第12讲 1.2空间向量基本定理（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第12讲 1.2空间向量基本定理（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 1 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：基底的判断 3 题型二：用基底表示空间向量 4 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 5 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 8 第四部分：自主预习成果检测 10 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象) 2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象) 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理) 第二部分：知识精准记忆 1.空间向量基本定理 1.1．定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 1.2．基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 2.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 3．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分：典型例题剖析 题型一：基底的判断 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 精练核心 1．（24-25高二上·江西·期中）设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（多选）（24-25高三上·河北·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（    ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示空间向量 典型例题： 例题1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 精练核心 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 典型例题： 例题1．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 例题2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 精练核心 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. (1)以为一组基底，表示，； (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 2．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 3．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则 . 例题3．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 精练核心 1．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（    ） A．16 B． C．4 D． 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 7．（多选）（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 10．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 11．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 12．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 1.2空间向量基本定理（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 1 第三部分：典型例题剖析 3 题型一：基底的判断 3 题型二：用基底表示空间向量 6 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 9 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 13 第四部分：自主预习成果检测 19 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象) 2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象) 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理) 第二部分：知识精准记忆 1.空间向量基本定理 1.1．定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 1.2．基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 2.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 3．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分：典型例题剖析 题型一：基底的判断 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量基底的概念逐个判断即可. 【详解】∵是空间的一个基底， 易知不共面，不共面，不共面， 而， ∴中三个向量是共面的，不能作为基底， 故选：C 例题2．（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量共面定理，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B正确； 对于C，假设存在，，使得， 则，显然无解，所以不共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D正确. 故选：ABD. 精练核心 1．（24-25高二上·江西·期中）设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的一组基底，要求三个向量不共面，结合选项依次判断即可． 【详解】选项A：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故A不符合题意； 选项B：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故B不符合题意； 选项C：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故C不符合题意； 选项D：假设不能作为空间的一个基底，则共面， 存在，使得， 则向量共面，与题意矛盾，故不共面， 因此可以作为空间的一个基底，故D符合题意. 故选：D. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】假设向量共面，设出向量共面对应的关系式，确定方程组是否有解，由此作出判断. 【详解】对于A：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于B：设，，不能构成基底，则， 因为不共面，所以上式显然无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于C：设，，不能构成基底，则， 所以，解得，所以假设成立，所以不能构成基底，符合； 对于D：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 故选：C. 3．（多选）（24-25高三上·河北·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，设，从而得到方程组，方程组有解，故三向量共面，不能构成基底；BCD选项，同A，看方程组是否有解，判断能否构成一个基底. 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得， 故共面，不能构成空间的一个基底，A错误； B选项，设，即， 所以，无解，故不共面，可以构成空间的一个基底，B正确； C选项，设，即， 故，无解，故不共面，可以构成空间的一个基底，C正确； D选项，设，即， 故，解得，故共面， 不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：BC 题型二：用基底表示空间向量 典型例题： 例题1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，得到答案. 【详解】，点为中点， . 故选：D 例题2．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以， 所以. 故选：C. 精练核心 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 典型例题： 例题1．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 例题2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果； （2）利用垂直关系的向量表示，可得，即可求得. 【详解】（1）易知； （2）易知，又； 所以； 不妨取， 可得 ， 即可得， 所以. 精练核心 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. (1)以为一组基底，表示，； (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，2 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合图形将，用表示即得； （2）依题设，，将用表示，利用求出的值，即可求得. 【详解】（1）， ； （2）设线段上存在一点E，使得，且，， 因为，且， 因故 ， 解得，此时点E与点C重合，. 2．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1)存在，为中点. (2) 【分析】（1）为中点时，可证明四边形为梯形； （2）先将用基底表示，由，根据的数量积运算即可得解. 【详解】（1）为中点，四边形为梯形，理由如下： 为中点，连接， 又是的中点，则有且， 三棱柱中，且， 所以有且， 故为中点，四边形为梯形； （2）依题意，，， 则有，，， ， ，则，即， 解得. 3．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量基本定理得到，，根据数量积运算法则求出，证明出垂直关系. 【详解】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 典型例题： 例题1．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 例题2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，，两边平方计算后求其模. 【详解】根据题意，取中点，连接, ， 又， 则 ， 所以. 故答案为：. 例题3．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可. （2）根据平面向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）， ， （2） ， 又△和△均为等边三角形，∴． 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 精练核心 1．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 3．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 【详解】（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 3．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（    ） A．16 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性表示，然后计算即可. 【详解】由题可知：是棱长都为2的直平行六面体，则，且， 由，所以两边平方可得： 所以，则. 故选：C 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，，，则， 且，，则， 可得， 则 ， 所以，即. 故选：B. 7．（多选）（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 10．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 【答案】/0.25 【分析】利用平面向量基本定理得到，利用向量数量积运算法则和得到方程，求出答案. 【详解】长方体中，， ， ， ， 故 ， 解得或， 因为，所以满足要求，不合要求，舍去. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 12．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$