第09讲 概率（10.1随机事件与概率+10.2事件的相互独立性+10.3频率与概率）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第09讲 概率（复习温故） （10.1随机事件与概率+10.2事件的相互独立性+10.3频率与概率） 目录 高频考点1：样本空间与样本点 1 高频考点2：古典概型 3 高频考点3：相互独立 10 高频考点4：互斥事件与对立事件 15 高频考点5：概率统计综合问题 17 高频考点1：样本空间与样本点 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【答案】样本空间，个数为9． 【分析】由表可知在职人员人数为，结合，，利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数即可. 【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90， 所以在职人员人数为（人），即， 因为，， 所以样本空间，样本点的个数为9. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 3．（2024高一下·全国·专题练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 【答案】(1)55个 (2)． 【分析】（1）利用列举法求得样本点点数； （2）直接写出事件C包含的样本点. 【详解】（1）不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机取两个不同的数，可分类如下： 取2， 共有10个样本点； 取3，共有9个样本点； 取5，共有8个样本点； …… 取29，共有1个样本点． 所以共有1＋2＋3＋…＋9＋10＝5×（10＋1）＝55（个）样本点． （2）. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) (4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1) 【分析】列举法写出样本点即可. 【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． （2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点： (3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). （3）“出现点数相等”包含以下6个样本点： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6). （4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). 核心知识点 如果事件空间是有限的，可以使用集合列举法，或树状图表示； 如果事件空间是无限的，可以使用集合描述法表示. 高频考点2：古典概型 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 【答案】(1)，平均值为1.73； (2). 【分析】（1）由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可； （2）应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可. 【详解】（1）因为，所以. 平均值：.    （2）抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为， 样本空间， 设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】(1)20 (2)众数27.5 ；第80百分位数37.5 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出年龄在内的频率即可计算人数； （2）根据频率分布直方图众数、百分位数的计算方式即可求解； （3）根据分层抽样可知应从第3，4组中分别抽取3人，2人，再列举出抽取2人的情况，从中找出符合题意的情况，利用古典概型即可求出概率. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）众数27.5 ；前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人， 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名市民中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种， 其中第4组的2名市民，至少有一名被选中的情况有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 4．（24-25高一下·江西·阶段练习）某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在内，将成绩分为，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成绩在和内各1人的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和1得到方程，计算求参，再应用频率分布直方图计算得出平均数； （2）列举法求解古典概型的概率. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名学生成绩的平均数． （2）由，得这5人中成绩在的人数为2，分别记为； 在的人数为3人，分别记为． 在这5人中抽取2人，共，10个基本事件， 这2名学生成绩在和内各1人，共，6个基本事件， 故这2名学生数学成绩在和内各1人的概率为． 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249. (1)求这5个数据的60%分位数及平均数； (2)从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案； （2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以这5个数据的60%分位数为：， 平均数为：， 所以这5个数据的60%分位数为，平均数为. （2）从个数据中任取个数据， 样本空间 ，共含有个样本点， 设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”， 则，共含有个样本点， 所以. 则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为. 6．（24-25高二上·广东江门·期中）一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回的方式从中依次随机地取2个球. (1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求第二次取到的球是红球的概率 (3)求两次取到的球颜色相同的概率 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据样本空间及样本点的定义即可求解； （2）根据古典概型公式计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可； 【详解】（1）设两个红球为，三个白球为， 第一次取到的球为，第二次取到的球为，一次试验结果为， 则样本空间为， 共含有20个样本点，且每个样本点发生是等可能的. （2）设事件“第二次取到的球是红球”， 则，共有8个样本点， 所以； （3）设两次取到的球颜色相同的事件为， 则，共有8个样本点， 所以. 7．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊位.为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高服务越好，评分均在内）.根据评分，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求n的值； (2)该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有30%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数； (3)为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随机抽样的方法从样本中，两个区间内抽取4个摊位，再从这4个摊位中依次随机抽取2个进行服务提升指导，求第二个进行服务提升指导的摊位评分在的概率. 【答案】(1) (2)分 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1列式计算即可； （2）根据频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为，列式计算即得.； （3）根据分层抽样确定，两个区间内抽取的人数，再根据古典概型计算公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）设应该制定的分数为分，要满足恰有30%的摊位获得荣誉证书， 则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为， 因为的面积为，而的面积为，所以在内， 即，解得， 所以制定的评分分数为分； （3）由频率分布直方图可知，两个区间的摊位数之比为， 所以从样本中抽取1个摊位，从样本中抽取3个摊位， 记从抽取1个摊位为，从抽取3个摊位为， 从这4个摊位中依次随机抽取2个进行服务提升指导有： 共包含12个基本事件， 其中满足第二个进行服务提升指导的摊位评分在的有3个基本事件， 所以第二个进行服务提升指导的摊位评分在的概率为. 核心知识点 1古典概型的定义 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型． 3下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能． 古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 高频考点3：相互独立 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（   ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 【答案】C 【分析】利用列举法求出古典概率，再结合互斥事件、相互独立事件的意义逐项判断. 【详解】当时，样本空间(正正),(正反),(反正),(反反)，(正反),(反正)， (正反),(反正),(反反)， 对于A，是2次正面都朝上，是不可能事件，，A错误； 对于B，，则，B错误； 当时，样本空间(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)， (正正反),(正反正),( 反正正),(正反反),(反正反),(反反正)， (正反反),(反正反),( 反反正),(反反反)， 对于C，，则，C正确； 对于D，事件与事件可以同时发生，D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 3．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期末）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均不互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 【答案】AC 【分析】根据互斥事件的概念判断BCD，根据独立事件的概念判断A. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况， 其中事件{正反，正正}，事件{反正，正正}，事件{正正，反反}， 显然A与B，A与C均不互斥，故C正确； 依题意，，，， ， 所以事件与事件相互独立，事件与事件相互独立，故A正确；故B、D错误. 故选：AC 4．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BC 【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】A选项：，，，所以， 所以与不互斥； B选项：，，，所以， 所以与互斥； C选项：，，， 所以，，， 所以，与相互独立； D选项：，，， 所以， ，，， 所以，与不相互独立. 故选：BC. 5．（多选）（24-25高一下·安徽六安·期末）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件不互斥 C．事件相互独立 D．事件相互对立 【答案】ABD 【分析】根据互斥与对立事件的概念，独立事件的概率概率公式验证即可. 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件， 故A项正确，B项正确； ，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招乙），（招乙、招甲），共2个， 所以，因为，所以不是独立事件，故C项错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以为对立事件，故D项正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C互斥 【答案】AD 【分析】由互斥事件，独立事件的性质以及概率性质逐项判断可得. 【详解】对于A，，因为，则， 所以，即事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，，所以，而， 所以，故B错误； 对于C，，所以事件A与事件B不互斥，故C错误； 对于D，，所以事件A与事件C互斥，故D正确； 故选：AD. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 8．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【答案】(1) (2)事件M，N不相互独立. 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型的知识来计算概率； （2）结合分类原理，计算概率，然后通过判断事件的概率关系来确定是否相互独立. 【详解】（1）从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况. 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即，共6种. 则摸出的两个球全是白球概率为：.所以摸出的两个球中有红球的概率为. （2）由（1），事件M的概率为， 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数. 两球均为奇数的情况有，3种；两球均为偶数的情况有, 3种； 共6种，则； 即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有,共2种，则概率为. 因为不成立，所以事件M，N不相互独立. 核心知识点 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 高频考点4：互斥事件与对立事件 1．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误； 对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确； 对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误； 对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4)，故D错误. 故选:B 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 3．（24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥，但是，所以不是对立事件，故A错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥，但是，所以不是对立事件，故B错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥，又因为，所以是对立事件，故C错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥，又因为，所以也是对立事件，故D正确． 5．（多选）（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 【答案】AD 【分析】由互斥事件的概念逐项判断即可； 【详解】从中有放回地依次取出两个数， 共有三种情况：两个奇数一个奇数一个偶数两个偶数}， 且两两互斥，所以A选项：是互斥事件，但不是对立事件；B选项：不互斥；C选项：不互斥；D选项：是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD 高频考点5：概率统计综合问题 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） (3)庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 【答案】(1)84 (2)86.67 (3)． 【分析】（1）应用频率分布直方图应用以区间中点值乘以频率求和计算平均数即可； （2）应用频率分布直方图应用频率和为计算中位数即可； （3）先应用分层抽样得出抽取人数，再应用古典概型计算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 平均数为． （2）∵，， ∴中位数落在内，令中位数为m， 则，解得． （3）∵评分在、内的频率分别是0.15，0.3， ∴在中抽取人，记为a，b． 在中抽取人，记为A，B，C，D． 从6人中随机抽取2人，则有： ，，，，，，，，， ，，，，，，共15个基本事件， 设“选取的2人评分分别在、内各1人”为事件M， 则满足条件M的有：，，，，，，，， 共8个基本事件． ∴． ∴选取的2人评分分别在和内各1人的概率为． 2．（24-25高一下·云南·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： (1)求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 【答案】(1)，22.4 (2) 【分析】（1）利用频率和为1可求的值，再利用评率分布直方图估算平均数.； （2）先利用分层抽样求出抽取的偏胖和肥胖的员工人数，再利用列举法求概率. 【详解】（1）， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 平均数为. （2）由题意可知，偏胖在，频数为， 肥胖在，频数为， 抽取偏胖的人数为，用，，表示， 抽取肥胖的人数为，用，表示， 从5人中任选2人，样本空间为： ， 共有10种不同的结果，每个样本点都是等可能发生的. 记事件“采访的2名员工均为偏胖”， ，共有3种不同的结果， 所以. 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； (2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； (3)甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式求解； （2）列出甲、乙两人停车付费的所有可能情况，根据古典概型求解； （3）先求出甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率，利用对立事件求解即可. 【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的概率相同均为，且三段时间费用分别为0，3，6元， 故甲停车的费用不超过3元的概率为. （2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中a，， 甲、乙两人停车付费的所有可能情况为：，，，，，，，，，共9种，且概率相等， 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9元”包含，，共2种情况， 故甲、乙两人停车付费之和为9元的概率为. （3）设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事件，，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时，丙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时，乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时，丙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，， 则， ， ， 甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为 ， 甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签的概率与抽签顺序无关. 5．（24-25高一下·河北沧州·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； (3)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 【答案】(1)78 (2)8个分数的平均数是90，方差是 (3) 【分析】（1）首先根据频率比值求，再求百分位数，即可求解； （2）根据平均数和方差公式，再结合10个分数的平均数和方差公式，即可求解； （3）利用编号和列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，所以， 设晋级分数线为分，则， 得， 所以晋级分数划为78分合理； （2）由条件可知，这10个数据的，， 设剩下8个数据的平均数为， 剩下8个数的方差为 （3）因为分数在，这两组的频率比为， 所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人， 这组的2人编号为，这组 4人编号为， 6人中所有抽取2人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况 其中2人恰来自同一组包含，，，，，，，共7种情况， 所以两人恰好来自于同一小组的概率. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 概率（复习温故） （10.1随机事件与概率+10.2事件的相互独立性+10.3频率与概率） 目录 高频考点1：样本空间与样本点 1 高频考点2：古典概型 2 高频考点3：相互独立 7 高频考点4：互斥事件与对立事件 9 高频考点5：概率统计综合问题 10 高频考点1：样本空间与样本点 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 3．（2024高一下·全国·专题练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 核心知识点 如果事件空间是有限的，可以使用集合列举法，或树状图表示； 如果事件空间是无限的，可以使用集合描述法表示. 高频考点2：古典概型 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 4．（24-25高一下·江西·阶段练习）某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在内，将成绩分为，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成绩在和内各1人的概率． 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249. (1)求这5个数据的60%分位数及平均数； (2)从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率. 6．（24-25高二上·广东江门·期中）一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回的方式从中依次随机地取2个球. (1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求第二次取到的球是红球的概率 (3)求两次取到的球颜色相同的概率 7．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊位.为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高服务越好，评分均在内）.根据评分，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求n的值； (2)该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有30%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数； (3)为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随机抽样的方法从样本中，两个区间内抽取4个摊位，再从这4个摊位中依次随机抽取2个进行服务提升指导，求第二个进行服务提升指导的摊位评分在的概率. 核心知识点 1古典概型的定义 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型． 3下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能． 古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 高频考点3：相互独立 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（   ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 2．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 3．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期末）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均不互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 4．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 5．（多选）（24-25高一下·安徽六安·期末）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件不互斥 C．事件相互独立 D．事件相互对立 6．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C互斥 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 8．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 核心知识点 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 高频考点4：互斥事件与对立事件 1．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 3．（24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 5．（多选）（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 高频考点5：概率统计综合问题 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） (3)庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 2．（24-25高一下·云南·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： (1)求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； (2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； (3)甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 5．（24-25高一下·河北沧州·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； (3)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$