第1章 3 第2课时 正方形的判定（同步训练）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

第2课时 正方形的判定 A知识分点练 夯基础 知识点2正方形的性质与判定的综合应用 知识点1正方形的判定 5.顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 () 1.如图，已知四边形ABCD是矩形，则下列条件 A等腰梯形 B.正方形 能使矩形ABCD成为正方形的是 () C.菱形 D.矩形 [变式](2024·福建)如图，正方形ABCD的面 积为4，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD 的中点，则四边形EFGH的面积为 A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BC D.AC⊥BD 2.【新考法·开放题】(2024·黑龙江)如图，在菱形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添 加一个条件： ,使得菱 6.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动 形ABCD为正方形. 的菱形学具，他先把活动学具调整成如图1所 示的菱形，并测得∠B=60°，AB=20cm,接着 把活动学具调整成如图2所示的正方形，则图 2中对角线AC的长为 cm 第2题图 第3题图 3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在 BC边上的点F处，折痕为BE,若将矩形纸片 图2 CDEF沿EF剪下，则余下部分ABFE是一个 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC, 正方形，其数学原理是 BD相交于点F,∠E=90°，ED=EC.求证：四 4.(2024·沈阳法库期中节选)如图，已知菱形 边形DFCE是正方形. ABCD,E,F是对角线BD所在直线上的两 点，且∠AED=45°，DF=BE,连接CE,AF, CF,得到四边形AECF.求证：四边形AECF 是正方形 18一本·初中数学9年级上瓶BS贩 B能力综合练 练思维 AE=DF,求证：四边形BCFE是“双直四 边形” 8矩形各角的平分线围成的四边形是 ( (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点 A.平行四边形 B.矩形 A(0,6),C(8,0),点B在线段OC上，且 C.菱形 D.正方形 AB=BC,在第一象限内，是否存在点D,使得 9.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC= 四边形ABCD是“双直四边形”？若存在，求 90°，AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形 出所有点D的坐标：若不存在，请说明理由。 ABCD的面积是18，则DP的长是 D 图2 10如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，P, Q分别是AB,AC上的动点，且满足BP=AQ, D是BC的中点，当点P运动到 时，四边形APDQ是正方形 C拓展探究练 提素养 11.【新考法·新定义】在学习了“特殊平行四边 形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究 产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的 特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形， 勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一 个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形 称为“双直四边形”请你根据以上定义，回答 下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 (填序号). ①“双直四边形”的对角线不可能相等； ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的 一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其 一定是正方形. (2)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别 在边AB,AD上，连接CE,BF,EF,CF.若 第一章特殊平行四边形19,时边彩AD是美别，二LD,序∠(0=0： ,时边UAD是成考零，∠A正=B”,AB=, 1有一组帽边用等的恒书是证方形 ,DEg,美C-2DE 胃染和0CED是至形. ∠1上∠AE490 4.证明，如国，连接C,文BD于点0 义WBE物是，C■BE 20立 :尼是BC的中A,程是A用的中A F-. A=8=BE=, “,响设形CFE是平行网边形 7.B8.89.2.4【变式】7 根解1》该明：W刀设对ABCD及平针口地形， ∴∠BHE-∠BeH--D-5. 见”E■FE,厘球利C于术是菱形 2 (218小 .AR-CD.ARCD.OR-OD.OA-OC. 六∠AHE1”-∠BHE135 W连削L议D是无 ∠BE∠CDF, :∠AEF90,‘∠2+∠AED-0,i∠1∠2 .A0-CO,f0=1O,C⊥1D 号62w57 尾，P合利为0斯，O川的中点 :CF+g∠aia∠Fai7∠Dai DRE+08DF+0O..OF0. 解：(1)证明：”国边形ACD是平行霄建易 a服-是0m,p-00,六aB-D. ÷∠CF-1g-∠FG1a..∠AE-∠Cp ·W连利ACF是平杆增连到 .AD8C.∠ADE-∠FR,∠DMR-∠FE 四尽勇底见D的中在，D呢=C下， 金△AE和△CDF中， AC⊥)，，年好国边野AC下是是型 △AHE9△ECFA9A),,AEEF 片A月=CD,∠AAE=∠C5,月时=D求， 在△AOE#△DUE中， △ADE验△TE(AAO,LE-FE ()属之-理安略 △ABE2△CDF(5As) 04=00-∠深-∠0-0,0R-0E 自进形AC)是年格路边辱 2解：1)口明：9两种情花时论， 《)当AC=2A开时，口建特下是厘形，度南略 ①层1，表F在煌8C上 .AAO@△0E(SA0,∴，∠ArF-∠CF ∠ACF=■，平新同形ACFD是起琴， 11.解：1)平背回地制 ?时造移ADCD是正考形， 光'ZAED■45，∠AEC=m (2045 山百备点界在点P在湖时，如雪1：走城GH 9C10.411.g AH=议C.∠ABE=∠H5=5.∠AH批=州 泥的A下是是冷利 ”到边彩AD是题形， 5B【宜大】86m万 12.解，（们丝聘，w线形4C力是正方形 :R为0共2，△A月R△CBR, ∠B9g,AD=HC,ADRC, AB=A1,∠AE-,∠4E=4 二∠BAB=∠BCF 1.正明，片可过形ACD是正方都， AD-GD-C,∠CD-∠ADC-0", A=AB,∴-△A52△AB(sAS),,月8=R AC AB+BC 10.AG/BH. EFAE,六∠AC=∠AEF=9, G,H分是AD,C的中孟，AG月H ∠AAE十∠月FE=I0 ∴，△AD.△D为晚克身三黄限 (山这期，如周，计E件M上C干AM,END 于N 回晚形A:是是0，G月=AB=8 :∠EFC十∠FE=I3,∠BAR=∠EFC ∠DF-2CDF=E. :善世地梦2FH是想形对，EF一GH一a, :∠AAB-∠ACE,÷∠BCR-∠E, ∠E-0,ED-2C,∠DC-∠ECD一45 AE==1.EF=10-2r=6,=. ECEP. ∴，∠Cr=∠FpR=∠R=9㎡， 霄裤形DECE为能形， 'D-配，.图域型D5E是正才影 :回进形AACD是王为附，∠MCN-9G, 1.D93互10.AB的中盛 ,∠CN=∠EMF=∠NC=∠END=, 11.解，1)@④ ∠aMRN-9,六∠FEM+∠FEN-0, ⑧备AB在病F布侧时，如明8，进装G程， (2)证明，这BF构CE交于AO(周感) 世R是正产形D对角我上岭点，M一N 芮①T得，F=t1一0=/-10=6,1=8 心知周，森F应垃已B的延亲值上 四姓附AD是正为利 H∠D点F-0,∠D呢N-∠FEN0, 姓上，答同边形正日是短形，测止畅值为上或系 :AE⊥RF,一∠AFF=0 A月=C=A,∠A两∠AC=0 ∠EN=∠FEG “,时边每ACD礼正者都， AF-DF..BE-AF. 在△RW和△FAM中， h∠ABF∠ABC0”∠LEF,∠ABE∠CBE 3正方形的椎质与列定 △AFa△CR(sA0,,∠ABF=∠CB W∠DNE=∠F3E,EN=M:∠店V■∠FEM 45,A8=议 ∠AF+∠3F, △DENa△FEMLARA),.DE-FE 第1单时正东感的性质 :BR是公长晚，△BAG△HF(8A》 ∠CE+∠CBF-0,∠OC-9,BFLE ,把形心是正为形. 【.42AA【查式】02190°4.1.一1)5.0 ,∠AO君=∠F,∠BAE-∠F, 又“∠EC0',留边参FE是“双皇日遵形” (3CE+G静值是克值，充值消4园 6,427.(2.61吸(2，》B,D9,B0图 T△AAE2△BCE,∠AE-∠BCE, 13A4A15,C16.0 11解：门)证明：为图，数AB的中AH.地铁EH ∠F=∠kC军.F- 8)亦在志D片丝修动(8智}点，m (E撬35 草术复习 n1减20》g要 需1录明正方居的列的 1.D2.D310 19.制.(1，”QP,∠CPQ=90, 1,D2ACBD4常不增一) 4N,17证鸭：D,E分到风AH,AC的中九 ∠APQ-∠BPC=