1.3 公式法 课件- 2024—2025学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

1.3 公式法 学习目标： 1.理解公式法与乘法公式的联系。 2.会用平方差公式进行因式分解。 完全平方式 公式结构特征： 从项数看： 完全平方式 都是有 项 3 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看： 平方项符号相同 a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 探究新知： （一）根据乘法公式计算： （三）思考： ＝_______________； ＝______________； ＝___________； ＝___________； ＝_________； ___________； ＝_______________； ＝___________； １、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？ ２、对比（一）和（二）你有什么发现？ （二）根据等式的对称性填空 重要结论： 乘法公式： ＝ ＝ 反过来 因式分解： 　 　　　　　　 　　　 作为公式，就可以把 某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方 法叫做公式法。 简单运用： 下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？ ①x2+y2 ②-x2+y2 ③-x2-y2 ④x2-(-y)2 是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或（a－b）2 填一填 多项式 从项数看：都是有3 项 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同 是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或（a－b）2 多项式 从项数看：都是有3 项 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 典例精析 例1 分解因式：（1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + 32 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 = - (x2-4xy+4y2) = - (x -2y)2. 分解因式: 4x2＋4x＋1 小聪解答过程如下： 他做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解: 原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 × 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 平方差公式： 探索新知 a2- b2=(a+b)(a-b) 整式乘法 因式分解 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）m2-1 探索新知 ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． 例1 分解因式： 解:原式= 典例精析 （1）4x2-9 （2）(x+2)2-(x+3)2 (2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) a2-b2=(a+b)(a-b) =[(x+2)+(x+3)]· a2- b2 =( a + b ) ( a - b ) =(2x+5)×（-1） 整体思想 [(x+2)- (x+3)] =-2x-5 a2- b2=(a+b)(a-b) 当场编题，考考你！ 20152－20142 = (x+z)2 -(y+p)2 = (2mn)2 －(3xy)2 = 针对训练 例2 分解因式： 解：原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x-y) 解：原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1) 典例精析 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 方法总结 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 步骤： 1：先判断能否用完全平方公式进行因式分解（是否符合结构特征） 2：化成符合结构特征的形式，准确找出a，b 3：套用公式，进行因式分解 例4 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2 (2)－x2－4y2＋4xy. 计算或化简下列各式： (1)2022＋202×196＋982； (2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4. 1 下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是 完全平方式的多项式因式分解： (1) x2－x＋ ； (2) 9a2b2－3ab＋1； (3) m2＋3mn＋9n2； (4) x6－10x2－25． 随堂练习 1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2. 随堂练习二 4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值 为(　　) A．8 B．±8 C．24 D．±24 D 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋1 B．x2＋2x－1 C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4 2 D 3　(中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　) A．(x－3)2 　　　　 　B．(x－9)2 C．(x＋3)(x－3) 　　　D．(x＋9)(x－9) 4　把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是(　　) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 A C 课堂小结： 运用平方差公式时应注意的几个问题： 1、公式中的a,b可以是单独的数字、字母，还可以是单项式和多项式，熟练运用整体思想。 2、每一个多项式因式必须要分解到不能再分解为止。 3、分解因式时，有公因式的一定要先提公因式，再运用公式法分解 综合运用： 把下列各式进行因式分解： (1)a2b2-81 (2)-25x2+16y4 (3)(a+b)2－64 (4)(4x－3y)2－16y2 课堂小结： 学会了什么知识 掌握了什么方法 体会了 什么思想 在什么方面有待加强 $$