精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 5. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 10. 若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（ ） A. 的概率是 B. 的概率是 C. 直线不经过第一象限的概率是 D. 的概率是 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 第II卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为___________. 13. 如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 14. 已知函数是偶函数.若函数的图象与直线没有交点，则b的取值范围为________. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在内，将成绩分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成 绩在和内各1人的概率． 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算结合共轭复数的概念可得. 【详解】由题意可得，所以. 故选：B. 2. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为， 所以，得. 故选：A 4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特点，先求出高一年级学生人数在总人数中的占比，再用样本容量乘以该占比，即可得到从高一年级抽取的学生人数. 【详解】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为： 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为$200$的样本，根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为： （人） 从高一年级抽取的学生人数为60人. 故选：A. 5. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出“点数之和等于7”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于7”的概率． 【详解】基本事件总数，点数之和是7包括共6种情况， 则所求概率是． 故选：C. 6. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式计算. 【详解】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，， 抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，， 设抽取的总体样本的平均数为和方差为， 则， . 故选：C. 8. 已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解. 【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示. 设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为， 易知：三点均在上，且平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法：，得， 由等体积法：，得， 将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面， ∴两点间距离的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内切圆半径及，即可得的长度的最小值. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据概率和为，可得，进而根据频率分布直方图得到对应概率，进而可得. 【详解】选项A：，解得，A错误； 选项B：估计该哈密瓜的质量不低于的比例为，B正确； 选项C：低于的概率为， 低于的概率为， 故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间，C正确； 选项D： 低于的概率为， 低于的概率为， 估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间，D正确. 故选：BCD 10. 若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（ ） A. 的概率是 B. 的概率是 C. 直线不经过第一象限的概率是 D. 的概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，先列出的情况，然后针对每个情况求出对应的概率，最后相加即是总概率值；对于选项B，先列出使得的情况种数，然后即可计算概率值；对于选项C，先列出使得直线不经过第一象限的情况种数，然后即可求得概率值；对于选项D，先列出使得的情况种数，然后即可求得概率值. 【详解】对于选项A： 使得的情况有： ①，此时概率为； ②，此时概率为； ③，此时概率为； ④，此时概率为； ⑤，此时概率为； ⑥，此时概率为； 所以使得的概率为，A正确. 对于选项B： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有共7种. 所以使得的概率为，所以B正确. 对于选项C： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得直线不经过第一象限的情况有： 共2种. 所以使得直线不经过第一象限的概率为：，C错误. 对于选项D： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有： 共3种. 所以使得的概率为，所以D错误. 故选：AB. 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明平面即可证明；对于B，求三棱锥的体积判断B的真假；对于C，根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断C的真假；对于D，判断点轨迹，求的轨迹长度判断D的真假． 【详解】对于A，如图所示，连接，， 为平行四边形，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 同理可证， ，平面，平面， 平面，，故A正确； 对于B，当在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故B错误； 对于C，如图所示，取中点，连接，，， 易知为等边三角形，故． 当在线段上运动时， 因为，所以或其补角为异面直线与所成角． 当与重合时，异面直线与所成角为． 当与不重合时，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的范围为，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与平面所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）， 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确． 故选：ACD 第II卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据， 可得数据的平均数为， 所以方差为， 所以标准差. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 13. 如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点为，利用线面垂直的判定定理可得平面，为二面角的平面角，设点到的距离为，利用三棱锥的体积求出，再由可得答案. 【详解】取的中点为，连接，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，则，所以为二面角的平面角， 且，因为，， 所以，，， 设点到的距离为，则， 三棱锥的体积为，解得， 所以，因为，所以， 则二面角的大小为. 故答案为：. 14. 已知函数是偶函数.若函数的图象与直线没有交点，则b的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义得到，由此化简求解出的值，再将问题转化为“方程无解”，然后构造函数，分析其单调性和值域，再根据“无解”求解出的取值范围. 【详解】因为为偶函数且定义域为，所以， 所以，所以， 所以，所以且不恒为0，所以. 因为函数的图象与的图象没有交点， 所以方程无解，即方程无解， 即方程无解. 设，因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递减，又因为， 所以，所以的值域为， 若无解，则. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题首先通过函数的奇偶性求出，再将题意等价转化为方程无解，再求解函数的值域即可得到答案. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16. 某高中在一次高一数学测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，成绩均在内，将成绩分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值，并估计这200名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成 绩在和内各1人的概率． 【答案】（1），79.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求出，再由均值的求法计算得出平均值； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件，根据古典概型求解. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计这200名学生成绩的平均数． 【小问2详解】 由，得这5人中成绩在的人数为2，分别记为a，b； 在的人数为3人，分别记为c，d，e． 在这5人中抽取2人，共ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10个基本事件， 这2名学生成绩在和内各1人，共ac，ad，ae，bc，bd，be，6个基本事件， 故这2名学生数学成绩在和内各1人的概率为． 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将的解析式化简，再利用整体代入法即可求解； （2）利用图象变换的规则得到的解析式，再根据的范围即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，解得， 的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知， 将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位得到， 当时，，则， 因为方程有解，所以， 所以实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到； （2）设利用向量数量积定义式和等面积计算即得； （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由可得，， 由正弦定理，，即， 因代入可得：， 因，则，故，得； 【小问2详解】 设则由可得， ，整理得，①， 又由可得，， 整理得，； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，，即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加，， 将①，②代入整理得，，于是， 从而，， 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 故有，即实数n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到，求得的值；多次利用余弦定理推理得到，从而求得，将不等式恒成立问题转化为求相关函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $