第1章 特殊平行四边形 章末复习（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

初中数学 九年级上册·（BS版） 第一章　特殊平行四边形 章 末 复 习 目录 CONTENTS 高频考点精练 易错易混专练 考点1　菱形的性质与判定 1.(2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2＋OD2＝A D.AD2＋OA2＝OD2 D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.(2024·海南)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处.若点E表示的数是3，则点A表示的数是( ) A.1 B.1－ C.0 D.3－2 D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.(2024·青岛)如图，在菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝______. 　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.(2025·沈阳沈北新区月考)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； 证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，且BC＝2DE. 又∵BE＝2DE，∴BC＝BE. ∵EF＝BE， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴EF＝BC， ∴四边形BCFE是平行四边形. 又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.(2025·沈阳沈北新区月考)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求四边形BCFE 的面积. 解：∵四边形BCFE是菱形，∴BE∥CF， BE＝BC， ∴∠EBC＝180°－∠BCF＝60°， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴△EBC是等边三角形， ∴BE＝BC＝CE＝4. 如图，过点E作EG⊥BC于点G. ∴BG＝2，∴EG＝2， ∴S菱形BCFE＝BC·EG＝4×2＝8. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 考点2　矩形的性质与判定 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝______. 　　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为_________. 　2　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.【动手操作】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边CD上的点E处，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10.当折痕GH最长时，线段BH的长为_______. 　6.8　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°. (1)求证：四边形ACFD是矩形； 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE. ∵E为线段CD的中点， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形. ∵∠ACF＝90°， ∴平行四边形ACFD是矩形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°. (2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积. 解：∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CFD＝90°，AC＝DF，AD＝CF. ∵CD＝13，CF＝5， ∴DF＝＝＝12，AD＝5，∴AC＝12. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，∴BF＝10. 在Rt△ACF中，∠ACF＝90°. ∵E为斜边AF的中点，∴S△FCE＝S△ACF， ∴S四边形ABCE＝S△ABF－S△FCE＝×10×12－××5×12＝45. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 考点3　正方形的性质与判定 9.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是( ) A.AB＝BC＝CD＝DA B.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D.AB＝BC，CD⊥DA C 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.(2024·内蒙古)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边BC上一点，F是对角线BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( ) A.2 B.2＋ C.4－2 D. A 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上的一点，过点P作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC.当PE∶PF＝1∶2时，PC的长为( ) A. B.2 C. D. C 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，E为对角线AC上的一个动点，连接ED，过点E作EF⊥ED，交射线BC于点F，以ED，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，BE. (1)求证：BE＝DE. 解：证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°. ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE(SAS)， ∴BE＝DE. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，E为对角线AC上的一个动点，连接ED，过点E作EF⊥ED，交射线BC于点F，以ED，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，BE. (2)求证：矩形DEFG是正方形. 解：证明：如图，过点E作EM⊥BC于 点M，EN⊥CD于点N. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCN＝90°， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∠MCN＝∠EMF＝∠ENC＝∠END＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∴∠FEM＋∠FEN＝90°. ∵E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN. ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＋∠FEN＝90°， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∠DEN＝∠FEM. 在△DEN和△FEM中， ∵∠DNE＝∠FME，EN＝EM， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM(ASA)， ∴DE＝FE， ∴矩形DEFG是正方形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，E为对角线AC上的一个动点，连接ED，过点E作EF⊥ED，交射线BC于点F，以ED，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，BE. (3)CE＋CG的值是否为定值？若是，请 求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：CE＋CG的值是定值. ∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴DE＝DG，DA＝DC，∠EDG＝∠ADC＝90°， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△CDG≌△ADE(SAS)， ∴CG＝AE， ∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝AB＝4. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.(2025·丹东振兴区月考)如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD.若CD＝6，则△MCD的面积为( ) A.12 B.12.5 C.15 D.24 A 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中，正确的个数是( ) ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂 直且相等. A.1 B.2 C.3 D.4 A 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(2024·甘肃)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x之间的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，PO的长为( ) A.2 B.3 C. D.2 C 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.有下列结论： ①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值为2.其中正确结论的序号为( ) A.①③④ B.①④ C.②③④ D.①②④ D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(6，4)在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标为___________________. 　(2，12)或(－2，0)　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P是边AD上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AC＝，则PE＋PF的最大值为______. 　　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.如图，在▱ABCD中，P是边AB上一点(不与点A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交边AD于点Q，连接CQ. (1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形； 解：证明：∵PQ⊥CP， ∴∠CPQ＝90°， ∴∠APQ＋∠BPC＝90°. ∵∠BPC＝∠AQP， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∠APQ＋∠AQP＝90°， ∴∠A＝90°. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.如图，在▱ABCD中，P是边AB上一点(不与点A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交边AD于点Q，连接CQ. (2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠CPQ＝90°. 在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ∵CQ＝CQ，CD＝CP， ∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴DQ＝PQ. 设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x. 在Rt△APQ中，根据勾股定理， 得AQ2＋AP2＝PQ2， ∴x2＋22＝(6－x)2，解得x＝， ∴AQ的长是. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢谢观看 $$