第1章 特殊平行四边形 章末复习&中考新趋势（同步训练）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

:时边形AD是美程，六A⊥D,年∠0=0 ,边AD是成，∠AE-,AB=, 用染和0汇ED是E形. ∠1上∠AEH=90 2号 :尺是C的中A日是AB的中A 2AJ-8-BE-EC. 7日889.2.4【变式】9 相都：1该明：”刀该对ABCD是平针口地动， :∠BHE-∠BeH-1D-5. .AR-CD.AR&CD.OR-OD.OA-OC. 六∠AHE1m”-∠BHE135, .∠BE∠CDP. ”∠AEF-90,∠2+∠AED',i∠1∠2 尼，罩彩为0斯，O的中点 2E-00,Dp-00,8R-DE Ft4∠ai,a∠F07∠a ∠ECP-1-∠FG1a..∠AHE-∠Cp, 金△AE和CDF中， △AHE9△ECF(ASA),AEEF 片A月=CD,∠A内E■∠CDF,航=求， ()属之理卖略 △ABE2△CDF(5As. 2解：(1)证明：令两种情花诗论 《)当C-2A厅驴，口克联下是里形，度南4 ①昌1，表F透煌C上 11,解：41)平行回地影 ?时造移ADCD是正专移： 《D0指点F在点P走制时，如雪：选城GH 击AH=议∠A8E-∠CHE-5∠AH批= 到边恐A(D混题彩 :R为参米晚.止△A月R心△CBF, ∠B=9,AD=C,AD0C, 六∠BA8-∠CE. ACAB+BC10,AG∥BH TEFE,片∠A℃-∠AEF-0, NG,H分图是AD,C岭中孟，AGBH, 品∠月AE十∠月FE一I的 回晚形A是经0，G月=AB=8。 :∠EFC十∠BFE-Iw,÷∠BAR-∠EFC :善世地梦B下刊是想形对，RF-GH一a :∠AAB-∠CE,六∠BCF-∠EG, AE=2=2..EF=10-2r=6,=2. ∴C= 备A尼在病F布附时，如明名，进线G程， 防①可将，T=(1t一10-2一10=6.1=& 心知，F已B的线上 雄上，答四边形F日是相形，则上畅值为上点系 :AELRF,∠AF5=0 ,时道每AD是正方想， H∠ABF∠ABC0”∠LEF,∠ABE∠CBE 3正方形的性质与判定 5,A8=议 第1单时正方感的性质 BR是0长晚.△BABG△E(8A》, 1.42A怎4【查式1如210°4.1.一1)5.0 ?∠ACE=∠BP,六∠BAE一∠F, 6,4g7.(2.61眼(2，》B.D9Bt6图 7△BAE2△BCE,h∠L4E-∠CE, 11解A)证南：女图，AB的中AH.连接EH: 品∠F=∠kCB.F= (E属3v5 第1录时玉方形的州定 1,D2ACBD得常不唯一) 袋手手年坻 1有一丝畅边用等的知方 ,DE8,黑C-2DE 4.证期，如国，连址AC,交0于点0 发WBE物2D站，C=BE EF-BE,EF=C。 ,注形E是平行明过形 见形E■FE,理蛇利C于末是菱形 6214月 四连形A改D是逐的： A0=CO,f0-O,AC⊥D 66257制 H5=F.,E十O第=F+0,,D=FO, B解：（们）证明，：■边移ACD是平行霄边形 士W连型4FF是干杆雪道到 .AD9.∠ADR-∠FCR,∠DMR-∠CFE :AC⊥0，“平群国边形ACP是置形 E为底见CD的中在，DE=C下， 在△AOE△DOE中， △1DE验△FTE(AA,E-FE 04=0C,∠0-∠0R-0',0R=0眼 自进形ACF是平行m隐醇. △AOg边AC0E(SA0,,∠AF-∠F ∠ACF=,,平什m边多A下D是起形. 义∠AED=45,∠AFC=f (2145 流的A下是王方用 9.C10.A11.G 5.B【室式】器6m 12.解(1丝明，理战形4C力是正方形 7.任明，？用过形ACD是正专标， AB=A,∠AR-,∠4E= AD=D-C,∠D=∠AIC-0” 片AE-AE,∴△A5Q△AJE(sAS3,六月F-E ,△AD,△D为等腰克身王青限。 (山道明，女周，过孟E件MC手AM,END ,∠DF=∠CDF=4B 于AN Y∠E-0',ED-E配，∠ED一，∠CD-45, ∴·∠FCr=∠DR=∠R=9, ,雨造形DECE为姬形. D-B配，图越的DE是正才影 1.D93510.4B的中盛 ∠2N=∠EF=∠BNC=∠END=, 1L.解，1)@④ ∠AEN-90,六∠FEM+∠FEN-0 (2)证明，混BF梅CE交于AO(用感 廿R是正京形D对角我上岭A,N一W 四进别AD是正为形， H∠D点F-0,∠DEN-∠FEy0, ,A期=C=A,∠A=∠A=0 ∠EN-∠FE AE-DF,BE-AF. 在△RN和△FAM9, △AFa△CR(sA0,∠1BP-∠CE ∠DNE=∠F伍，EX=M:∠5N=∠FEM Y∠ABF+∠亡3F0, △DEN△FEMLARA),DE-FE ∠BCE+∠CBF-0,∠BOC-9,BF_CE ,肥形R心是正志形 又∠EC0,留道参FE是“双重日遵形”. (3CE+G静值是克值，克值为4月 8)春在点D片2修为(8写》点，西 13A4A15,C6.D 章术复习 220g要 1.D2.D310 19..(11第，PQCP,∠CPQ=90 4,精，《17证聘：”D:E0到是AH,AC的中九 ∠APQ-∠BPC=0' ∠-∠AQP,∠APQ1∠AQP-9g 4.m3- ∠4=90 6.1316.5,:--2.5 ？可形ABD是平行时谁形，，可形A联D (20=,-1-20.m-1120 无形. 61154}是8号兰105 7.c 中考新趋势 81x,-4=220,-39,-3 L.B2ADC(营塞不神一)3.8 ()1-31面，--V而4，-1+=-4 4.(1)1{2235.1s或√0码 (5,-8-于=-36-y 6.解：(102 猛明，行A程=C力，C=Ab, 身A0云15家-◆【电式J14 明边形ACD是平行理进形 12(1y1-23-2为=一831 NBE⊥CD,DF1C,:∠CF2)-∠EH=90 点△CFD MACEB中， W∠DCF=∠E.∠CFD=∠CEB,DF=BE, 8-5,-2《0,-5装-音 1△CFD△CEB(AD,CDCB, 厚地形ACD混宽形， 3洲加了8行3列4一1酸2 韩2谋时用配方法解鞭复杂岭一定汉方程 2动16 第二章一元二次方程 1.C2D 9 1认识·元二次方程 3m--- 第1厚时·元二欢方程 1,B【变1不是2u*3【变式】-3，C4 6 方围 一程形式 量我深 &1- 41雅多5，()1或是老或 ar--6g-可 9+1-9 e0-r'-a-0, 68180 6.A7B8.B【变式】-2 9.x-2P-{x03=x 5 5 10.1)162o或-1 378-7 第2束时 元“改有程的丽的估其 10213.2r2-3-1=0答￥不喻-1 I0,(102016)一2文(8)0《4M~N 42观4【安式1-45.非【家式】日64 (5)当AC一附，西边彩AD的面积最大，爱大信 7.01=一1 号 8(1125r-M3=2u(2)203000(3)1发4 3用公式法求解·元二次方程 1.A2A3.A 2用配方法求解一元二次扩程 3-/17 2 草1票时用配方法解有单的一元二次方塑 1.02036x-5子-号+是告- 方无实数啊(3红，正一1x1一-1 5.D6.A 餐华P年风上 71<程8a经a4<好0月 11-1aa 父导【安式】m>号且w 6脱用一元二次方程 第1课时图形自积问图 【堂减】公-号 1.A2g3B【安式】14,9 3.-210从.或日 bxl51-2x)=360015<1815 .0 6.省矩制场地的长为1m,烹为8m或长为75m,宽为 6田时，能周成一个青家为45白的场地 1+2-7 7A9.x(a4-4r)=4409.sm 10,(13或41(2》不存在理由爵 8》9=￥少■-1 第2深时平场变率问晒与结件判到同题 12.}--4-3-0 1A203.2+2(1+x)+241+x3-&72 4.1010%(228.62万g5.日5.32元7.10 3m-0-1,方霞的解力，-1山团 10 8,10y--1+160 1-21 (2该南品的日销售想不能法列？初印元程由略 10 ,(102%(2粒20的# 4用以式分解法求解一元二次方程 章末复习 1.D2.031=-143-2 1.C2.2/-2a+a=03541045.D6.87.C 41-14-3 (23x,3,3a-0 &.(10,--1+28,3,--1-28 (9)x1-0,5.01-1 感.(1)直接开率方2)配方(3)公式《)国式分舞 1,一6一42：-1+2：-8万 0m-1-7《45-26=- ( 3.D10.D11.6 1 (40z,-=1,31=3 -p88 7.两人的帽法都钻演.正璃的解答过程略8.DB 12.1p12-1-+ 0,《1h=1-室(2-1-1 13.c4号号 111D是“禁根方程”，②不是“信根方程 15.4115元 (2)坡高县每量制的销衡利衡不编运到4200免.球由略 16.27.018k>-且k≠0 5一元二次方程的根与系数的关系 1.2.8 19.1,--14,--9)-言5-1 3101十”41：-5 20.421.g227或6 @1+-8a-是 3.这知白灯每个的情价应定为0元，这时应进白灯 00个 6,中-2不-—昌 中考新趋势 4.D5.C6A758.149.D【宣式】1 102号3论-1言南不峰-) 10.日13.A12.A13.日14.4【交】4 4.13(100-2x(40-2)160010 15.6a2是8别 (2150-g)t40-2a￥(50-=(40-2a)e58章末 44高频考 考点1菱形的性质与判定 1.(2024·通辽)如图，□ABCD的对角线AC,BD 交于点O,下列条件中不能证明口ABCD是菱 形的是 ( A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA*+OD2=AD* D.AD2十OA2=OD 第1题图 第2题图 2.(2024·海南)如图，菱形ABCD的边长为2， ∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A 顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处.若点 E表示的数是3，则点A表示的数是() A.1 B.1-5C.0 D.3-23 3.(2024·青岛)如图，在菱形ABCD中，BC=10, 面积为60，对角线AC与BD相交于点O,过点 A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则 EO= 4.(2025·沈阳沈北新区月考)如图，在△ABC中，D, E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长 DE到点F,使得EF=BE,连接CF, (1)求证：四边形BCFE是菱形； 20一本·初中数学9年级上册BS版 复习 点精练·~ (2)若CE=4,∠BCF=120°，求四边形BCFE 的面积. 考点2矩形的性质与判定 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E是边AD的中点，点F在对角线AC 上，且AF=AC,连接ER,若AC=10,则 EF= 第5题图 第6题图 6.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是 AE的中点，AB=8,AD=DE=10,则BF的 长为 7.【动手操作】如图，折叠矩形纸片ABCD,使点 B落在边CD上的点E处，GH为折痕，已知 AB=6,BC=10.当折痕GH最长时，线段BH 的长为 8.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD 的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点F, 连接DF,∠ACF=90° (1)求证：四边形ACFD是矩形； (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的 面积 考点3正方形的性质与判定 9.如图，四边形ABCD的对角线 A D AC,BD相交于点O,下列条件 中，能判定四边形ABCD是正 方形的是 )B A.AB=BC=CD=DA B.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AB=BC,CD⊥DA 10.(2024·内蒙古)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O,E是边BC 上一点，F是对角线BD上一点，连接DE EF,若△DEF与△DEC关于直线DE对称， 则△BEF的周长是 ) A.22 B.2+√2 C.4-22 D./2 第10题图 第11题图 11.如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是对 角线BD上的一点，过点P作PF⊥AD于点 F,PE⊥AB于点E,连接PC.当PE:PF= 1:2时，PC的长为 () A.3 B.2 C.5 12.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=4, E为对角线AC上的一个动点，连接ED,过 点E作EF⊥ED,交射线BC于点F,以ED, EF为邻边作矩形DEFG,连接CG,BE. (1)求证：BE=DE. (2)求证：矩形DEFG是正方形. (3)CE+CG的值是否为定值？若是，请求出 这个定值：若不是，请说明理由. 第一章特殊平行四边形21 44易错易 13.(2025·丹东振兴区月考)如图，在Rt△ABC和 Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB= 10,M是AB的中点，连接MC,MD,CD.若 CD=6,则△MCD的面积为 ( A.12 B.12.5 C.15 D.24 第13题图 第14题图 14.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点，则下列说法中，正 确的个数是 ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互 相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD 互相垂直且相等. A.1 B.2 C.3 D.4 15.(2024·甘肃)如图1，动点P从菱形ABCD的点 A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C 时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y, y与x之间的函数图象如图2所示，当点P运 动到BC的中点时，PO的长为 图1 图2 A.2 B.3 C.5 D.2√2 16.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为对 角线BD上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD 于点F,连接AP,EF,有下列结论：①PD √2EC；②四边形PECF的周长为8： ③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小 值为22.其中正确结论的序号为( 22一本·初中数学9年级上册BS贩 混专练· A.①③④ B.①④ C.②③④ D.①②④ 第16题图 第17题图 17.如图，正方形OABC的两边OA,OC分别在x 轴、y轴上，点D(6,4)在边AB上，以点C为 旋转中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D 的对应点D'的坐标为 18.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,P是边AD上的一个动点，PE⊥AC于点 E,PF⊥BD于点F,AC=√I0,则PE十PF 的最大值为 19.如图，在□ABCD中，P是边AB上一点（不 与点A,B重合)，CP=CD,过点P作PQ⊥ CP,交边AD于点Q,连接CQ (1)若∠BPC=∠AQP,求证：四边形ABCD 是矩形： (2)在(1)的条件下，当AP=2,AD=6时，求 AQ的长， 中考新趋势 1.【新情境·现代科技】随着科技的进步，机器人 的“神似度” 在各个领域的应用越来越广泛，一个正方形的 (1)当菱形的“神似度” 时，菱形就是 擦窗机器人如图1所示，其边长为28cm.如图 正方形： 2,在某次擦窗工作中，PM,PN为窗户的边 (2)当∠BAD=60°时，菱形ABCD的“神似度” 缘，擦窗机器人的两个顶点A,B分别落在 为 PM,PN上，PA=14cm,将擦窗机器人绕中 5.【无图题】(2024·牡丹江)矩形ABCD的面积是 心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM, 90,对角线AC,BD交于点O,E是边BC的三等 则旋转的最小角度是 分点，连接DE,P是DE的中点，OP=3,连接 CP,则PC+PE的值为 6.【新考法·开放题】(2024·沈阳于洪区期中改编)如 图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD, E,F分别是边CD,BC上的点，连接BE,DF 交于点G,BE=DF.添加下列条件之一使四边 图1 图2 形ABCD成为菱形： A.15 B.30° C.45 D.60 ①CE=CF;②BE⊥CD,DF⊥BC 2.【新考法·开放题】如图，在四边形ABCD中， (1)你添加的条件是 (填序号)，并 AD=BC,AC⊥BD于点O.添加一个条件： 证明； ,可使四边形ABCD成为菱形 (2)在(1)的条件下，连接CG,若CG=2,BC= 2√6，BG=2√5，则菱形ABCD的面积为 第2题图 第4题图 3.【新情境·传统文化】外方内圆”与“外圆内方” 是我国古代建筑中常见的设计，图1中外面正 方形的面积是16平方分米，将图2放进图1组 成一个新的图形如图3所示，则图3中小正方 形的面积是 平方分米 图1 图2 图3 4.【新考法·新定义】我们知道，菱形和正方形虽 然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可 以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神 似度”.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 的长分别为a,b(a≥b),我们把号定义为菱形 第一章特殊平行四边形23