微素养·专题突破6 代数式中的核心素养表现——推理能力与应用意识-【精彩练习】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版2024）

　代数式中的核心素养表现——推理能力与应用意识 【例1】 对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定： a※b＝a2＋2ab, a◎b＝|a＋b|－|a－b|，例如，2※(－1)＝22＋2×2×(－1)＝0，(－2)◎3＝|－2＋3|－|－2－3|＝－4。 (1)计算(－3)※2的值。 (2)若a, b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b。 (3)若(－2)※x＝2◎(－4)，求x的值。 (4)对于任意有理数m, n，请你定义一种新运算“★”，使得(－3)★5＝4，直接写出你定义的运算：m ★ n＝__m2－n(答案不唯一)__。(用含m，n的代数式表示) 解：(1)根据题中的新定义得，原式＝(－3)2＋2×(－3)×2＝9－12＝－3。 (2)由a, b在数轴上的位置，可得a＋b＜0，a－b＜0， 则a◎b＝|a＋b|－|a－b|＝－a－b＋a－b＝－2b。 (3)因为(－2)※x＝2◎(－4)， 所以22－4x＝2－6， 解得x＝2。 (4)因为(－3)★5＝4， 所以m★n＝m2－n， 故答案为m2－n(答案不唯一)。 【变式】　定义一种新运算“⊙”。观察下列各式：1⊙3＝1×4＋3＝7，3⊙(－1)＝3×4－1＝11，5⊙4＝5×4＋4＝24，4⊙(－3)＝4×4－3＝13。 (1)a⊙b＝__4a＋b__。 (2)若a≠b，那么a⊙b__≠__b⊙a。(填“＝”或“≠”) (3)先化简，再求值：(a－b)⊙(3a－b)，其中a＝3，b＝4。 解：(1)根据题意得a⊙b＝4a＋b。 故答案为4a＋b。 (2)因为a⊙b＝4a＋b，b⊙a＝4b＋a，又因为a≠b， 所以a⊙b≠b⊙a。 故答案为≠。 (3)根据题中的新定义得 (a－b)⊙(3a－b)＝4(a－b)＋(3a－b)＝4a－4b＋3a－b＝7a－5b， 当a＝3，b＝4时，原式＝7×3－5×4＝1。 【例2】 某班部分学生外出参加社会实践活动，据统计共有三种出行方式：骑自行车、乘公交车和乘私家车(每人选择了一种出行方式)，其中骑车的人数比乘公交车的人数多10人，乘私家车的人数比骑车的人数少3人，设乘公交车的有m人，则该班参加此次活动的学生共有__(3m＋17)__人。(用含m的式子表示) 【变式】　两船从同一港口同时出发，反向而行，甲船顺水航行，乙船逆水航行，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h，3 h后甲船比乙船多航行__6a__km。 【例3】 如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形。 (1)用含a的代数式表示阴影部分的面积。 (2)当a＝4时，求阴影部分的面积。 解： (1)阴影部分的面积为a2＋36－×6(a＋6)＝a2＋36－3a－18＝a2－3a＋18。 (2)当a＝4时，a2－3a＋18＝×42－3×4＋18＝8－12＋18＝14。 【变式】　如图，把六张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地摆放在如图2所示的长为8 cm、宽为7 cm的长方体盒子底部，若图2中未被卡片覆盖的部分是长方形A和长方形B，则长方形A和B的周长和是__32__cm__。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程。已知参加“学科类选修课程”的有m人，参加“体音美选修课程”的人数比参加“学科类选修课程”的人数多6人，参加“科技类选修课程”的人数比参加“体音美选修课程”人数的一半多2人，则参加“科技类选修课程”的人数为(　B　) A．m＋4 B．m＋5 C．m＋6 D．2m＋2 2．苹果打八折后价格是p元/千克，则原价是(　A　) A．1.25p元/千克 B．p元/千克 C．0.8p元/千克 D．0.2p元/千克 3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字和个位数字对调，得到一个新的两位数，则下列判断正确的是(　B　) 甲同学：新的两位数可表示为b＋a； 乙同学：新的两位数与原两位数的和是11的倍数； 丙同学：若b－a能被2整除，则新的两位数与原两位数的差能被18整除。 A．只有乙同学的正确 B．只有乙、丙同学的正确 C．只有甲、丙同学的正确 D．三名同学的都不正确 【解析】 由题意得，这个两位数是10a＋b，新的两位数是10b＋a，故甲判断错误； 新的两位数与原两位数的和是10b＋a＋10a＋b＝11a＋11b＝11(a＋b)， 则其和是11的倍数，故乙判断正确； 新的两位数与原两位数的差是10b＋a－(10a＋b)＝9b－9a＝9(b－a)， 因为b－a能被2整除， 所以新的两位数与原两位数的差能被18整除，故丙判断正确。 故判断正确的有乙、丙。 4．如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，正方体上的小球总数为__12m－16__。 5．张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份报纸。若剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报盈利__(0.3b－0.2a)__元。 6．若a，b是有理数，定义一种运算“⊕”：a⊕b＝ab－2a－2b＋1。 (1)计算3⊕(－2)的值。 (2)定义的新运算“⊕”对交换律是否成立？请写出你的探究过程。 解：(1)3⊕(－2) ＝3×(－2)－2×3－2×(－2)＋1 ＝－6－6＋4＋1 ＝－7。 (2)因为a⊕b＝ab－2a－2b＋1， b⊕a＝ba－2b－2a＋1＝ab－2a－2b＋1， 所以a⊕b＝b⊕a，所以定义的新运算“⊕”对交换律成立。 7．小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的(如图1所示)，小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的(如图2所示)，小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的(如图3所示)。 (1)根据装饰图案变化的规律，设计下一个装饰物图案。 (2)分别求出图1、图2、图3中装饰物所占的面积(结果要求化简)。 (3)你能发现装饰物面积变化的规律吗？请用代数式表示出第n个装饰物的面积。 解：(1)下一个装饰图案是半径相同的两个四分之一圆和三个半圆。 (2)题图1中装饰物所占的面积是π＝πb2； 题图2中装饰物所占的面积是π＝ b2； 题图3中装饰物所占的面积是π＋×π＝b2。 (3)第n个装饰物的面积是b2(n为正整数)。 学科网（北京）股份有限公司 $$