3.2.1 函数的单调性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 3 章 3.2 函数的基本性质 人教A版2019必修第一册 3.2.1 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数的单调性 (一)新知导入 1.创设情境,生成问题 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行 了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8~9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据 描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图. 探究概念——直观感知“形” 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的? T( ) 4 8 12 16 20 24 t o -2 2 4 8 6 10 福州市一天24小时的气温变化图 y=f(x),x∈[0,24] 单调性 应用新知 例:已知某函数图像如图所示,你能否根据函数图像判断出该函数的单调性吗? y=0.00001x+1 探究概念——直观感知“形” 画出函数f(x)=x2的图象,观察其变化规律: 【探究3】 1、在区间 _ 上,f(x)的值随着x的增大而 _. 2、在区间 _ 上,f(x)的值随着x的增大而 _. (-∞,0] 减小 [0,+∞) 增大 (单调递减) (单调递增) 单调性是函数局部的性质 学习新知 f (x)=x2的单调性. 符号语言描述: 取x1,x2∈(-∞,0],得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)>f (x2). 函数f (x)=x2在区间(-∞,0]上是单调递减的. 取x1,x2∈[0,+∞),得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)<f (x2). 函数f (x)=x2在区间[0,+∞)上是单调递增的. 思考:以上描述正确吗? 应用新知 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且∀x1,x2 ∈A,当x1<x2时都有 f (x1)<f (x2),我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗? 你能举例说明吗? 【解析】不能,如图,取A={1,2,3,4},D=[1,4], ∀x1,x2 ∈[1,2]且x1<x2时,都有f (x1)<f (x2), 但f (x)在区间[1,4]不是单调函数. 学习新知 f (x)=x2的单调性. 符号语言描述: 任意取x1,x2∈(-∞,0],得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)>f (x2). 这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞,0]上是单调递减的. 任意取x1,x2∈[0,+∞),得到f (x1)=x12,f (x2)=x22,当x1<x2时,有f (x1)<f (x2). 这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0,+∞)上是单调递增的. 学习新知 设函数f (x)的定义域为D,区间I⊆D,∀x1, x2∈I,且x1<x2, 如果都有f (x1) < f (x2),那么就说函数f (x)在区间I上单调递增; 如果都有f (x1) > f (x2),那么就说函数f (x)在区间I上单调递减. x y 0 应用新知 特别的,函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们称它是增函数; 函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们称它是减函数. 我们说一个函数f(x)的增函数或减函数,一定说在定义域上某个区间上的增(减)函数. 如果函数y=f (x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 能力提升 题型一 函数单调性的证明 【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性. 变式:根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增. 应用新知 【例2】根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增. 假设 作差 变形 定号 定论 例2:根据定义证明函数 在区间 上单调递增. (四)利用定义判断或证明单调性 对勾函数 (耐克函数) 你能描述一下它的单调增(减)区间吗? 总结新知 【特别提醒】 1.单调区间D⊆定义域I; 2.函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间 端点不属于定义域则只能开; 3.函数在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[c,d]上也单调递增 (减), 该函数在[a,b]∪[c,d]上不一定单调递增(减),故在作答函数的单调递增(减)区间的时候通常不能用“∪”这个符号. 能力提升 题型二 单调区间的判断 B 能力提升 题型三 函数单调性的应用 总结新知 单调递增 单调递减 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆ID, ∀x1,x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递增, 区间I为f(x)的单调递增区间. ∀x1,x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递减, 区间I为f(x)的单调递减区间. 图示 注:①当函数在其定义域上单调递增(减)时,则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间I上单调递增(减),则称f(x)在区间I具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 单调性是局部性质 单调性的定义: 通过这个试验,结合我们今天所学的内容,你打算以后如何对待刚学过的知识? ①及时复习,经常复习 ②合理分配时间 ③复习方法要多样化 ④运用多种感官参与复习 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 所以 在区间 上单调递增. 证明:设 ,且 ,则 所以 ,即 . 因为 EMBED Equation.DSMT4 .所以 【练习4】(1)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=2, 试比较f(1),f(2),f(4)的大小. (2)已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围. 【解析】(1)由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2,故f(1)=f(3),由题意知f(x)在[2,+∞)上单调递增, 所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4). (2)由题意,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-1≤x-2≤1,,-1≤1-x≤1,))解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x), 所以x-2<1-x,解得x<eq \f(3,2),② 由①②得1≤x<eq \f(3,2). 所以x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))). $$