第13讲 1.3空间向量及其运算的坐标表示（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第13讲1.3空间向量及其运算的坐标表示（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：空间图象上的点坐标 3 题型二：空间两点间的距离公式应用 6 题型三：空间坐标的运算及其模的求法 10 题型三：空间向量的平行与垂直 14 题型四；空间向量夹角计算 17 第四部分：自主预习成果检测 19 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.(数学抽象) 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学运算) 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1.空间直角坐标系 1.1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2.空间一点的坐标 在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 3.空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 4.空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行（） 垂直（） （均非零向量） 警示在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 6.空间向量长度､夹角公式的坐标表示 6.1.空间向量长度公式的坐标表示 （1）若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 （2）空间两点间的距离公式 已知，则 6.2.空间向量夹角公式的坐标表示 设，则 第三部分：典型例题剖析 题型一：空间图象上的点坐标 典型例题： 例题1．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 精练核心 1．（23-24高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案. 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 2．（23-24高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，． (2) 【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示； （2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标. 【详解】（1）因为，，， 所以点的坐标为，从而． （2）同理因为，，，易得点的坐标为，所以． 题型二：空间两点间的距离公式应用 典型例题： 例题1．（多选）（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（    ）    A．三棱锥的体积为 B．线段PA的长为 C．点的轨迹长为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，点到平面的距离为，再通过三棱锥的体积公式计算即可；对于B，设的中心为，则，通过勾股定理计算即可；对于C，如图②所示，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成并计算即可；对于D，建立空间直角坐标系，当位于点或的位置时，最小，计算即可. 【详解】对于A，在正方体中，平面，，由三垂线定理有， 同理有，，所以平面， ，，且平面，平面， 所以平面平面，且两平面间的距离为， 又的面积，所以三棱锥的体积，故A正确； 对于B，如图①所示，设的中心为，则， ，故B错误； 对于C，如图②所示，由知，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半，故C正确； 对于D，， 为在方向上的投影，由图①可知，当位于点或的位置时，最小， 此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系， 则，故D正确. 故选：ACD.    例题2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 精练核心 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 【答案】6 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 故答案为：. 题型三：空间坐标的运算及其模的求法 典型例题： 例题1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 例题2．（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，得，，且，，由已知及向量数量积的坐标运算得，结合向量模长的坐标运算得，且，即可求最值. 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 故答案为： 精练核心 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    【答案】 抛物线 【分析】根据抛物线的定义得出点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算． 【详解】因为平面平面，平面平面，而平面， 所以到直线的距离就是到平面的距离， 由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴）， ，，， 点的轨迹方程是， ， 所以时，， 故答案为：抛物线；．    2．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值. 【详解】如图， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 因为平面，故，即 则 ， 因为，故当时， 故答案为： 3．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】根据向量的运算求得其坐标，根据二次函数的性质，求得最值，利用向量模长公式可得答案. 【详解】由题意可知：，可设， ， ， 当时，取得最小值为，此时， 则. 故答案为：. 题型三：空间向量的平行与垂直 典型例题： 例题1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 例题2．（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知向量，. ①计算；②求. （2）已知向量，. ①若∥，求实数； ②若，求实数. 【答案】（1）①； ②；（2）①；② 【分析】（1）①根据题意可得，根据模长的坐标运算求解；②根据题意可得，根据向量的夹角公式运算求解； （2）根据题意求.①根据向量共线的坐标运算求解；②根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）①因为向量， 则，所以； ②由题意可得：， 则， 且，所以； （2）因为向量， 则，， ①若， 则，解得； ②若， 则，解得. 精练核心 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 2．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 题型四；空间向量夹角计算 典型例题： 例题1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 例题2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 例题3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）由数量积和模的坐标表示计算； （2）由向量夹角的坐标表示求解． 【详解】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 精练核心 1．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】设与的夹角为， 所以. 则与的夹角的余弦值为. 故选：A. 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， （2）由（1）得：，； 所以， 又，所以，即与的夹角为. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·河南开封·期末）在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，根据向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有， 又，所以， 所以，即，所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知、、三个向量共面，则存在实数、，使得，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设,则由，可求得，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段长度的范围即可. 【详解】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 .设，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：A 6．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B.    7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 9．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】对于A，利用空间向量垂直的性质判断；对于B，利用空间向量平行的性质即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，因为，，即，解得，故A错误； 对B，因为，所以存在实数，使得， 则，即， 解得，，故B正确； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，， ，故D不正确. 故选：BC. 10．（多选）（2025·四川成都·三模）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 【答案】AB 【分析】根据题意，设，由向量相等的条件求，可判断AB；利用反证法判断C；根据条件无法判断，，是否线性相关，判断D. 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 11．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 12．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 14．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 15．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求. 【详解】（1） 如图，连接，则彼此平分，而为的中点， 故为的中点，而为的中点，故， 而平面，平面，故平面. （2） 由直三棱柱的体积为可得， 而，故，而为三角形内角，故， 故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，而， 由，可得，解得. 故，故 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲1.3空间向量及其运算的坐标表示（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 1 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：空间图象上的点坐标 3 题型二：空间两点间的距离公式应用 5 题型三：空间坐标的运算及其模的求法 6 题型三：空间向量的平行与垂直 7 题型四；空间向量夹角计算 8 第四部分：自主预习成果检测 10 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.(数学抽象) 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学运算) 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1.空间直角坐标系 1.1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2.空间一点的坐标 在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 3.空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 4.空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行（） 垂直（） （均非零向量） 警示在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 6.空间向量长度､夹角公式的坐标表示 6.1.空间向量长度公式的坐标表示 （1）若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 （2）空间两点间的距离公式 已知，则 6.2.空间向量夹角公式的坐标表示 设，则 第三部分：典型例题剖析 题型一：空间图象上的点坐标 典型例题： 例题1．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 精练核心 1．（23-24高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 2．（23-24高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 题型二：空间两点间的距离公式应用 典型例题： 例题1．（多选）（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（    ）    A．三棱锥的体积为 B．线段PA的长为 C．点的轨迹长为 D．的最大值为 例题2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 精练核心 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 题型三：空间坐标的运算及其模的求法 典型例题： 例题1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 例题2．（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 精练核心 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    2．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 3．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时， ． 题型三：空间向量的平行与垂直 典型例题： 例题1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 例题2．（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知向量，. ①计算；②求. （2）已知向量，. ①若∥，求实数； ②若，求实数. 精练核心 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 2．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 题型四；空间向量夹角计算 典型例题： 例题1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 精练核心 1．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·河南开封·期末）在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（多选）（2025·四川成都·三模）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 11．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 12．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 14．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 15．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$