第14讲 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第14讲1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 4 题型一：平面的法向量及其求法 4 题型二：考用空间向量证明平行关系 6 角度1利用向量方法证明线面平行 6 角度2利用向量方法证明面面平行 13 题型三：用空间向量证明垂直关系 18 角度1利用向量方法证明线线垂直 18 角度2利用向量方法证明线面垂直 24 角度3利用向量方法证明面面垂直 31 第四部分：自主预习成果检测 35 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象) 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象) 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理) 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理) 第二部分：知识精准记忆 1.直线的方向向量 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．如图．点是直线上一点．向量表示直线的方向(方向向量)．在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得．这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点. 拓展 线段中点的向量表达式 在中，当时，我们就可以得到线段中点的向量表达式．设点是线段的中点，则，这就是线段中点的向量表达式． 2.空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 拓展 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 3.用向量方法判定空间中的平行关系 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 4.空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 第三部分：典型例题剖析 题型一：平面的法向量及其求法 典型例题： 例题1．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 例题2．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 【详解】设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）已知，若平面的一个法向量为，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，求出，再借助方程组求出平面的一个法向量作答. 【详解】依题意，，显然与不共线，设平面的一个法向量， 则，取，得，， 因此是平面的一个法向量，平面的法向量（）. 故答案为：答案不唯一 题型二：考用空间向量证明平行关系 角度1利用向量方法证明线面平行 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 例题2．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 角度2利用向量方法证明面面平行 典型例题： 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 例题2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 2．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 题型三：用空间向量证明垂直关系 角度1利用向量方法证明线线垂直 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【答案】 【分析】法一：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由已知条件求出的值，即可得出的长；法二：可借助线面垂直的性质定义得到，再由计算即可得；法三：借助线面垂直的性质定义得到后，利用等面积法计算即可得. 【详解】法一：平面，四边形为矩形， 故可以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， 因为，所以，解得， 故； 法二：如图，连接，因为底面，且底面， 所以，又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 从而， 因为，所以， 所以，于是，所以，即， 所以，所以； 法三：如图，连接交于点N， 因为底面，且底面，所以， 又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，有， 所以，即， 令，因为M为的中点， 则，，， 由， 得，解得， 所以. 例题2．（22-23高二上·湖南永州·阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)证明：在线段上存在点D，使得，并求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；. 【分析】（1）由题意得，再根据面面垂直的性质定理即可求解. （2）根据题意建立空间直角坐标系，设，，可将点的坐标用表示出来，再根据向量垂直的条件，可得，利用向量数量积的坐标运算，即可求出的值. 【详解】（1）四边形是正方形， ， 又平面平面， 平面平面，平面， 平面. （2）由（1）知， ， 由勾股定理知， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设是直线上一点，且， 又，， ， 解得，即， ， 因为，，所以，即， 解得， ， 所以在线段上存在点D，使得，此时. 精练核心 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】法一：利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质定理即可证明；法二：利用空间向量即可证明；法三：利用三余弦定理法证明. 【详解】法一：几何证法 作交于，连接， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，即有， 因为，所以，所以， 在中， ， 即有，所以， 由棱台的定义可知，，所以， 又平面，而平面，则有，， 而，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 法二：空间向量坐标系方法 作交于， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设OC=1，因为，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即， 又因为棱台中，所以. 法三：三余弦定理法 因为平面平面， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以，所以，即， 又因为，所以. 2．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标； （2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可． 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1的正方形，2， 则，， 设， 由，可得， 解得，即. （2）因为， 所以，，则， 所以，. 角度2利用向量方法证明线面垂直 典型例题： 例题1．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 例题2．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面． 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，    设， 则，，，，． 所以，，． 法一：因为，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面． 法二：设，则，． 因为，所以， 即．① 又因为，可设，所以，，．② 由①②可知，，，，所以． 设为平面的法向量， 则有，即，所以，取，则． 所以，所以平面． 精练核心 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】方法一：由已知可得和是等腰直角三角形，则可证得，再由长方体的性质可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案； 【详解】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．    求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明直线与平面内的两条相交直线垂直，从而根据直线与平面垂直的判定定理即可证明. 【详解】   由已知，直三棱柱中，， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 而，且平面， 所以平面. 角度3利用向量方法证明面面垂直 典型例题： 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到平面.然后利用向量的数量积为零得到，进而得证； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量的数量积为零得到，进而得到平面平面. 【详解】（1）由题意，知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    设正方形的边长为2，则，，，，，，， . 由题意知，， 又因为，平面， 所以平面. 因为，，所以，即. 又因为平面，故平面. （2）设平面与平面的法向量分别为，.因为，， 所以，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 可得，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 所以，所以平面平面. 精练核心 1．（24-25高二·全国·阶段练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【答案】证明见解析 【分析】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直. 【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1， 则， 所以， 设平面ECA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 设平面DEA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 因为，所以， 所以平面DEA⊥平面ECA. 2．（24-25高二·全国·阶段练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【答案】证明见解析 【分析】以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量之间的关系证明面面垂直. 【详解】由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点， 分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)， 故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ， 设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)， 则，即 令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)． 设平面AEC1的法向量为＝(a，b，c)， 则，即, 令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)． 因为＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若两互相平行的平面、的法向量分别为，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，结合空间向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】因为，则，所以，，解得. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 6．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 7．（多选）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 8．（多选）（2025·山东潍坊·二模）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 【答案】AC 【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由线面垂直可得，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，解得. 故答案为： 10．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【答案】10 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得出，可得结论. 【详解】因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，， 有，又不在一条直线上， 所以. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，说明，即可. 【详解】因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以． 13．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 14．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：平面的法向量及其求法 3 题型二：考用空间向量证明平行关系 5 角度1利用向量方法证明线面平行 5 角度2利用向量方法证明面面平行 7 题型三：用空间向量证明垂直关系 9 角度1利用向量方法证明线线垂直 9 角度2利用向量方法证明线面垂直 11 角度3利用向量方法证明面面垂直 13 第四部分：自主预习成果检测 15 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象) 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象) 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理) 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理) 第二部分：知识精准记忆 1.直线的方向向量 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．如图．点是直线上一点．向量表示直线的方向(方向向量)．在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得．这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点. 拓展 线段中点的向量表达式 在中，当时，我们就可以得到线段中点的向量表达式．设点是线段的中点，则，这就是线段中点的向量表达式． 2.空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 拓展 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 3.用向量方法判定空间中的平行关系 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 4.空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 第三部分：典型例题剖析 题型一：平面的法向量及其求法 典型例题： 例题1．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）已知，若平面的一个法向量为，则 ． 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 题型二：考用空间向量证明平行关系 角度1利用向量方法证明线面平行 典型例题： 例题1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 例题2．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 角度2利用向量方法证明面面平行 典型例题： 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 例题2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 精练核心 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    2．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 题型三：用空间向量证明垂直关系 角度1利用向量方法证明线线垂直 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 例题2．（22-23高二上·湖南永州·阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)证明：在线段上存在点D，使得，并求的值. 精练核心 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 2．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 角度2利用向量方法证明线面垂直 典型例题： 例题1．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 例题2．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    精练核心 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．    求证：平面. 角度3利用向量方法证明面面垂直 典型例题： 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 精练核心 1．（24-25高二·全国·阶段练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 2．（24-25高二·全国·阶段练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若两互相平行的平面、的法向量分别为，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（多选）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·山东潍坊·二模）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 10．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 12．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 13．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 14．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$