分别为300元和200元； 【小问2详解】 解：设购买m个A型书架，则购买个B型书架， 由题意得， 解得， 故最多购买A型书架的个数为8个． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出这样一道题：如图，，直线交于点，交于点，点在上，过点作，交于点．探索图形间的关系． 【探究发现】 （1）勤奋小组的同学发现，请说明理由； 【操作探究】 （2）如图，乐思小组的同学过点作直线，且平分，，当时，的度数不变，求的度数； 【拓展探究】 （3）创意小组的同学测得图中的，直接写出与的数量关系． 【答案】（）见解析；（），（）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得，又，则，然后利用平行线的判定方法即可求证； （）由平分，则，根据平行线性质可得，，又，则，，设，，然后根据，即，求出即可； （）同（）理，设，，如上图，则，，，，求得，由，然后代入求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，如图， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （）同解析（），设，，如上图， 则，，，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $