2.2用配方法求解简单的一元二次方程（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

教学设计 教学课题 用配方法求解简单的一元二次方程 教学背景分析 （1）本节课的主要教学内容是用配方法求解简单的一元二次方程。 （2）本节课主要介绍了如何通过配方将一元二次方程转化为可解的形式，即 (x+m)=n (n≥0)，并通过实例讲解了配方法的应用过程。 （3）通过学习本节课，学生能够能够掌握用配方法求解简单的一元二次方程的方法，提高解决实际问题的能力，并且通过合作交流，加深对数学思想方法的理解，提升数学思维能力和逻辑推理能力。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题的引入，学生能够识别并理解一元二次方程在现实生活中的应用，增强数学与现实世界的联系。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过配方法的探索和应用，学生能够运用数学思维解决简单的一元二次方程，培养逻辑推理和问题解决能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过配方法的总结和语言描述，学生能够准确表达数学解题思路，提升数学语言表达能力。 重难点 （1）理解配方法的基本原理，掌握将一元二次方程转化为完全平方式的关键步骤。 （2）在实际问题中灵活运用配方法，解决形如 x² + bx + c = 0 的方程，并理解其几何意义。 教学方式与策略 自学感知法、合作交流法、示例演练法、总结归纳法 教学活动设计 一、导入新课 通过回顾上一节课的内容，我们知道梯子底端滑动的距离 x（m）满足方程 x² + 12x - 15 = 0。我们已经求出了 x 的近似值，那么你能求出它的精确值吗？（通过这个问题引导学生回忆上节课的知识点，并激发他们进一步探索的兴趣） （生：我们可以尝试用其他方法来求解这个方程） 二、讲授新课 1. 复习与引入 复习旧知： 请同学们回忆一下，你能解哪些特殊的一元二次方程？ 下面这些一元二次方程你们会解吗？你们是怎么做的？ x² = 5 2x² + 3 = 5 x² + 2x + 1 = 5 (x + 6)² + 7² = 10² （生：前两个方程可以直接开平方根解决，第三个和第四个方程可以通过因式分解或者直接开平方法解决） 引入新课： 现在我们来看一个稍微复杂一点的方程 x² + 12x - 15 = 0，你能解这个方程吗？你在解这个方程时遇到了什么困难？试着和你的同桌讨论一下，看看能不能找到解决办法。 （生：这个方程看起来比较复杂，暂时还不会解，但可以考虑通过配方的方法将其简化） 2. 配方法的概念 配方法的定义： 配方法是通过添加或减去适当的项，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解的方法。 具体步骤： 将方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0。 移项，使方程左边只含 x² 和 x 的项。 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方。 化简并求解。 详细讲解配方法： 我们以方程 x² + 12x - 15 = 0 为例，一起来看看如何使用配方法求解。 移项：首先将常数项移到等式的右边，得到 x² + 12x = 15。 （教师板书示范） 配上完全平方：接下来，在方程两边同时加上一次项系数（12）的一半的平方，即。 （教师解释为什么要加上 36，因为我们要使方程左边成为完全平方） 化简：经过上述操作，方程变为 x² + 12x + 36 = 15 + 36，即 (x + 6)² = 51。 （教师引导学生观察变化，并解释为什么这样可以将方程化为完全平方） 开平方：对方程两边开平方，得到 x + 6 = ±√51。 （教师示范如何开平方） 求解：最后，解出 x = -6 ± √51。 （学生跟随教师的步骤进行计算，加深理解） 为了帮助学生更好地掌握配方法，教师可以设计一些小练习，让学生在草稿纸上逐步操作，确保每个人都理解每个步骤。 3. 实践应用 活动一：填空题 完成下列填空题： x² + 12x + 36 = (x + 6)² x² - 4x + 4 = (x - 2)² x² + 8x + 16 = (x + 4)² 观察上面等式的左边，常数项和一次项有什么关系？ 解一元二次方程的思路是什么？ （学生独立完成填空，并在小组内讨论常数项和一次项的关系，以及解方程的思路） 活动二：例题解析 解方程 x² + 8x - 9 = 0 移项：x² + 8x = 9 配上完全平方：，然后在方程两边同时加上 16。 化简：x² + 8x + 16 = 9 + 16，即 (x + 4)² = 25。 开平方：x + 4 = ±5。 求解：x = -4 ± 5，最终得到解 x₁ = 1, x₂ = -9。 （学生跟着老师的步骤一步步做，验证自己的答案是否正确） 三、课堂练习 随堂练习： 课本 37 页随堂练习 学生独立完成，教师巡视指导，发现问题及时纠正。 （学生完成练习，教师巡视并给予必要的帮助） 四、小结 总结配方法： 配方法的关键在于通过添加或减去适当的项，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解。 具体步骤包括：将方程化为一般形式，移项，配上完全平方，化简并求解。 关键步骤是 “配方”，即加上一次项系数一半的平方，使方程左边成为完全平方。 （学生回顾配方法的步骤，确保理解每个步骤的作用） 五、巩固练习 课后作业： 课本 37 页课后习题 完成作业，下节课交作业。 （学生记录作业，准备课后完成） 课后作业 （1）使用配方法解一元二次方程，并总结出解题步骤：解方程 x² - 5x + 6 = 0，写出完整的解题过程。 （2）应用配方法解决实际问题：小明有一块矩形花坛，长比宽多 3 米，面积是 12 平方米。求花坛的长和宽。 学科网（北京）股份有限公司 $$