第1章 3 第2课时 正方形的判定（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

初中数学 九年级上册·（BS版） 第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　正方形的判定 1.如图，已知四边形ABCD是矩形，则下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是( ) A.AC＝BD B.AB⊥BC C.AD＝BC D.AC⊥BD D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.【新考法·开放题】(2024·黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：______________ __________，使得菱形ABCD为正方形. 　AC＝BD (答案 不唯一)　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE.若将矩形纸片CDEF沿EF剪下，则余下部分ABFE是一个正方形，其数学原理是_____________________________. 　有一组邻边相等的矩形是正方形　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(2024·沈阳法库期中节选)如图，已知菱形ABCD，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得到四边形AECF.求证：四边形AECF是正方形. 证明：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD. ∵BE＝DF，∴BE＋OB＝DF＋DO， ∴EO＝FO， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形. 在△AOE和△COE中，∵OA＝OC， ∠AOE＝∠COE＝90°，OE＝OE， ∴△AOE≌△COE(SAS)， ∴∠AEF＝∠CEF. 又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°， ∴菱形AECF是正方形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2　正方形的性质与判定的综合应用 5.顺次连接正方形各边中点所得的四边形是( ) A.等腰梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 B 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [变式](2024·福建)如图，正方形ABCD的面积为4，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_____. 　2　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具调整成如图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝20 cm，接着把活动学具调整成如图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为__________cm. 　20　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC.求证：四边形DFCE是正方形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC， ∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴△ACD，△BCD为等腰直角三角形， ∴∠DCF＝∠CDF＝45°. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形DFCE为矩形. ∵ED＝EC，∴四边形DFCE是正方形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.矩形各角的平分线围成的四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________. 3 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点，当点P运动到_____________时，四边形APDQ是正方形. 　AB的中点 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【新考法·新定义】在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题. (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有________(填序号). ①“双直四边形”的对角线不可能相等； ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一 定是正方形. 　②③　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【新考法·新定义】在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题. (2)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB， AD上，连接CE，BF，EF，CF.若AE＝DF，求证： 四边形BCFE是“双直四边形”. 解：证明：设BF与CE交于点O(图略). ∵四边形ABCD是正方形， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠ABC＝90°. ∵AE＝DF，∴BE＝AF， ∴△ABF≌△BCE(SAS)，∴∠ABF＝∠BCE. ∵∠ABF＋∠CBF＝90°， ∴∠BCE＋∠CBF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BF⊥CE. 又∵∠EBC＝90°， ∴四边形BCFE是“双直四边形”. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【新考法·新定义】在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题. (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)， C(8，0)，点B在线段OC上，且AB＝BC，在第一象 限内，是否存在点D，使得四边形ABCD是“双直 四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存 在，请说明理由. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：存在. ∵A(0，6)，C(8，0)，∴OA＝6，OC＝8. ∵四边形ABCD是“双直四边形”， ∴AC⊥BD. ∵AB＝BC，∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ①当∠DCB＝90°时，如图1，设BD与AC交于点H. ∵A(0，6)，C(8，0)，∴H(4，3). ∵AB＝BC，AB2＝AO2＋OB2， ∴BC2＝36＋(8－BC)2， ∴BC＝，∴OB＝，∴B(，0). 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设直线BH的表达式为y＝kx＋b(k≠0).将B(，0)，H(4，3)代入，得 解得 ∴直线BH的表达式为y＝x－. ∵点D的横坐标为8，且点D在直线BH上， ∴y＝，∴点D的坐标为(8，). 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②当∠DAB＝90°时. ∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD， ∴△BDA≌△BDC(SSS)， ∴∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴同①，得点D的坐标为(8，). 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ③当∠ADC＝90°时，如图2，过点 D作DE⊥BC于点E，DF⊥OA于点F. ∴∠DFA＝∠AOB＝∠OED＝90°， ∴四边形OEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°， ∴∠ADF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE，∴∠ADF＝∠CDE. 又∵∠AFD＝∠CED，AD＝CD， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴△ADF≌△CDE(AAS)， ∴AF＝CE，DF＝DE， ∴四边形OEDF是正方形，∴DE＝OE＝OF， ∴OA＋AF＝OC－CE，即6＋CE＝8－CE， ∴CE＝AF＝1，∴DE＝OE＝7， ∴点D的坐标为(7，7). 综上所述，点D的坐标为(8，)或(7，7). 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 谢谢观看 $$