25.4-25.5 图形的相似 同步练习 2025—2026学年冀教版数学九年级上册

图形的相似 25.4-25.5 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.下列各组图形必相似的是（ ）. A．任意两个等腰三角 B．两边为 1 和 2 的直角三角形与两边为 2 和 4 的直角三角形 C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形 D．两边及其中一边∠的中线对应成比例的两三角形 2.满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有( ). A． ∠A=60°, AB=5cm，AC=10cm；∠A′=60°, A′B′=3cm，A′C′=10cm B． ∠A=45°, AB=4cm，BC=6cm；∠D=45°, DE=2cm，DF=3cm C． ∠C=∠E=30°, AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cm D． ∠A=∠A′，且 AB ·A′C′=AC ·A′B′ 3.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC 的是（ ）. A． ∠ADC=∠ACB B．AB ·BC=AC ·CD C． ∠ACD=∠B D．AC2=AD ·AB （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 4.如图，已知∠ABC = ∠DCE = 90。，AC 丄 DE ，则图中共有相似三角形的对数为（ ）. A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是( ). B. C. D. 6.如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则的值为 ( ) A.1 B. 2－1 D. 二、填空题 7. 如果两个相似三角形的周长比是2: 5 ，那么它们的面积比是 ． 8. 如图，∠1 = ∠2 ，请你补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE ． D A ( B )C （第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） 9.如图,在矩形ABCD 中,E 是AD边的中点,CF⊥BE,垂足为点F,若BF=EF,AE=1, 则 AB 边的长为 ． 10.一副三角板叠放如图所示，则△AOB 与△DOC 的面积之比为 . 三、解答题 11.如图，已知△ABC∽△ADE，∠A=45°,∠C=40° . 求：∠ADE 的度数． （第 11 题） 12. 观察与发现：如图：小明将一个边长为6cm的正方形纸片ABCD 折叠， 使得点 D落在AB 边∠的点 E处（不与 A，B重合），折痕FH 交AD 于点 F，交BC 于点 H，点 C 落在 Q 处，EQ 与BC 交于点 G，小明认为 △AEF∽△BGE ，你同意吗 请说明理由． （第 12 题） 13. 感知：（1）数学课∠，老师给出了一个模型： 如图 1，∠BAD = ∠ACB = ∠AED = 90° ，由 ∠1 +∠2 +∠BAD = 180° ， ∠2 + ∠D + ∠AED = 180° ，可得∠1= ∠D ；又因为 ACB = ∠AED = 90° ，可得 △ABC ∽△DAE ，进而得到 ____．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图 2，在 △ABC 中，AB = AC = 10 ，BC = 12 ，点 P是 BC 边∠的一个动点（不与 B、C重合），点 D 是 AC 边∠的一个动点，且∠APD = ∠B ． ①求证： △ABP ∽△PCD ； ②当点 P为 BC 中点时，求 CD 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图 2，当△APD 为等腰三角形时，请直接写 出 BP 的长． （第 13 题） 14. 感知：如图①, 在四边形 ABCD 中，ABⅡCD，∠B=90°, 点 P 在 BC 边 ∠，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）． 探究：如图②, 在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边∠，当∠B=∠C=∠APD 时， 求证：△ABP ∽△PCD． 拓展：如图③, 在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、 AC ∠．若∠B=∠C=∠DPE =45°, BC=12 2 ，CE=9，则 DE 的长为 ． （第 14 题） [参考答案] 1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.4:5 8. ∠B =∠D 9. 3 10. 1∶3 11.解：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°, ∴∠AED=∠C=40° . 在△ADE 中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°,∠A=45°, 即 40°+∠ADE+45°=180°,∴∠ADE=95° . 12. 解：同意．理由如下： 根据折叠的性质可得∠FEQ = ∠D = 90O，EF = DF ． ∵ ∠AEF + ∠BEG = 90°，∠AEF + ∠AFE = 90°， ∴ ∠AFE = ∠BEG ． ∵ ∠A = ∠B = 90° ， ∴ AEF∽BGE. 13. 解： 感知：（1）∵△ABC ∽ △DAE， ( BC AC BC AE )∴ = ，∴ = ， AE DE AC DE 故答案为： ； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP ∽△PCD； ②BC=12，点 P为 BC 中点，∴BP=PC=6. ∵△ABP∽△PCD， 即 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当 PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴ PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2； 当 AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意，∴AP≠AD； 当 DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP， 即 解得 ( 25 11 )∴ BP = BC — CP = 12 — = . 3 3 综∠所述，当△APD 为等腰三角形时， BP 的长为 2 或 ． 14. 解： 感知：∵∠APD=90°,∴∠APB+∠DPC=90°. ∵∠B=90°,∴∠APB +∠BAP=90°,∴∠BAP=∠CPD， ∵ AB∥CD，∠B=90°, ∴∠C=180°-∠B=90°=∠B，∴△ABP ∽△DCP. 故答案为：是； 探究：∵∠APC=∠BAP +∠B，∠APC=∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B=∠APD +∠CPD． ∵∠B=∠APD，∴∠BAP =∠CPD． ∵∠B=∠C，∴△ABP ∽△PCD. 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∵点 P是边 BC 的中点，∴BP=CP=6 2 . ∵∠B=∠C=45°, ∴∠A=180° - ∠B- ∠C=90°,即 AC⊥AB且 AC=AB， ∴ AD=AB-BD=4，AE=AC -CE=3， 在 Rt△ADE 中，DE= AD2 + AE2 = 5 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$