第08讲 统计（9.1随机抽样+9.2用样本估计总体）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第08讲 统计（9.1随机抽样+9.2用样本估计总体）（复习温故） 目录 高频考点1：简单随机抽样 1 高频考点2：分层抽样 2 高频考点3：频率分布表和频率分布直方图 3 高频考点4：总体集中趋势估计 7 ①样本中的平均数、众数、中位数 7 ②在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 9 高频考点5：总体离散程度估计 14 高频考点6：统计综合问题 21 高频考点1：简单随机抽样 核心知识 ①找准开始位置 ②按题意规定方向读取数据，编号有几位数，一次就读出几位数； ③读数时符合要求的数据取出，不符合的跳过；切记，重复的数不能再取出，而应该跳过，继续读，直到取出题意要求的样本. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）利用抽签法进行抽样有以下步骤：①写号签；②逐次抽取，获取样本编号；③将号签放入不透明的盒中并搅拌均匀；④对个体编号．其抽样的正确步骤为（   ） A．①③②④ B．④①③② C．③④②① D．①②③④ 2．（25-26高一上·全国·课后作业）一个总体中有N（N为正整数）个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（   ） A．10 B．50 C．100 D．不确定 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的抽样方法适合用简单随机抽样的是（   ） A．校运会为参加决赛的6名同学安排道次 B．从某厂生产的30000件产品中抽取600件进行质量检验 C．全国人口普查 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法错误的是（   ） A．总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法 B．每个个体被抽到的机会不一样，与编号有关 C．简单随机抽样允许有放回地抽取 D．从总体中逐个地进行抽取 5．（25-26高一上·全国·课后作业）利用简单随机抽样的方法，先从一批共n个产品中抽取15个产品做好标记放回去，再从这n个产品中抽20个产品，其中被标记的产品个数为5，则 ． 高频考点2：分层抽样 核心知识 在分层随机抽样中，注意以下比例关系： 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（   ） A．16 B．40 C．80 D．100 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（    ） A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人 4．（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人． 高频考点3：频率分布表和频率分布直方图 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 2．（25-26高一上·全国·课后作业）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道第2组到第4组的频数，每一个与前一个的比为常数，从第5组开始，每一组的频率和前一组的差为常数，设最大的频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（   ） A．0.27，78 B．0.27，83 C．27，78 D．2.7，83 3．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.    (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人？ (3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少. 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)求样本中停车时长在区间上的频率； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议. 5．（2025高三·全国·专题练习）某地抽样调查30个家庭的人均月收入，得到如下数据（单位：元）： 4040   4440   5560   4300   3800   4200   5000   4300   4200   3840 4200   4040   4240   3400   4240   4120   3880   4720   3580   4760 3760   3960   4280   4440   3660   4360   3640   4380   3300   4260 (1)取组距为600，起点为3200，列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图估计人均月收入在的家庭所占的百分比． 6．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：    分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b (1)本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 7．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 核心知识 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 高频考点4：总体集中趋势估计 ①样本中的平均数、众数、中位数 1．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 2．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（    ） 分数（分） 60 70 80 90 100 人数 8 22 20 30 20 A．80，90 B．90，100 C．85，90 D．90，90 3．（23-24高三下·江西·开学考试）样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·福建泉州·期末）某单位共有、、三个部门，三部门人员平均年龄分别为岁、岁、岁，又已知和两部门人员平均年龄为岁，和两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 6．（23-24高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 7．（2025高二·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，总体样本平均数为9.3，求流水线1的样本平均数． 8．（2025高二·全国·专题练习）某高中与时俱进，在新学期建设了AI（人工智能）自习室，在运行一段时间后，为了解学生使用AI自习室的情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样对三个年级的学生进行平均每周使用时间（单位：分钟）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 高一 45 84 高二 35 高三 30 105 已知三个年级的总体样本平均数为93，估计高二年级学生平均每周使用时间． 核心知识 （1）平均数 定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. （2）众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （3）中位数 定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 1．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）． 2．（15-16高二上·贵州黔东南·阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 3．（23-24高一下·天津河北·期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由． 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 (1)求出表中M，p及图中a的值； (2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 5．（天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试卷）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 6．（24-25高一下·福建宁德·期末）2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； (2)估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 核心知识 在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 高频考点5：总体离散程度估计 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)估计此次测试分数的平均值； (2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； (3)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 2．（湖南省多校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数. (2)从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差. 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)现从该样本成绩中落在的平均成绩是65，方差是5，落在的平均成绩是75，方差是7，求两组成绩的总平均数与方差. 4．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 5．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）某校从高一年级学生中随机抽取200人参加人工智能科技知识测试，得分在之间，分为五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这200名学生得分的上四分位数和平均值（同组中数据用该组区间中点值作代表）； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人.若第四组选手成绩的平均数和方差分别为80和14，第五组选手成绩的平均数和方差分别为90和9，请据此估计第四组和第五组所有选手成绩的平均值和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数总体样本方差） 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留整数）. (3)已知落在区间的样本平均数是173，方差是8，落在区间的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 7．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 (1)求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； (2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 8．（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 9．（24-25高二下·上海青浦·期中）某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. (1)根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； (2)若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） (3)为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 高频考点6：统计综合问题 1．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势．某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在[40，100]内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示． (1)求样本中打分在内的客户人数并估计样本的中位数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差． 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． (1)若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； (2)估计甲社区居民每天运动时长的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某学校高一年级开展了数学竞赛考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），其中第二组的频数是第一组频数的2倍． (1)求的值，以及这次竞赛成绩的中位数； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10名学生分数的平均数，方差，若剔除其中的70和90两个分数，求剩余8名学生分数的平均数与方差． 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； (2)分别求图中的值与的值； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 统计（9.1随机抽样+9.2用样本估计总体）（复习温故） 目录 高频考点1：简单随机抽样 1 高频考点2：分层抽样 2 高频考点3：频率分布表和频率分布直方图 4 高频考点4：总体集中趋势估计 11 ①样本中的平均数、众数、中位数 11 ②在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 16 高频考点5：总体离散程度估计 23 高频考点6：统计综合问题 33 高频考点1：简单随机抽样 核心知识 ①找准开始位置 ②按题意规定方向读取数据，编号有几位数，一次就读出几位数； ③读数时符合要求的数据取出，不符合的跳过；切记，重复的数不能再取出，而应该跳过，继续读，直到取出题意要求的样本. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）利用抽签法进行抽样有以下步骤：①写号签；②逐次抽取，获取样本编号；③将号签放入不透明的盒中并搅拌均匀；④对个体编号．其抽样的正确步骤为（   ） A．①③②④ B．④①③② C．③④②① D．①②③④ 【答案】B 【详解】按抽签法的规则知其正确步骤为④①③②． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）一个总体中有N（N为正整数）个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（   ） A．10 B．50 C．100 D．不确定 【答案】B 【详解】由，解得． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的抽样方法适合用简单随机抽样的是（   ） A．校运会为参加决赛的6名同学安排道次 B．从某厂生产的30000件产品中抽取600件进行质量检验 C．全国人口普查 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 【答案】AD 【详解】A适合用简单随机抽样；B不适合用简单随机抽样（数量过大）；选项C，全国人口普查不是随机抽样；D适合用简单随机抽样． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法错误的是（   ） A．总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法 B．每个个体被抽到的机会不一样，与编号有关 C．简单随机抽样允许有放回地抽取 D．从总体中逐个地进行抽取 【答案】BC 【详解】对于A，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，A正确；对于B，每个个体被抽到的机会一样，B错误；对于C，简单随机抽样不允许有放回地抽取，C错误；对于D，简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，D正确． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）利用简单随机抽样的方法，先从一批共n个产品中抽取15个产品做好标记放回去，再从这n个产品中抽20个产品，其中被标记的产品个数为5，则 ． 【答案】60 【详解】由，得． 高频考点2：分层抽样 核心知识 在分层随机抽样中，注意以下比例关系： 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据分层抽样的特征结合题意求解即可. 【详解】由题意得，选择“物化生”、“物化地”和“历政地”的学生人数比为， 所以采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，从“历政地”组合中选出的学生人数为. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（   ） A．16 B．40 C．80 D．100 【答案】B 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，列出方程，即可求解. 【详解】根据分层抽样的定义与计算方法，可得，可得. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（    ） A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人 【答案】C 【分析】根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可 【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人， 高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人， 因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是， 所以该校学生总数是， 即该校学生总数为1800人． 故选：C. 4．（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 【答案】 【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数. 【详解】依题意高三年级共抽取人. 又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人． 【答案】 【分析】求出的值，结合分层抽样可求得结果. 【详解】由题意可知，“泥塑”社团的人数为，“剪纸”社团的学生人数为， 所以， 所以按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查， 则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数为人. 故答案为：. 高频考点3：频率分布表和频率分布直方图 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 【答案】B 【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出物理成绩大于等于60分的人数. 【详解】，解得， 故物理成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道第2组到第4组的频数，每一个与前一个的比为常数，从第5组开始，每一组的频率和前一组的差为常数，设最大的频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（   ） A．0.27，78 B．0.27，83 C．27，78 D．2.7，83 【答案】A 【详解】因为第1，2组的频率分别为0.01，0.03，所以第3，4组的频率分别为0.09，0.27． 设后5组的频率每一个与前一个的差为d， 则，解得，故． 3．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.    (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人？ (3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少. 【答案】(1)0.15 (2)60 (3)55%. 【分析】（1）由累积频率为1即可求解； （2）第一小组的频数除以对应的频率即可求解； （3）后面两组频率相加即可. 【详解】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为. （2）设参加这次测试的学生有x人，则， ，即参加这次测试的学生有60人. （3）达标率为，估计该年级学生跳绳测试的达标率为55%. 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)求样本中停车时长在区间上的频率； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议. 【答案】(1) (2) (3)免费时长不超过分钟 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1求解. （2）先算出区间上的频率，然后再求间上的车辆数. （3）求得是第33百分位数. 【详解】（1）所有组频率和是，除外其他组频率与组距乘积之和为， 所以上频率是. （2）包含、两组， 该区间频率为. 已知车辆数为820，则该区间车辆数为. （3）设免费停车时长不超过分钟. 频率为，. 频率为，，所以在上， 列方程， ， ， . 建议免费停车时长为不超过162.5分钟. 5．（2025高三·全国·专题练习）某地抽样调查30个家庭的人均月收入，得到如下数据（单位：元）： 4040   4440   5560   4300   3800   4200   5000   4300   4200   3840 4200   4040   4240   3400   4240   4120   3880   4720   3580   4760 3760   3960   4280   4440   3660   4360   3640   4380   3300   4260 (1)取组距为600，起点为3200，列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图估计人均月收入在的家庭所占的百分比． 【答案】(1)表格见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）对数据进行整理即可得到频率分布表； （2）根据频率分布表，画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图，计算人均月收入在的频率即可. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 6 0.20 18 0.60 4 0.13 2 0.07 合计 30 1.00 （2）频率分布直方图如图． （3）人均月收入落在上的家庭所占的频率为， 所以估计人均月收入在的家庭所占的百分比为． 6．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：    分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b (1)本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 【答案】(1)50，，， (2)频率直方图见解析 (3) 【分析】（1）由频率、频数，中位数的概念即可求解； （2）由表格数据即可求解； （3）由频率分布直方图确定频率即可求解； 【详解】（1）学生总数是：（人），（人），； ∴本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在范围内，（人），； （2）根据（1）得出的a的值，补图如下：    （3）（人）． 该校汉字听写能力为优秀的约有人． 7．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 【答案】(1)从该校高一、高二学生中各抽取的人数为120人和80人. (2) 【分析】（1）根据分层抽样的原理，按各层人数占总人数的比例来确定抽取人数； （2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数. 【详解】（1）已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人. 现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例. 高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人. 同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人. （2）由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为, 分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为. 那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即. 已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为. 核心知识 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 高频考点4：总体集中趋势估计 ①样本中的平均数、众数、中位数 1．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出，则平均数应用定义即可计算. 【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29． 因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个． 因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的． 又该组数据中除24，25外其他数据均只出现一次，且与不可能相等，故众数只能是24和25中的一个． 若中位数与众数均为24，则，，此时平均数为； 若中位数与众数均为25，则， 此时平均数为，故该组数据的平均数为24.4或24.8． 故选：D. 2．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（    ） 分数（分） 60 70 80 90 100 人数 8 22 20 30 20 A．80，90 B．90，100 C．85，90 D．90，90 【答案】C 【分析】本题根据中位数和众数的概念进行解答即可. 【详解】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第两个数， 所以全班名同学的成绩的中位数是， 出现了次，出现次数最多，则众数为. 所以分数的中位数和众数分别是. 故选：C. 3．（23-24高三下·江西·开学考试）样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对实数的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出实数的取值范围. 【详解】若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高一·福建泉州·期末）某单位共有、、三个部门，三部门人员平均年龄分别为岁、岁、岁，又已知和两部门人员平均年龄为岁，和两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】B 【分析】设、、三个部门的人数分别为，根据已知条件列出方程组可求出，，然后再根据平均数的计算公式，即可求出该单位全体人员的平均年龄. 【详解】设、、三个部门的人数分别为，由题意得 ，所以， 所以该单位全体人员的平均年龄为. 故选：B 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 【答案】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 6．（23-24高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 【答案】答案见解析 【分析】利用平均数、中位数和众数的计算方法与代表意义即可得解. 【详解】依题意， ， ， 首先对两班的成绩按高低进行排列，甲班从低到高的顺序：45，49，53，53，55，57，57， 66，67，67，67，68，72，73，73，74，75，77，78，78，84，84，84，86，88，90，91，95，99； 乙班从低到高的顺序：37，44，48，58，61，66，66，66，70，73，74，74，75，81，82， 83，83，84，84，90，92，93，94，97，100，100； 故甲班的中位数为73，乙班的中位数； 甲班的众数为84和67，乙班的众数为66， 由于甲班的平均成绩小于乙班的平均成绩，且甲班成绩的中位数小于乙班的， 所以乙班的成绩更好点. 7．（2025高二·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，总体样本平均数为9.3，求流水线1的样本平均数． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设三条流水线的产量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 8．（2025高二·全国·专题练习）某高中与时俱进，在新学期建设了AI（人工智能）自习室，在运行一段时间后，为了解学生使用AI自习室的情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样对三个年级的学生进行平均每周使用时间（单位：分钟）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 高一 45 84 高二 35 高三 30 105 已知三个年级的总体样本平均数为93，估计高二年级学生平均每周使用时间． 【答案】94 【分析】由分层抽样的样本占比，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】设高一年级、高三年级的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则，，，解得， 据此估计高二年级学生平均每周使用时间约为94分钟． 核心知识 （1）平均数 定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. （2）众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （3）中位数 定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 1．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）． 【答案】(1) (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； 【详解】（1）由， 解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . 2．（15-16高二上·贵州黔东南·阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 【答案】(1)众数75，中位数. (2)76.2 【分析】（1）运用众数概念，中位数概念求解， （2）根据平均值计算方法求解. 【详解】（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为． 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等， 即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． 因为， 所以前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为，， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设中位数为x，， 解得， 故中位数应约为． （2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 3．（23-24高一下·天津河北·期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)众数是，中位数为 【分析】（1）根据频率之和为即可得解； （2）求出月均用水量不低于3吨的频率，进而可得出答案； （3）根据频率分布直方图中众数和中位数的求法计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得， 所以直方图中的值为； （2）由图得月均用水量不低于3吨的频率为， 所以估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为（人）； （3）由图可知，众数是； 因为， ， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 即中位数为. 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 (1)求出表中M，p及图中a的值； (2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 【答案】(1)，， (2)144 (3)，18.1，18.3 【分析】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得； （2）以所得频率估计概率计算即可得； （3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得. 【详解】（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以， 所以，解得，所以，； （2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是． 因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足： ， 解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， 由， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 5．（天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试卷）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】(1)50，0.03，0.004 (2)71，70.6 【分析】（1）根据第一组的频数、频率求出样本容量，再根据第五组的频数、频率求出； （2）设中位数为m，根据中位数左边的矩形面积之和为列方程可求出的值，由将矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数. 【详解】（1）由题意可知，样本容量为，， ； （2）设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 6．（24-25高一下·福建宁德·期末）2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； (2)估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】(1)， (2)中位数为82.5，平均数为82 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，再根据分位数的定义求满意度得分在75分及以上所占的百分比即可； （2）解法一、二都可以根据频率分布直方图的中位数和平均数的计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 满意度得分在75分以上所占百分比为. （2）解法一： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 设中位数为，则有， 解得，所以满意度得分的中位数为， 满意度得分的平均数为：． 解法二： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 由可得中位数为82.5． 满意度得分的平均数为：． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1)； (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60； (3)第70的分位数为75.83. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1，求出. （2）利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数. （3）利用频率分布直方图，结合百分位数的定义求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由频率分布直方图知：数据落在内最多，因此众数为65； 由，，得中位数， 则，解得，所以中位数为67.69； 平均数为. （3）成绩小于70分的频率为， 成绩小于80分的频率为，则第70百分位数在内， 所以第70百分位数为. 核心知识 在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 高频考点5：总体离散程度估计 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)估计此次测试分数的平均值； (2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； (3)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1) (2)65 (3)，分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数； （3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断. 【详解】（1）1－5组的频率分别为， . （2）， 这50名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数， 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 第三四分位数落在内，设为m， 则，解得 这50名店骋者的量低分数力65分. （3）依题意， ， ，， ， 分的应聘者的成绩进入到了的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 2．（湖南省多校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数. (2)从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差. 【答案】(1)； (2)4 (3)23；581 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1计算可得，百分位数频率分布直方图求法计算可得第85百分位数； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为， 所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为， 则，解得， 所以第85百分位数为； （2）由频率分布直方图可知年龄为，，的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取4人； （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， . 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)现从该样本成绩中落在的平均成绩是65，方差是5，落在的平均成绩是75，方差是7，求两组成绩的总平均数与方差. 【答案】(1) (2)84 (3)71， 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1， 所以，解得. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，由，解得， 故第75百分位数为84. （3）两组比例为，所以两组总平均数为， 方差为. 4．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1) (2)第80百分位数为，总体平均数为 (3)平均数为91，方差为 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，可得结果； （2）根据百分位数定义和平均数公式求解即可； （3）由频率分布直方图，先求出1000份问卷的方差，用样本估计总体可得所有学生满意度得分的平均数为，方差为，进而结合题设公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得． （2）由， ∴第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，由，得， 可以估计该满意度得分的第80百分位数为． 1000份问卷的平均分可估计为： ， 用样本估计总体，可以估计学生对该活动满意度的总体平均数为． （3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ， 用样本估计总体，则所有学生满意度得分的平均数为，方差为． 记大学生满意度得分的平均数为，方差为，小学生满意度得分的平均数为，方差为， 估计中学生满意度得分的平均分为，方差为， 则，所以， ， 解得． 所以估计中学生对该活动满意度得分的平均数为91，方差为． 5．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）某校从高一年级学生中随机抽取200人参加人工智能科技知识测试，得分在之间，分为五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这200名学生得分的上四分位数和平均值（同组中数据用该组区间中点值作代表）； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人.若第四组选手成绩的平均数和方差分别为80和14，第五组选手成绩的平均数和方差分别为90和9，请据此估计第四组和第五组所有选手成绩的平均值和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数总体样本方差） 【答案】(1) (2)上四分位数为，平均值为. (3)第四组和第五组所有选手成绩的平均值为，方差为. 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程即可求解； （2）根据上四分位数、平均数的定义求解即可； （3）先根据频率分布直方图求出第四组、第五组的频率之比，然后根据所给的平均值、方差公式求解即可. 【详解】（1）由图可得， 解得. （2）上四分位数即第百分位数， 因为第一组、第二组及第三组的频率之和为， 所以第百分位数为，故上四分位数为. 平均值. （3）设第四组、第五组所有选手成绩的平均数、方差分别为， 所以第四组抽取人，第五组抽取人， 则第四组、第五组所有选手成绩的平均值为， ， 第四组、第五组所有选手成绩的方差为 . 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留整数）. (3)已知落在区间的样本平均数是173，方差是8，落在区间的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】(1)，70（人） (2)168 (3)， 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为， 的人数占比为， 所以该校100名生学身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名生学身高的分位数为，则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知，这100名学生的身高在的有人， 身高在的有人，所以， 总方差 7．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 (1)求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； (2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 【答案】(1)，169 (2)平均数为166，方差为100.8． 【分析】（1）根据频率和为1求，再代入平均数公式，即可求解； （2）首先根据频率公式计算，再计算女生的平均数，再根据（1）的结果，代入总体平均数公式和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）可得， 此时男生身高平均数为． （2）结合分布表，，因此，进而，此时计算得到女生身高平均数为． 因此初二年级身高平均数为，方差为． 8．（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 【答案】(1)答案见解析 (2)B同学发挥较稳定 【分析】（1）将题目中的数据由小到大的顺序排列，根据众数、中位数与极差的概念，可得答案； （2）根据平均数与方差的计算公式，结合其意义，可得答案. 【详解】（1）由题目中的数据，按照从小到大排列可得： A同学：104、124、130、130、132、136、140 B同学：120、124、126、130、130、130、136 A同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36， B同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16. （2）A同学跳绳数的平均数为， 方差 B同学跳绳数的平均数为， 方差 因为，所以两位同学的平均水平相当，但B同学发挥较稳定. 9．（24-25高二下·上海青浦·期中）某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. (1)根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； (2)若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） (3)为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 (3)男性人数为，女性人数为， 【分析】(1)根据百分位数的定义即可求解； (2)根据平均数和，方差公式即可求解； (3)根据分层抽样方法即可求解. 【详解】（1）由茎叶图可得女性样本数据较分散，男性样本数据较集中，故男生离散程度较小. 又因为茎叶图中数据从小到大排列，可知，男性共有30个数据，则第80百分位数为， 所以第80百分位数即为从小到大排列数中第24位与第25位的平均值，即， （2）由茎叶图可得， 又因为女性的极差为，所以， 所以， , （3）因为男性与女性人数之比为， 根据分层抽样，从5000人中抽取男性人数为人，女性人数为人. 高频考点6：统计综合问题 1．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】(1)平均数为69.5，第25百分位数为63 (2) (3) 【分析】（1）根据题意和频率分布直方图可列出关于的方程组，求出的值，然后根据平均数和百分位数的概念和公式求出其值即可. （2）先确定分层抽样比和人数，然后根据古典概型求取概率即可. （3）根据平均数和方差的概念和计算公式进行计算即可. 【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以这100名候选者面试成绩的平均数为， 因为，设第25百分位数为，则， 那么，解得，故第25百分位数为63． （2）抽取的10人中，第四组为8人，第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A，则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势．某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在[40，100]内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示． (1)求样本中打分在内的客户人数并估计样本的中位数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差． 【答案】(1)客户人数为60人，中位数为75 (2)平均值为73，方差为53 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为 ， 所以样本中打分在内的客户人数为人． 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则， 则，解得， 故样本的中位数为75． （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为． 打分在内的样本数据的方差为 ． 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． (1)若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； (2)估计甲社区居民每天运动时长的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图求得相应频率，即可求解；（2）根据中位数计算公式即可求解；（3）由平均数计算公式求得，，再结合分层抽样比求得，即可比较大小. 【详解】（1）在乙社区抽取的样本中，每天运动时长不少于60min的频率为， 故估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数为． （2）根据甲社区的样本频率分布直方图，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故估计中位数为． （3）， ， 所以，， 所以． 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某学校高一年级开展了数学竞赛考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），其中第二组的频数是第一组频数的2倍． (1)求的值，以及这次竞赛成绩的中位数； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10名学生分数的平均数，方差，若剔除其中的70和90两个分数，求剩余8名学生分数的平均数与方差． 【答案】(1)，，中位数70.5 (2)平均数80，方差25 【分析】（1）根据频率之和等于即可求出，再根据在频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）先求出剩余个数的平均数，再根据方差公式求方差即可. 【详解】（1）由题意可知，， ， 由于成绩在内的频率为， 在内的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 则，解得， 所以中位数为70.5分； （2）由，可得， 则剔除其中的70和90两个分数，剩余8个数平均数为分； 解法一：又方差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为． 解法二：不妨设，， 则， 得， 则剩余的8个数的方差为． 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； (2)分别求图中的值与的值； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】(1)0.01；85% (2)，. (3)72；59.2 【分析】（1）先求出a，再根据频率算出及格率即可；（2）根据及格率和平均值构造方程组计算即可；（3）根据分层抽样的平均值和方差公式计算即可. 【详解】（1）， 所以及格率为. （2）由题意可知：0.85， 得， 平均分， 解得，. （3）由频率分布直方图知，这400份答卷分数在的份数为， 分数在的份数为，所以， 总方差. 学科网（北京）股份有限公司 $$