第15讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第15讲1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：利用空间向量求点线距 3 题型二：利用空间向量求点面距 6 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 10 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 15 题型五：利用向量方法求两个平面的夹角 23 第四部分：自主预习成果检测 30 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算) 2.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(数学运算) 3.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(数学运算) 4.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1、用向量方法求空间距离 1.1求点面距的一般步骤：（求点到平面的距离） ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影. 由 得距离公式： 1.2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解. 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 2用向量方法求空间角 2.1求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则①②. 2.2求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有①②. 2.3求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第三部分：典型例题剖析 题型一：利用空间向量求点线距 典型例题： 例题1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 例题2．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 精练核心 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 2．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出在上的投影向量的长度，利用点到直线向量距离公式得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则． 在上的投影向量的长度为， 点到的距离为 故答案为： 题型二：利用空间向量求点面距 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 例题2．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 精练核心 1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 精练核心 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 2．（2025·辽宁·三模）在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，求得的坐标，结合向量的加减公式，即可求解； 解法二：设，取的中点P，连接，证得和，得到（或其补角）是异面直线与所成角，在中，结合余弦定理，即可求解． 【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得， 则， 所以. 解法二：设，则， 如图所示，取的中点P，连接， 在正方形中，可得， 在三角形中，因为是的中点，可得， 所以（或其补角）是异面直线与所成角， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得, 在中，由余弦定理得． 故选:D． 3．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BD交AC于点H，证明，由线线平行即可证明线面平行； （2）先证明平面，建系后，求出相关点和向量的坐标，利用线面角的向量求法计算即得. 【详解】（1） 如图，连接BD交AC于点H，连接HE， 因四边形ABCD是正方形，则H是BD的中点， 又因E为线段PD的中点，可得， 由于平面ACE，平面ACE， 所以直线平面ACE； （2） 因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以， 又因为，，且AD、平面， 所以平面， 因为，故可分别以AD，AP，AB为轴的正方向建立空间直角坐标系； 又底面ABCD为边长为1的正方形，， 则，，，，， 则，，， 设平面ACE的一个法向量为， 则， 令，则， 设直线PC与平面ACE所成角为， 则，因， 所以， 即直线PC与平面ACE所成角的余弦值为. 例题2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； 【详解】（1）连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 精练核心 1．（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取中点，由题意可证，，进而可证平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量与平面BCE的法向量，利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）取中点，连接，则， 因为，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，所以两两垂直． 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量，则有，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2．（24-25高二下·云南昆明·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）根据面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，，    因为是的中点，所以是三角形的中点，所以，且， 因为底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是正三角形，是的中点，所以， 又因为侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面， 取的中点，连接，则，所以， 以为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量，则，取， 又， 设直线CF与平面所成角为，故； 所以直线CF与平面所成角的正弦值为. 3．（2025·广西·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，先证明，再利用线面平行的判定定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）连接BD交AC于点H，连接HE. 因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点. 又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得. 由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE. （2）因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD. 又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. 在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz. 又底面ABCD为边长为2的正方形，，则， ，； ； 设平面PAC的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线AE与平面PAC所成角为θ，， 即直线AE与平面PAC所成角正弦值为. 题型五：利用向量方法求两个平面的夹角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点．    (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后利用等腰三角形的性质得，进而利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量为，由（1）可知，为平面PAC的法向量，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面，所以， 又底面ABCD为正方形，，，平面，平面，所以平面，平面，所以， 平面ABCD，平面，所以， 在中，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则,即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角的夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 例题2．（2025·江西·三模）如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点的坐标表示出来，从而得到向量的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0即可证明是否垂直. （2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2）设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 精练核心 1．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据圆台体积计算圆台的高度，取的中点，的中点就是要找的点，计算，证明中四边形为平行四边形结合三角形中位线，平行的传递性证明结果；（2）以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式计算平面与平面的夹角； 【详解】（1）设圆台的高为， 因为上下底面半径分别为1和2，体积为， 所以，所以. 取的中点，连接，则的中点就是要找的点. 证明如下：因为为下底面圆周上一点，，为的中点， 所以. 在三角形中，因为，分别为，的中点， 所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以. （2）如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， ，，，，所以， 所以，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得到结果. （2）利用面面夹角的向量求法即可求得结果. 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 3．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题意得，点到平面的距离． 故选：B． 4．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 5．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写坐标，代入余弦公式即可求得. 【详解】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，.设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求线面角即可. 【详解】，，，， 故， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 故， 设与平面所成角为， 则. 故选：C 7．（多选）（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 8．（多选）（24-25高二下·江苏南通·期末）已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（   ） A． B．点P到平面的距离为 C．二面角的正切值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后用向量法逐项判断即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设， 所以，，则，所以，所以A正确； 因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离， 因为为正方形，连接，，使,所以， 因为正方体中，平面，所以， 所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确； 由题知，平面的一个法向量， 又，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以C错误； 作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 9．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 10．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 12．（24-25高二下·陕西榆林·期末）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，根据几何性质证得，结合线面平行判定定理得结论；或取的中点，连接，，由面面平行判定定理证得平面平面，再结合面面平行的性质得结论； （2）取的中点，的中点，连接，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求解平面与底面得法向量，结合空间向量的坐标运算求解面面夹角即可；或取的中点，的中点，连接，，，确定二面角的平面角，利用几何性质结合余弦定理即可得结果. 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解法2：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为平面，平面，直线直线， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2）解法1：取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面， 又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 解法2：取的中点，的中点，连接，，， 由题意易得，， 因为是的中点，所以， 又，所以是二面角的平面角， 因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面，， 又，所以，，， 所以由余弦定理得， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：利用空间向量求点线距 3 题型二：利用空间向量求点面距 4 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 5 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 6 题型五：利用向量方法求两个平面的夹角 9 第四部分：自主预习成果检测 11 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算) 2.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(数学运算) 3.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(数学运算) 4.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1、用向量方法求空间距离 1.1求点面距的一般步骤：（求点到平面的距离） ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影. 由 得距离公式： 1.2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解. 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 2用向量方法求空间角 2.1求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则①②. 2.2求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有①②. 2.3求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第三部分：典型例题剖析 题型一：利用空间向量求点线距 典型例题： 例题1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 精练核心 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 3．（2026高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 题型二：利用空间向量求点面距 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 例题2．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 精练核心 1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 精练核心 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·三模）在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 例题2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 精练核心 1．（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高二下·云南昆明·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2025·广西·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型五：利用向量方法求两个平面的夹角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点．    (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的大小． 例题2．（2025·江西·三模）如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 精练核心 1．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 8．（多选）（24-25高二下·江苏南通·期末）已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（   ） A． B．点P到平面的距离为 C．二面角的正切值为1 D．的最小值为 9．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 10．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 11．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 12．（24-25高二下·陕西榆林·期末）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$