1.3《公式法》——平方差公式 教学课件-2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

——平方差公式 1.3 公式法 学习目标 1.理解并熟记平方差公式,熟练运用平方差公式进行因式分解;(重点) 2.能灵活运用提公因式法和平方差公式,对多项式进行因式分解.(难点) 复习提问 1.因式分解: 把一个多项式化成几个整式相乘 2.因式分解和整式乘法有什么关系： 3.公因式：每项都有的因式 5.必须有括号的三种情况： 1.系数:最大公约数；2.相同字母:次数最低. 整式乘法 因式分解 互逆 4.提取公因式法分解因式： 怎样找公因式： 提公因式法:把多项式写成公因式x剩下的多项式 1.多项式有单位，2.多项式次数大于2， 3.因式分解。 光头强，我在您那里预定了一片边长为x米的正方形苹果地 最近预定的熊熊太多了。我给你换一个长方形的苹果地，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，草地面积还一样，你也没有吃亏，你看如何？ 情景引入 5米 5米 x 米 (X-5)米 (X+5)米 ？ 第六直觉告诉我，这里面有陷阱 让本王来给你们上一课吧！ x 米 (X-5)米 (X+5)米 x² (x+5)(x-5) =X2-5x+5x-25 =X2-25 多项式乘多项式法则：(a+b)(m+n) =am+an+bm+bn ？ ？ ？ (1) (x+5)(x-5)= ; (2) (3x+y)(3x-y)= ; (3) (3m+2n)(3m–2n)= . 思考:以上结果有什么共同特征? x2-52 9x2-y2 9m2-4n2 1.等式左边都是两数相加乘以两数相减; 2.等式右边都是某个因式的平方,减去另一个因式的平方. 这是因式分解吗? NO! 探究新知 1.根据等式左边填空: 讲授新课 公式法之平方差公式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差. 平方差公式： √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ √ √ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 （6）m2-1 想一想：多项式a2-b2有什么特点？ 平方差公式分解因式的特点： 1.两项； 2.异号； 20152－20142 = （2mn）2 - ( 3xy)2 = 25a2－36b2= 结论：公式中的a、b可以表示数、单项式、多项式， 公式法之----平方差公式 (5a+6b)(5a-6b) ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 例1. 分解因式: (1) 9- x2 (2) －a2 +16. =(3+x)(3-x) =(4+a)(4-a) 分解因式: (1)a2－ b2; (2)9a2－4b2; (3) 1- x2 巩固练习： =(3a+2b)(3a-2b) =(a+ b)(a- b) =(1+x)(1-x) 例2 分解因式： 注意： 先提再公式， 分解要彻底。 像这样,将两个数的平方相减的形式,化为两数之和与两数之差的乘积形式的公式,叫做平方差公式. 口诀:前方-后方=前后和×前后差. 平方差公式是一种分解因式的方法. 公式学习 平 方 差 公 式 : a、b既可以是单项式也可以是多项式. 能用平方差公式分解因式的多项式,有什么特点? 1.多项式一般是二项式; x2-25=x2-52 9x2-y2=(3x)2-y2 9m2-4n2=(3m)2-(2n)2 一定是二项式吗? 2.两项都能写成平方的形式; 3.平方项的符号相反. 要点归纳 x2-25=(x+5)(x-5) x2+2x+1-(m2-2mn+n2) 例:将以下多项式化为二项式,再进行因式分解: =(x+1)2-(m-n)2 注意:某些多项式也可能是隐藏的二项式. 典例解析 =[(x+1)+(m-n)]·[(x+1)-(m-n)] 前方-后方 前后和×前后差 =(x+1+m-n)·(x+1-m+n) 1.下列多项式,能否用平方差公式来分解因式?如果能,请将其转化成( )２-( )２的形式. m2-92 12-(4b2)2 两项同号,不能化为平方差公式 (ax)2-(5y)2 两项同号,不能化为平方差公式 小试牛刀 (1)m2-81; (2)1-16b4; (3)4m2+9; (4)a2x2-25y2; (5)-x2-25y2. 1.造平方:找出a,b,将二项式写成平方相减的形式; 2.套公式:利用a2-b2= (a+b)(a-b)分解因式. 解:原式 典例解析 例1用平方差公式分解简单多项式: (1)25-16x2 解:原式=52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x) 平方差公式分解因式的步骤: 2.用平方差公式进行因式分解: 小试牛刀 (1) 9m2-n2 (2) 1-16b4 (2)解:原式=12-(4b2)2 =(1+4b2)(1-4b2) =(1+4b2)(1+2b)(1-2b) (1)解:原式=(3m)2-n2 =(3m+n)(3m-n) 造平方,先确定a和b 套公式:(a+b)(a-b) 每个括号内,都要分解到不能分解为止. 典例解析 例2用平方差公式分解复杂多项式: (1) 9(m+n)2-(m-n)2 a b 解:原式=[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)]·[3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)·(3m+3n-m+n) =(4m+2n)·(2m+4n) =2(2m+n)·2(m+2n) =4(2m+n)(m+2n) 先提取公因式 再用平方差.造平方, 套公式:(a+b)(a-b) 当多项式含有公因式时,通常先提取公因式,然后再考虑能否用平方差公式进一步分解. 典例解析 例2提公因式法+平方差公式 (2) 2x3-8x 解:原式=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2) 小结归纳 1.具有平方差形式的多项式才可以运用平方差公式分解因式. 2.公式a2-b2=(a+b)(a-b)中,字母a,b既可以是单项式,也可以是多项式,注意整体思想的运用; 4.分解因式要彻底,每个因式都要化到不能继续分解为止. 3.若多项式中有公因式,先提取公因式,再考虑平方差公式; 随堂练习 1.判断正误: (1)x2+y2=(x+y)(x+y); (2)x2-y2=(x+y)(x-y); (3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y); (4)-x2-y2=-(x+y)(x+y). ( ) ( ) ( ) ( ) 2.把下列各因式分解: (1)a2b2-m2; (2)(m-a)2-(n+b)2; (1)解:原式=(ab)2-m2 =(ab+m)(ab-m) (2)解:原式=[(m-a)+(n+b)]·[(m-a)-(n+b)] =(m-a+n+b)(m-a-n-b) (3)x2-(a+b-c)2; (3)解:原式=[x+(a+b-c)]·[x-(a+b-c)] =(x+a+b-c)(x-a-b+c) 2.把下列各式因式分解: (4)-16x4+81y4. (4)解:原式=(9y2)2-(4x2)2 =(9y2+4x2)(9y2-4x2) =(9y2+4x2)[(3y)2-(2x)2] =(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x) 1.把下列各式因式分解: (1)a2-81; (2)36-x2; (3)1-16b2; (4)m2-9n2; 解:原式=a2-92 =(a+9)(a-9) 解:原式=62-x2 =(6+x)(6-x) 解:原式=12-(4b)2 =(1+4b)(1-4b) 解:原式=m2-(3n)2 =(m+3n)(m-3n) 1.把下列各式因式分解: (5)0.25q2-121p2; (6)169x2-4y2; (5)解:原式=(0.5q)2-(11p)2 =(0.5q+11p)(0.5q-11p) (6)解:原式=(13x)2-(2y)2 =(13x+2y)(13x-2y) 1.把下列各式因式分解: (7)9a2p2-b2q2; (7)解:原式=(3ap)2-(bq)2 =(3ap+bq)(3ap-bq) (8)解:原式 重点 利用平方差公式分解因式: 步骤 因式分解的步骤是:先提取公因式, 若括号内剩余两项,再考虑能否平方差; 一定要分解到不能分解为止. 强调 课堂总结 $$