第07讲 立体几何初步（8.6空间直线、平面的垂直）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第07讲 立体几何初步（8.6空间直线、平面的垂直）（复习温故） 目录 高频考点1：线面垂直 2 ①证明线面垂直 2 ②补全线面垂直条件 6 ③线面垂直证明线线垂直 13 高频考点2：面面垂直 19 ①证明面面垂直 19 ②补全面面垂直条件 22 ③面面垂直证明线面垂直 29 高频考点3：异面直线所成角 33 高频考点4：直线与平面所成角 37 ①定义法 37 ②等体积法求垂线段法 42 高频考点5：二面角 45 ①定义法 45 ②三垂线法 48 ③射影面积法（） 53 高频考点6：空间距离 60 高频考点1：线面垂直 ①证明线面垂直 1．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在三棱锥中，．求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理求出，在根据勾股定理证明，再通过线面垂直的判断定理说明线面垂直即可. 【详解】在中，， 由余弦定理，即，解得， 所以在中，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 3．（新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年高一下学期6月期末监测数学试题）如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点E为棱的中点，，，连接 (1)求证:平面； (2)求证:平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用中位线来证明线线平行，即可证明线面平行； （2）利用线面垂直来证明线线垂直，再利用菱形的对角线垂直，即可证明线面垂直； （3）利用体积变换，再用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1） 连接交于点，再连接，因为底面为菱形， 所以，又因为点E为棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 又因为，平面， 所以平面； （3）因为，，所以三角形的面积为， 又因为点E为棱的中点，所以三棱锥的体积为三棱锥体积的一半， 即三棱锥的体积为. 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，点E，F分别为棱的中点． (1)证明：B，D，E，F四点共面； (2)若，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明，可证D，B，F，E四点共面； （2）连接交DE于点，证明，再证明，即可证明线面垂直. 【详解】（1）连接，如图所示，因为点E，F分别为棱的中点， 所以， 又在长方体中，， 所以，所以D，B，F，E四点共面． （2）如图2，，∴， ，又， ，． 是长方体，平面，又平面，， 又，平面，且，平面． 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面. 【详解】如图所示，连接，在平行四边形中，，， ， ，即， 从而有，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面， ， 又，为中点， ，又,平面， 平面. ②补全线面垂直条件 1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    【答案】 【分析】取的中点，证得，，得到平面，得到，进而证得平面，得到点在线段上运动，结合，即可求解. 【详解】解：取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为正方形，所以，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以点在线段上运动， 在等腰直角中，由，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得线段的长的最大值为. 故答案为：.      2．（21-22高一下·北京·期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当时，MN⊥平面PCD 【分析】（1）根据题意可证∥且，则为平行四边形，即∥，结合线面平行的判定定理说明；（2）根据线面垂直的判定和性质均可得MN⊥平面PCD⊥PD． 【详解】（1）取的中点，连接 ∵分别为的中点，则∥且 又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且 则∥且，即为平行四边形，则∥ 平面PAD，平面PAD ∴平面PAD （2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD ∴⊥PD，且为的中点 ∴ 若且为的中点，则⊥PD ∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD ，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD ，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD 综上所述：当时，MN⊥平面PCD 【点睛】 3．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行； （2）先确定为与底面所成角，当时，结合（1）的结论以及线面垂直的判定定理即可得答案. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 分别为的中点， ， 为的中点，且为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . （2）底面， 为与底面所成角， 当时，由（1）有， ， 且，平面， 平面， 因为平面， ， ，面，面， 由（1）有， 平面. 4．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 【答案】(1)； (2)45°； (3). 【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可； （3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝． 【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD 又， 由平面几何可得：， 过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE， 则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB ∴ 又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形． ∴ ∴E是AB的中点，且， 又， ∴PEA为直角三角形， ∴ 在△PED中，由余弦定理得 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点， 所以，又平面， ∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角， ∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°， ∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°； （3）连接MD，MB，MO， ∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD， ∴PC⊥OM， 在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝， ∴PM＝，MC＝， ∴， 故λ＝时，PC⊥平面BMD． 5．（2024高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． ③线面垂直证明线线垂直 1．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据正方体的结构特征，应用线面垂直的性质及判定、反证思想判定各项的正误. 【详解】正方体中，设，E，F分别为所在线段的中点， 对于A，因为底面ABCD，又平面ABCD，所以， 若，又且都在平面内，则平面， 又平面，所以，显然不成立， 因而不成立，故A错误； 对于B，同A分析，若，得，所以，显然不成立， 因而不成立，故B错误； 对于C，连接AF，EF，如下图所示： 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 若，因为且都在平面AEF内，所以平面AEF， 由平面AEF，所以，则，显然不成立， 因而不成立，故C错误； 对于D，取BC的中点G，连接AG，EG，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又因为，可得，又因为， 所以且都在平面内，所以平面， 由平面，所以，故D正确． 故选：D 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）在四棱锥中，底面四边形为正方形，平面，E，F分别是线段，的中点.若，在线段上有一点满足，则 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，证明平面，得，再证平面，得，继而，利用三角形面积相等，即可求得. 【详解】如图，取的中点，连接，则，. 因为平面ABCD，平面，所以. 又因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面，故平面. 又平面，所以，又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，所以. 在中，，，则， 由三角形面积相等，. 故答案为：. 3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平面得出，再结合应用线面垂直判定定理证明； （2）由正方形得，根据勾股定理可证，即可证明平面，从而证明． 【详解】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线平行即可证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直可得线线垂直，最后可得证线线垂直. 【详解】（1） 在直棱柱中，为的中点，则为的中点， 连接，可得为的中点，因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为，所以矩形是正方形，因此. 因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判断，结合平行公理推理得证. （2）取的中点，则，根据题设条件可证得四边形是矩形，即有，利用线面垂直的判定和性质推理可得证. 【详解】（1）取的中点，连接，由为中点，得且， 又，，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，由三角形为等边三角形，得， 在直角梯形中，，且， 则，且，四边形是平行四边形， 由，得平行四边形是矩形，则， 而，平面，平面， 因此平面，而平面，则，所以. 高频考点2：面面垂直 ①证明面面垂直 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，由三线合一得到BD⊥AC，得到⊥平面，又平面，故⊥，从而得到线面垂直； （2）由⊥平面，得⊥，结合DF∥AP，DE⊥AP，得到DE⊥DF，从而得到⊥平面，又平面，得到平面⊥平面. 【详解】（1）∵⊥底面，平面，∴⊥. 由，D为AC的中点，得BD⊥AC. 又，平面， ∴⊥平面，又平面， ∴⊥. 由已知⊥，，平面， ∴⊥平面； （2）由⊥平面，平面，得⊥. 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP. 又由已知得DE⊥AP，所以DE⊥DF，又，平面， ∴⊥平面， 又平面， ∴平面⊥平面. 2．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，.求证：平面ABC⊥平面BSC.    【答案】证明见解析 【分析】先得到为二面角的平面角，设，表达出其他边长，由勾股定理逆定理得，即，得到面面垂直. 【详解】∵，， ∴均为等边三角形，故， 取BC中点O，连接AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC， ∴为二面角的平面角， 设，故，又，故， 故， ∵，∴，故， ∴，故，即， ∴平面ABC⊥平面BSC. 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）根据面面垂直的判定与性质定理即可得证； 【详解】（1），分别为，的中点，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）四边形为正方形， ， ， ， 平面，平面， ， ，，又，，平面， 平面； 平面； ∴平面平面. 4．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点．已知，，，. 求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为、分别为棱、的中点，所以. 又平面，平面，所以直线平面. （2）因为、、分别为棱、、的中点，，， 所以，，. 因为，所以，所以，即， 又，，所以， 因为，、平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．求证：平面平面BMC．    【答案】证明见解析 【分析】法一：由线面垂直的判定及性质，面面垂直的性质及判定即可证明；法二：由二面角的定义即可证明． 【详解】方法一：因为M是半圆弧上异于C，D的点，所以， 因为正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，且，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以,又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 方法二：记平面平面， 由正方形得，，又平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 同法一得平面，则平面， 又平面，所以， 因为M是半圆弧上异于C，D的点，所以， 所以根据二面角的定义可知平面平面． ②补全面面垂直条件 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)45° (4)能，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得BG⊥AD，根据面面垂直的性质可证；（2）根据题意得PG⊥AD，BG⊥AD根据线面垂直的判定定理可证AD⊥平面PGB；（3）根据二面角的平面角的定义可得：∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角，结合题意求解；（4）先证平面DEF∥平面PGB，再说明平面PGB⊥平面ABCD即可． 【详解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BG⊥平面PAD． （2）连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点， 得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD， PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB． 所以AD⊥PB． （3）由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD， ∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC， 所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角 因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°； （4）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下： 取PC 的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB ∴FE∥平面PGB 在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB ∴DE∥平面PGB EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB， 因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG， 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， ∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD． 【点睛】 2．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    (1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2).若的面积为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在；证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，即在上找一点M，使平面即可； （2）设，由题目条件及的面积为，可得，即可得三棱锥的体积. 【详解】（1）存在，当M为的中点时，平面平面． 证明：取AD的中点M，连接， 由是等边三角形，可得， 由平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 由平面，可得平面平面． （2）设，可得， 则，由， 可得， 由. 所以三棱锥P－ABC的体积为．   .   4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】先判断存在符合题意的点，即当点为的中点即时，平面平面.然后通过证明平面，利用面面垂直的判定定理即可证明结论. 【详解】当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，M为棱的中点，故, 又因为平面ABC,平面ABC, 故，由平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 5．（2024高一·全国·专题练习）如图示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点． (1)求证：面； (2)求多面体的体积； (3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点，为中点 【分析】（1）通过添加辅助线，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意可得平面，故以正方形为底，为高，利用锥体体积公式即可求解; （3）当为中点时，利用面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，由正方形知为的中点， 为的中点，，平面，平面，平面； （2）解：∵为正三角形，为中点，故，又平面平面，平面平面于，故平面， 故多面体的体积； （3）存在点，当为中点时，平面平面， 四边形是正方形，为的中点，． 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面，平面平面． ③面面垂直证明线面垂直 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，，， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理，求出几何体的各线段的长度，再根据勾股定理的逆定理，证明，根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直即可. 【详解】设，则，如图，过作于， ，， 又，， 四边形是正方形，， 在中，，同理在中， ，， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由平面可得，由正方形的性质可得，进而结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面角的定义可得即为与平面所成角，进而求解即可； （3）取中点，连接，结合（2）中的结论可得平面平面，再由面面垂直的性质定理即可得到结果. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 在正方形中，， 因为平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，则， 则，又， 在中，. 即与平面所成角的正弦值为. （3）存在实数，使得平面，理由如下： 取中点，连接， 由（2）可知，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 故存在实数，使平面． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又结合线面垂直的判定定理即可证明； 【详解】因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以， 平面， 所以平面. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. 【详解】由平面平面，平面平面，平面，， 得平面，又平面，则， 由四边形是正方形，得，又，平面， 所以平面. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】利用等边三角形性质结合面面垂直性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，然后结合题意得到，最后利用线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为为等边三角形，是的中点，所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以． 又因为分别是，的中点，所以． 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面． 高频考点3：异面直线所成角 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，求出的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，则也为的中点，如下图所示： 在直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体， 又因为，且，则， 因为，，所以， 故， 因为四边形为矩形，则， 所以异面直线与所成角为或其补角， 且， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北十堰·期末）在直四棱柱中，四边形是梯形，，，，E，F分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取棱的中点，可得，则是异面直线与所成的角或补角.设，在中，由余弦定理可得答案. 【详解】取棱的中点，连接，，， 因为，所以四边形为平行四边形，， 则是异面直线与所成的角或补角. 设，则，， ， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：. 3．（24-25高一下·浙江湖州·期末）在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用线线平行确定异面直线与所成角的角，再利用勾股定理结合中点求得，从而利用余弦定理即可得解. 【详解】记的中点为，连接，如图， 因为为棱的中点，为的中点，所以， 所以为异面直线与的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱中，， 所以，，，， 所以在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用作平行线作出异面直线CE与PB所成角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在四棱锥中，设F为的中点，连接， 由题意知四边形为正方形，设， 由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角， 底面ABCD，底面ABCD，则, 结合，则， 又， 则在中，， 结合，则， 即异面直线CE与PB所成角的大小为， 故答案为： 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 高频考点4：直线与平面所成角 ①定义法 1．（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义作出线面角的平面角即可求解. 【详解】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以． 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，连接，证明出平面，则是直线与平面所成的角，由边长关系，确定，得到答案. 【详解】正方体中，，连接，如图， 则有，而平面平面，故， 又平面，因此平面， 则是直线与平面所成的角， 又平面，故， 在中，，则有， 所以直线与平面所成的角为． 故选：A 3．（重庆市主城区七校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判断定理证明即可； （2）根据线面角定义作出线面角的平面角，利用边角关系计算即可. 【详解】（1）取的中点为点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面； （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，， 所以，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点．    (1)求证∶ 平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明以平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可； （2）取的中点F，证明为直线与平面所成的角，再解三角形即可． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以，因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）取的中点F，连接，则， 由（1）平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为.    5．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，与相交于点，连接AO，利用线面垂直的判定定理得平面，则即为所求的线面角，然后在中求解正弦值即可. 【详解】（1），，， ，则， 直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，， 又，平面，，平面， 平面，平面平面. （2）连接，与相交于点，连接AO， ，侧面为正方形，则有， 平面，平面，， 又AC，平面，，平面， 则直线AB与平面所成角为， ，，， 又，则， 直线AB与平面所成角的正弦值为. 核心知识点 1定义法（如右图）： 直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. ②等体积法求垂线段法 1．（24-25高二下·浙江·期末）在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则 . 【答案】 【分析】由题可知和外接圆的半径，比较可得球心在外心处，根据球的性质可知平面，再利用等体积法可求点到平面的距离，即可求. 【详解】设外接圆圆心为，半径为，中点为，连接， 因为，，，， 所以，， 是直角三角形，则为外接圆圆心，半径， 所以三棱锥的外接球体积取得最小值时，球心在外心处，外接球半径为， 根据球的性质，截面圆心与球心的连线垂直于截面，即平面， ，则， 又，所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三线合一可得垂直关系，即可证明线面垂直，则问题可得证； （2）利用图中垂直关系可得二面角的平面角，再通过正切值转化为正弦值和余弦值，来求高和，再利用等体积法来点到面的距离，最后可得线面角的正弦值，从而问题得解. 【详解】（1） 由，，可得， 又因为，可得是等边三角形， 取为的中点，可知， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）由可知：是二面角的一个平面角， 所以，即， 则三棱锥的高， 此时三棱锥的体积为， 又由余弦定理可得：，所以， 又因为，可知，即， 所以三角形的面积为， 要据等体积法，可知点到平面的距离满足： ， 所以直线与平面所成的正弦值为， 即直线与平面所成的角为. 核心知识点 等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 高频考点5：二面角 ①定义法 1．（23-24高二上·河南·开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得． 【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得. 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】根据二面角的定义可知为二面角，从而可求解. 【详解】三棱台中，，且， 则，又，且, 所以平面， 所以为的二面角， 因为为等边三角形， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小. 【详解】在堑堵中，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，则. 故答案为： 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    【答案】 【分析】由线面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 故答案为：. 5．（21-22高二上·上海松江·期中）在正方体中，二面角的大小是 . 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义判断二面角的大小. 【详解】画出图象如下图所示， 由于， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知. 故答案为： 核心知识点 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. ②三垂线法 1．（24-25高二下·浙江金华·期末）如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. (1)求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得. （2）方法一：连接AC，BD交于点，得到和，证得平面，得到，进而证得平面，得到，作，证得，得到为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，即可求解； 法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由翻折的性质，可得，且 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：方法一：连接AC，BD交于点， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以 由（1）知：，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 作，连接，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在直角中，可得，所以. 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为中点. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线证得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）法：取中点，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得，作于点，证得为二面角的平面角，利用垂直关系求得的正弦值即可；法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出二面角的正弦值即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 是菱形，为中点，又为中点， 所以为中位线，所以， 又平面，平面，平面. （2）法一： 取中点，连接， 是菱形，，又， 为等边三角形，， 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面， 平面，又平面，， 作于点，连接，， 平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，，即, 求得， 在中，， . 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根据正切定义即可得到答案. 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在Rt中，. ， 二面角的正切值是2. 核心知识点 三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） ③射影面积法（） 1．（2025高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 故答案为： 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，侧面是正三角形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若的边长为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连由中点得且，结合及，推出且，得平行四边形，进而，证得线面平行. （2）方法一：因且面得面平面，取中点，连，面，过作，连，为平面角.由体积公式求，再求，得余弦值. 方法二：在面投影为，过作连用勾股定理求，余弦定理求，进而求，算出，用面积射影定理得余弦值. 【详解】（1）取的中点，联接. 因为是中点，所以，且. 又因为， 所以平行公理四知，且. 所以是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以面. （2）因为平面，平面，所以平面平面. 取的中点，连结. 又因为正的边长为1，且，设. 所以，所以. （方法一）过点作与点， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角为. 易知，，梯形面积， 所以，解得， 则，所以 （方法二）因为取的中点为，取二面角的平面角为. 因为平面平面为正三角形， 所以点在平面上投影为.过作于，连接. 因为，所以， . 由余弦定理知：；则. . 所以. 3．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，已知、垂直于所在平面，且位于平面同侧，，，. (1)判断并证明以点为球心，为半径的球与平面的位置关系（当球心到平面的距离等于半径时，球与平面相切，当球心到平面的距离小于半径时，球与平面相交，当球心到平面的距离大于半径时，球与平面相离）； (2)以点为球心为半径的球与线段交于点，与线段交于点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面交于，求二面角的正切值. 【答案】(1)相交，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，推导出平面，平面，则点到平面的距离等于，求出的长，并与球的半径比较大小，即可得出结论； （2）过作交的延长线与于，证明出平面，可知与平面所成角为，求出、的长，即可得解； （3）解法一：延长、交于点，连接，证明出平面，可知二面角的平面角为，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系可求得结果； 解法二：二面角的平面角为，由射影面积法可得，利用三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）取的中点，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于， 因为，则，故， 因此，以为球心为半径的球与平面相交. （2）过作交的延长线与于， 因为平面，平面，所以， 因为，即， 又因为，、平面，所以平面，故平面， 因为，，，故四边形为矩形， 所以，，则， 又因为，故， 同理可得， 因为，所以，故， 所以与平面所成角等价于与平面所成角， 因为平面，故与平面所成角为， 因为，所以， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. （3）方法一：延长、交于点，连接， 因为，，，所以， 故，则为的中点， 因为，，故， 因为，故为等腰直角三角形，所以， 因为，所以，即， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 在中，，故二面角的正切值为. 方法二：面积射影定理， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角， 因为平面，平面，由面积射影定理知， 因为， 由（2）可得，，， ，故， 故， 因此，，所以， 故，因此二面角的正切值为. 核心知识点 射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 高频考点6：空间距离 1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥的几何性质，和空间中点线面的垂直关系，做出点到面的距离，求出结果即可. 【详解】 如图所示，作中点为，连接， 因为，所以，又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以 , 所以，，面，面，所以面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，面，面，所以面， 所以为点到面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 3．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形是菱形，，平面平面，且.    (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明线线垂直，再根据面面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）通过余弦定理解三角形，求出几何体的各边长，再根据等体积法，通过三棱锥的体积，求出点到面的距离. 【详解】（1）    连接，如图所示，因为四边形是菱形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，所以， 又，平面， 所以平面． （2）因为平面，又平面，所以， 所以． 在中，由余弦定理得，所以， 又，易得， 所以，所以， 所以． 因为平面平面，所以平面， 所以． 设点B到平面的距离为，所以，即， 解得，即点B到平面的距离为． 4．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）通过等体积法即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接， 由中位线可得， 又，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又在平面内，不在平面， 所以平面 （2） 连接， 因为平面，都在平面内， 所以， 又，， 由勾股定理可得：， 所以， 设点到平面的距离为， 由， 可得：， 所以， 又是的中点， 所以点到平面的距离为. 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为的中点，求： (1)点到截面的距离； (2)点E到截面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法即可求解； （2）由E为的中点结合第一问即可得解. 【详解】（1）由题意， 所以三角形的面积为， 设点到截面的距离， 根据等体积法有有， 解得； （2）∵E为的中点，∴到平面的距离是E到平面的距离的2倍， ∴E到平面的距离为. 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，可证明底面为矩形，利用线面平行的判定定理得证； （2）利用等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面⊥平面，为交线，,平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 又是底面圆的直径，所以， 所以四边形为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 由可知，, 由， 可得， ，， 又平面, 所以平面，又平面， 所以， 故，， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 立体几何初步（8.6空间直线、平面的垂直）（复习温故） 目录 高频考点1：线面垂直 2 ①证明线面垂直 2 ②补全线面垂直条件 4 ③线面垂直证明线线垂直 6 高频考点2：面面垂直 8 ①证明面面垂直 8 ②补全面面垂直条件 11 ③面面垂直证明线面垂直 13 高频考点3：异面直线所成角 15 高频考点4：直线与平面所成角 16 ①定义法 16 ②等体积法求垂线段法 19 高频考点5：二面角 20 ①定义法 20 ②三垂线法 21 ③射影面积法（） 24 高频考点6：空间距离 26 高频考点1：线面垂直 ①证明线面垂直 1．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在三棱锥中，．求证：平面；    3．（新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年高一下学期6月期末监测数学试题）如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点E为棱的中点，，，连接 (1)求证:平面； (2)求证:平面； (3)求三棱锥的体积. 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，点E，F分别为棱的中点． (1)证明：B，D，E，F四点共面； (2)若，证明：平面． 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. ②补全线面垂直条件 1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    2．（21-22高一下·北京·期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 3．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 4．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 5．（2024高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． ③线面垂直证明线线垂直 1．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）在四棱锥中，底面四边形为正方形，平面，E，F分别是线段，的中点.若，在线段上有一点满足，则 . 3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 高频考点2：面面垂直 ①证明面面垂直 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 2．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，.求证：平面ABC⊥平面BSC.    3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面； 4．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点．已知，，，. 求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．求证：平面平面BMC．    ②补全面面垂直条件 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 2．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    (1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2).若的面积为，求三棱锥的体积． 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 5．（2024高一·全国·专题练习）如图示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点． (1)求证：面； (2)求多面体的体积； (3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由． ③面面垂直证明线面垂直 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，，， 求证：平面. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，．求证：平面． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    高频考点3：异面直线所成角 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北十堰·期末）在直四棱柱中，四边形是梯形，，，，E，F分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江湖州·期末）在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为 ． 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 高频考点4：直线与平面所成角 ①定义法 1．（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（重庆市主城区七校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点．    (1)求证∶ 平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 核心知识点 1定义法（如右图）： 直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. ②等体积法求垂线段法 1．（24-25高二下·浙江·期末）在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则 . 2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成的角. 核心知识点 等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 高频考点5：二面角 ①定义法 1．（23-24高二上·河南·开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    5．（21-22高二上·上海松江·期中）在正方体中，二面角的大小是 . 核心知识点 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. ②三垂线法 1．（24-25高二下·浙江金华·期末）如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. (1)求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为中点. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 核心知识点 三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） ③射影面积法（） 1．（2025高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，侧面是正三角形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若的边长为，求二面角的余弦值. 3．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，已知、垂直于所在平面，且位于平面同侧，，，. (1)判断并证明以点为球心，为半径的球与平面的位置关系（当球心到平面的距离等于半径时，球与平面相切，当球心到平面的距离小于半径时，球与平面相交，当球心到平面的距离大于半径时，球与平面相离）； (2)以点为球心为半径的球与线段交于点，与线段交于点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面交于，求二面角的正切值. 核心知识点 射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 高频考点6：空间距离 1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 ． 3．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形是菱形，，平面平面，且.    (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 4．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为的中点，求： (1)点到截面的距离； (2)点E到截面的距离. 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$