1.1菱形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:__________学号:___________ 一、单选题 1．在菱形中，对角线，则该菱形的周长为（   ） A．15 B．20 C．22 D．25 2．如图，若菱形的周长为16，则边的中点E到对角线的交点O的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（   ） A． B． 、C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的周长为16，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 7．如图，在菱形中，，，交于点于点的长为（    ） A． B．9 C．8 D．6 8．如图，在菱形中，，，，点是边上的动点，点是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在菱形中，，对角线，过点作，垂足为点，则的长度是 ． 10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 11．如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 12．如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为 ． 13．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是上的点，且．则图中阴影部分的面积 ． 14．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上的一个动点（P不与B，D重合），以和为边作平行四边形． （1） 菱形的面积是 ； （2）点P在运动过程中，的最小值是 ． 三、解答题 15．如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，连接、．求证：． 16．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 17．如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 18．已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点． （1）当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明； （2）当点与点重合时，求的长； （3）当取最大值时，求此时的长． 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以得到,，，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线， ∴,，， ， 菱形的周长． 故选B． 2．【答案】B 【分析】由菱形的性质得到，O为边的中点，再根据三角形中位线作答即可． 【详解】解：∵菱形的周长为16，O为对角线的交点， ∴， O为边的中点， ∵E为边的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 3．【答案】C 【分析】作角平分线，作线段的垂直平分线，菱形的判定，根据菱形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案. 【详解】解：如图，根据作图过程可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故A不符合题意． 如图，由作图可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故B不符合题意． 如图， 由对折可得：，， 同理可得：， ∴， ∴四边形为菱形，故D不符合题意． 无法证明C选项中的四边形为菱形，故C符合题意； 故选C 4．【答案】A 【分析】因为四边形是菱形，所以，，再根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴， ∴， 故选A． 5．【答案】D 【分析】根据邻角互补可得出∠ABC＝120°，∠DAB＝60°，从而根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质可分别求出两对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行解答． 【详解】解：连接交于点, ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4， 又∵∠A：∠B＝1：2，∠A+∠B=180°， ∴∠DAB＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠BAO＝∠DAB＝30°， 在Rt△ABO中， ∴BO＝AB＝2， ∴AO＝＝2， ∴BD＝4，AC＝4， ∴菱形的面积＝AC×BD＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形性质，勾股定理，属于基础题，掌握30°直角三角形性质，勾股定理，和菱形知识①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半． 6．【答案】A 【分析】由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选A． 7．【答案】A 【分析】由菱形的中可得，，由勾股定理可得，则，再根据菱形面积计算公式可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 8．【答案】A 【分析】如图：过B作交延长线于H，过E作交延长线于G，则，根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、、；如图：过作交于，易说明，即共线且垂直于；再证明四边形是矩形可得，进而得到、，最后运用勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：如图：过B作交延长线于H，过E作交延长线于G， 则， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图：作点E关于的对称点，过作交于， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴共线且垂直于， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选A． 9．【答案】/ 【详解】如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：. 10．【答案】 【分析】根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 11．【答案】/度 【分析】根据题意画出图形，根据菱形的性质得，根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵菱形中，， ∴ ∵ ∴. 12．【答案】 【分析】延长交于点M，过点E作点P，证明四边形是菱形，继而证明，则，，由折叠，得，可证是的高，根据，，可得，即可解答． 【详解】解：延长交于点M，过点E作点P，延长到点N，使得，连接，如图， 有， ∵中，，，点E是的中点，， ∴四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， 由折叠，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 13．【答案】5 【分析】连接，根据菱形的性质，三角形的中线平分面积，求出，同高三角形的面积比等于底边比，求出，平行等积转化，得到，进而求出，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积. 14．【答案】； 【分析】连接交于O，根据菱形的性质的得出，，，，结合已知可得出是等边三角形，得出，进而求出，根据勾股定理求出，进而求出，再根据菱形的性质即可求出菱形的面积； 设与交于G，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：连接交于O， ∵菱形的边长为3， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是； 解：设与交于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 15．【答案】见详解 【分析】根据菱形的性质得，，再运用证明，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴． ∴． 16．【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 17．【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解 （2）的长为 【分析】（1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4． 18．【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解 （2） （3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可证明四边形是菱形； （2）过作，交的延长线于，依据中，，列方程求解即可得出结论； （3）依据，可知，当最短时，最大，进而得出当时，有最大值，依据中，，列方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，过作，交的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得，， ∴； （3）解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 由（2）可得与之间的距离为， ∴当时，， 设，则， 由折叠可得， 在中，， 即， 解得，（舍去）， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$