第10讲 1.1.1空间向量及其线性运算（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第10讲 1.1.1空间向量及其线性运算（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 5 题型一：空间向量及有关概念 5 题型二：空间向量的线性运算 8 题型三：空间向量的共线问题 11 题型四：空间向量的共面问题 14 第四部分：自主预习成果检测 17 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.了解空间向量的概念.(数学抽象) 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(逻辑推理) 3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.(数学运算) 4.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.(数学抽象) 第二部分：知识精准记忆 1．空间向量的概念及表示方法 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等． （2）表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： ①几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； ②字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 拓展 （1）在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立． （2）和平面向量一样，空间向量也不能比较大小． （3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 3．空间向量的加减运算 量空间向量的位置 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 空间向量的加法运算（首尾相接首尾连） 作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量） 向量叫做与差，记作，即 空间向量的加法运算律 加法交换律 加法结合律 对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的． （1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算． （2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；表示从向量的终点指向向量的终点的向量 4.空间向量的数乘运算 （1）空间向量的数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 拓展可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 5.共线（平行）向量的定义 5.1定义： 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 5.2向量共线的充要条件 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 5.3向量共线的推论 如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 6.空间向量的共面问题 6.1定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 6.2向量共面的充要条件 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使，对于向量共面的充要条件，还应注意以下几点： 6.3空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 第三部分：典型例题剖析 题型一：空间向量及有关概念 典型例题： 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 例题2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 精练核心 1．（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 【答案】 错误 正确 正确 正确 【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念判断即可. 【详解】（1）单位向量的方向是任意的，故（1）错误； （2）在空间中，任意向量都可以平移，故（2）正确； （3）在空间中长度相等，方向相反的向量，叫相反向量，是共线的，故（3）正确； （4）相等向量方向相同，长度相等，当起点相同时，终点一定相同，故（4）正确. 故答案为：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）正确. 2．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 3．（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 解题要点：(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可; (2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1; (3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; (4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的. 题型二：空间向量的线性运算 典型例题： 例题1．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 例题2．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 精练核心 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 3．（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 解题要点：(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算. ②平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. 题型三：空间向量的共线问题 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是 ． 【答案】 【分析】应用向量平行结合平面向量基本定理计算求参. 【详解】若与共线，则． 因为非零向量不共线，所以即，所以． 故答案为： 精练核心 1．（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 ． 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线列方程组，解方程求得，进而求得. 【详解】由题得存在实数满足，则． 又为空间的一组基底，则满足，解得则． 故答案为： 解题要素：判断或证明空间中的三点(如,,)是否共线: ①考查是否存在实数,使 ②考查对空间任意一点,是否有 ③考查对空间任意一点,是否有.（） 题型四：空间向量的共面问题 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 例题2．（多选）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 例题3．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 精练核心 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值. 【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 2．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 解题要素：证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若,则向量共面. (2)若存在有序实数组使得对于空间任一点,有 ,且成立,则四点共面. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用共面向量定理的推论求解即可. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 6．（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法的三角形法则和平行四边形法则计算即可. 【详解】因为是边的中点，则，. 故选：B 7．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 9．（多选）（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三个向量两两共面，但这三个向量不一定共面 【答案】BD 【分析】根据共面向量判断即可． 【详解】对于A，若，则共面，故A错误； 对于B，通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故B正确； 对于C，如图所示，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故C错误；    对于D，如图所示，在正方体中三个向量两两共面，则这三个向量可以共面； 在正方体中三向量两两共面，但这三个向量不共面，故D正确；    故选：BD． 10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【分析】由向量基本定理表达出，根据四点共面，得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 12．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【详解】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 13．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 1.1.1空间向量及其线性运算（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 1 第三部分：典型例题剖析 5 题型一：空间向量及有关概念 5 题型二：空间向量的线性运算 7 题型三：空间向量的共线问题 9 题型四：空间向量的共面问题 10 第四部分：自主预习成果检测 11 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.了解空间向量的概念.(数学抽象) 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(逻辑推理) 3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.(数学运算) 4.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.(数学抽象) 第二部分：知识精准记忆 1．空间向量的概念及表示方法 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等． （2）表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： ①几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； ②字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 拓展 （1）在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立． （2）和平面向量一样，空间向量也不能比较大小． （3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 3．空间向量的加减运算 量空间向量的位置 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 空间向量的加法运算（首尾相接首尾连） 作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量） 向量叫做与差，记作，即 空间向量的加法运算律 加法交换律 加法结合律 对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的． （1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算． （2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；表示从向量的终点指向向量的终点的向量 4.空间向量的数乘运算 （1）空间向量的数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 拓展可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 5.共线（平行）向量的定义 5.1定义： 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 5.2向量共线的充要条件 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 5.3向量共线的推论 如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 6.空间向量的共面问题 6.1定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 6.2向量共面的充要条件 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使，对于向量共面的充要条件，还应注意以下几点： 6.3空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 第三部分：典型例题剖析 题型一：空间向量及有关概念 典型例题： 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 例题2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 精练核心 1．（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 2．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 3．（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 解题要点：(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可; (2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1; (3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; (4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的. 题型二：空间向量的线性运算 典型例题： 例题1．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 精练核心 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 解题要点：(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算. ②平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. 题型三：空间向量的共线问题 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是 ． 精练核心 1．（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 解题要素：判断或证明空间中的三点(如,,)是否共线: ①考查是否存在实数,使 ②考查对空间任意一点,是否有 ③考查对空间任意一点,是否有.（） 题型四：空间向量的共面问题 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 例题2．（多选）（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 例题3．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 精练核心 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 解题要素：证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若,则向量共面. (2)若存在有序实数组使得对于空间任一点,有 ,且成立,则四点共面. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三个向量两两共面，但这三个向量不一定共面 10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 11．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    12．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 13．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$