1.3《公式法》——运用完全平方公式因式分解 教学课件 2025—2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

1.3公式法 —— 运用完全平方公式因式分解 教学目标 【教学重点】 掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式 【教学难点】 灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因 式，正确判断因式分解的彻底性问题. 知识迁移 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a+b)2= (2) (a-b)2= (3) a2+ +1=(a+1)2 (4) a2- +1=(a-1)2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 2a 2a 新课导入 因式分解我们学了哪些方法? 提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用平方差公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) 导入新知 做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 思考：这个大正方形的面积可以怎么求？ a b a² ab ab b² 将上面的等式倒过来看，能得到： 完全平方公式 导入新知 b a 探究新知 整式乘法 因式分解 完全平方公式与因式分解关系： 完全平方式： 探究新知 完全平方式的特点： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 是第一项和第三项底数的积的±2倍. 观察这两个式子： 思考:多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点? 你能将它们因式分解吗? 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,这恰是两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式,利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 等号两边互换位置,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² 新知探学 例1 因式分解 (1)(x-y)2+2(x-y)w+w2 (2)a2(a-b)+2ab(a-b)+b2(a-b) 解：(x-y)2+2(x-y)w+w2 =(x-y+w)2 平方项的底数可以是多项式 解：a2(a-b)+2ab(a-b)+b2(a-b) =(a-b)(a2+2ab+b2) =(a-b)(a+b)2 如果一个多项式的各项有公因式，一般先提公因式 (2)原式=22 -2 · 2 · 3(x-y) + [3(x-y)]2 = [2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2 解:(1)原式 当堂测学 1.把下列多项式因式分解： （1）(x+y)2+12(x+y)+ 36； （2）4-12(x-y)+9(x-y)2； （3）3x4+6x3y2+3x2y4 （4）(x-y)2+4xy; 如果一个多项式的各项有公因式，一般先提公因式 (3)原式=3x2(x2+2xy2+y4) = 3x2[x2+2 · x · y2+(y2)2] = 3x2(x+y2)2 例2 先化简，再求值 (a+b)+2(a+b)(a-b)+(a-b)2 ，其中a= ，b=1 解：(a+b)+2(a+b)(a-b)+(a-b)2 =(a+b+a-b)2 =(2a)2 =4a2 合作助学 例3 把多项式 x2-21+10x-9y2+12 y 化简求最值 根据一次项 凑完全平方公式 拓展研学 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 思考：运用完全平方公式分解因式应注意什么？ (1)先找平方项，再运用公式; (2)若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式. 例4 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 随堂练习 1.如果 100x2 + kxy + y2 可以分解为(10x - y)2，则k的值是（ ） A. 20 B. -20 C. 10 D. -10 B 2.如果x2 + mxy + 9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A. 6 B. ±6 C. 3 D. ±3 B 3.分解因式： (1) x2 + 12x + 36; (2) - 2xy - x2 - y2; 解：原式=(x + 6)2 解：原式= - (x + y)2 (3) a2 + 2a + 1; (4) 4x2 - 4x + 1; 解：原式=(a + 1)2 解：原式=(2x - 1)2 (5) ax2 + 2a2x + a3; (6) - 3x2 + 6xy - 3y2. 解：原式=a(x + a)2 解：原式= - 3(x - y)2. 4.若n为整数，试说明(2n + 1)2 - 25能被4整除. 解： (2n + 1)2 – 25 = (2n+1+5)(2n+1-5) = 4(n-2)(n+3) . ∵ n是整数，∴ 4(n-2)(n+3) 能被4整除， 即(2n + 1)2 – 25能被4整除. 5.因式分解 (x + 3y)2 + (2x + 6y)(3y - 4x) + (4x - 3y)2 解：原式= (x + 3y)2 - 2(x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)2 = (x + 3y - 4x + 3y)2 = (- 3x + 6y)2 = 9(x - 2y)2 归纳小结 1．运用完全平方公式分解因式有什么条件？ 2．归纳因式分解的一般步骤? THANK YOU! 感谢聆听 $$