第1章 2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

初中数学 九年级上册·（BS版） 第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点　矩形的性质与判定的综合应用 1.下列说法正确的是( ) A.矩形的对角线互相垂直且平分 B.矩形的邻边一定相等 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 D 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为( ) A.35° B.40° C.45° D.50° A 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，有下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2； ④AC⊥BD.其中能判定四边形ABCD是矩形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OB的中点，且AE⊥BD，BD＝4，则CD＝___. 　2　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE. (1)若∠CAE＝15°，则∠CBD＝_____； (2)若BO＝BE，则∠CAE＝_____. 　30° 　15° 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(教材P27复习题T11变式)(2024·沈阳大东区期中)如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E. (1)求证：四边形OCED是矩形； 解：证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(教材P27复习题T11变式)(2024·沈阳大东区期中)如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E. (2)若AB＝1，∠ABC＝60°，求DE的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝1，AO＝OC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝1，∴OC＝AC＝. ∵四边形OCED是矩形，∴DE＝OC＝. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( ) A.1 B. C.2 D. B 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12.若E，F，G，H分别为边AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的面积为( ) A.36(＋1) B.18(＋1) C.12(＋1) D.9(＋1) B 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为AB边上任意一点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是______. 　2.4 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [变式]如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH.若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是____. 7 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF，CG. (1)求证：△ABE≌△CDF. 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF. ∵E，F分别为OB，OD的中点， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴BE＝OB，DF＝OD， ∴BE＝DF. 在△ABE和△CDF中， ∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS). 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF，CG. (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形 EGCF是矩形？请说明理由. 解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形. 理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴AB＝OA. ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°. 同理CF⊥OD， ∴AG∥CF，∴EG∥CF. 由(1)，得△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵EG＝AE，∴EG＝CF， ∴四边形EGCF是平行四边形. ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC ＝8，E，F是对角线AC上的两个动点， 分别从A，C同时出发相向而行，速度均 为每秒1个单位长度，运动时间为t秒， 其中0≤t≤10. (1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH的形状一定是______________(E，F相遇时除外)； 　平行四边形　 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. (2)在(1)的条件下，若四边形EGFH是矩形，求t的值； 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：①当点E在点F左侧时，如图1，连接GH. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴AC＝＝10，AG∥BH. ∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG＝BH， 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6， ∴当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6. ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10－2t＝6，∴t＝2. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②当点E在点F右侧时，如图2，连接GH. 同①可得，EF＝t＋t－10＝2t－10＝6， ∴t＝8. 综上，若四边形EGFH是矩形，则t的值为2或8. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. (3)在(1)的条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形EGFH是菱形时，求t的值. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于点O. ∵M是AD的中点， ∴AM＝AD＝BC＝4. ∵四边形EGFH是菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 又∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∴四边形AGCH是平行四边形. ∵GH⊥EF，OG＝OH，∴AG＝AH， ∴四边形AGCH是菱形，∴AG＝CG. 设AG＝CG＝x，则DG＝8－x. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由勾股定理，得CD2＋DG2＝CG2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即AG＝， ∴MG＝AG－AM＝－4＝，即t＝， ∴当四边形EGFH是菱形时，t＝. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 谢谢观看 $$