同步微点进阶强化训练 指数函数的图像与性质-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

强化练13    指数函数图象与性质 一、单选择题 1．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的图像性质判断得a的可能取值. 【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数， 因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知，排除D； 再由图像②存在的图像，由幂函数的图像性质可知的分母为奇数，排除AC； 综上：满足a的取值要求，故a的可能取值为. 故选：B. （24-25高一上·河南南阳·期中） 2．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 3．若函数是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞） 【答案】C 【解析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式. 【详解】解：∵是奇函数， ， 即，整理可得， ，， ， ， ， 整理可得， ，解可得. 故选：C. 【点睛】本题考查由奇偶性求参数，考查指数相关的不等式的求解，属于基础题. （24-25高三上·北京丰台·期中） 4．已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为，所以，所以是减函数， 又因为，所以，， 所以，，所以A,B两项均错； 又，所以，所以C错； 对于D，，所以， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值举反例得到ABC错误，考虑和两种情况，根据判断的正负，判断得到答案. 【详解】对选项A：取，此时有， 因为单调递增，且， 所以，故此时，错误； 对选项B：取，，满足，，错误； 对选项C：取，此时有， 因为单调递增，且， 所以，故此时，错误； 对选项D：若，，知，，，成立； 若，知，，，正确. 故选择：D （22-23高一上·山东青岛·期中） 7．设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，数形结合，计算求解即可. 【详解】作函数的图象，如图， 设，， 所以，，， 所以，，， 故， 故选：D （23-24高三上·宁夏银川·阶段练习） 8．已知函数，，且，则（ ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【详解】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D    二、多选择题 9．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，令，，则，，， ，B错误； 对于C，为定义在上的增函数，，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：ACD. （23-24高一上·四川绵阳·期中） 10．已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（    ） A．“函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件 B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数 C．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 D．若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，由有界函数的定义，结合特殊函数、指数函数，以及函数的奇偶性的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，设函数，则恒成立，即函数有下界， 但函数在上没有最小值，即充分不成立； 反正：若函数有最小值，设最小值为，则成立，即必要性成立， 所以函数有下界是函数有最小值”的必要不充分条件，所以A正确. 对于B中，若定义在上的奇函数上上界，设函数的上界为，则， 根据题意，可得，恒成立， 若时，成立，则当时，，可得， 因为函数为奇函数，可得，所以成立； 若时，成立，则当时，，可得， 因为函数为奇函数，可得，所以成立； 当时，由奇函数的性质，可得，显然满足， 所以，成立，所以为有界函数， 即定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数，所以B正确； 对于C中，令函数，则函数只有下界，没有上界， 所以该函数不是有界函数，所以C错误； 对于D中，由函数， 当时，函数的图象如图（1）所示， 要使得函数在区间上为有界函数，且一个上界为， 则，解得，即； 当时，函数的图象如图（2）所示，当时，， 此时函数在区间不是有界函数，（舍去）. 综上可得，实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD.    （23-24高一上·浙江温州·期中） 11．若实数x，y满足，，，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为7 D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D； 【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即， 同理可得，所以，即且，故A正确； 对于B：，即，所以， 当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确； 对于C： ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误； 对于D：， 因为，所以，即，即， 即，因为，所以，即，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题： （24-25高三上·山东济宁·阶段练习） 12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值为 . 【答案】4 【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值. 【详解】∵过原点，∴， ∴①， ∵当与时，，，， 由题意，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，则. 故答案为：. （24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） 13．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，，，利用图像平移的性质结合指数函数计算即可； 【详解】如图①，当时，函数的图象是由向上平移个单位后， 再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意， 如图②，当时，函数图象是由向下平移m个单位后， 再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意， 如图③，时不合题意． 故答案为：． （23-24高一上·广东深圳·期中） 14．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出的解析式，然后代入得到的解析式，应用主元法转化为关于的一次函数，然后端点处都为非负求解即可. 【详解】因为是指数函数，所以，解得或者， 又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以， 所以， 令，要使得即恒成立， 则， 所以，解得， 故答案为： 【点睛】方法点睛：熟练应用主元法可以降低运算量和思维量. 四、解答题. 15．已知函数（是常数，且）在区间上有最大值，最小值为．试求的值． 【答案】或． 【详解】试题分析：先将看作一个整体，求出其范围，再对分和两种情况进行讨论确定函数取最小值和最大值的情况，列出方程组求解． 试题解析：令，∵ ∴ 当时，，∴ 依题意得 当时，，∴ 依题意得 综上知，或 考点：1、指数型函数；2、函数最值；3、复合函数的单调性． 【方法点晴】本题是含有参数且与指数有关的复合函数问题，欲求其在某区间上的最值，需先确定它在该区间上的单调性，从而求出最值，步骤：（1）求复合函数的定义域，（2）弄清函数是由哪些基本函数复合而成，（3）分层逐一求解函数的单调性，（4）求出复合函数的单调区间（注意同增异减），（5）根据复合函数的单调性列出方程（组）求其最值；本题主要考查逻辑推理能力和计算能力以及分类讨论、转化与化归、函数与方程的数学思想，属于中档题． 16．已知函数． (1)求的定义域和值域； (2)讨论的奇偶性； (3)讨论的单调性． 【答案】(1)R， (2)是奇函数 (3)为上的增函数 【分析】（1）借助指数函数及分离常数法求出定义域及值域. （2）利用函数奇偶性定义判断. （3）利用函数单调性定义推理判断. 【详解】（1）函数的定义域是，令，得， 而，即，解得， 所以的值域为. （2）因为，所以是奇函数． （3）函数，设是上的任意两个实数，且， 则， 由，得，且，， 则，即， 所以为上的增函数. （24-25高一上·湖南·期中） 17．已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出的单调性，求出在区间上的最小值； （2）由题意得在的值域包含于在的值域，分、和三种情况并结合单调性求解. 【详解】（1），令，， 所以，在单调递增， 所以， 所以在区间上的最小值为； （2）由题意得在的值域包含于在的值域， 由二次函数的性质得的值域为， 当时，符合题意， 当时，，可知函数单调递增， 所以， 所以，所以， 当时，为对勾函数，， 所以，，此时， 所以，又，可知无解； 综上，. 18．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围． (3)定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）．试判断函数是否为“上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析. 【分析】（1）将点，，代入，列方程组求解即可得结果. （2）结合（1）求出函数解析式，列出恒成立的不等式，利用函数单调性求解作答. （3）根据给定定义，利用函数的单调性求解作答. 【详解】（1）函数，依题意，，而，解得，， 所以，． （2）由（1）知函数为：，设，， 显然在上单调递减，在上单调递减， 因此函数在上为单调递减，则， 因当时，函数的图像恒在函数图像的上方， 则当时，函数的图像恒在轴上方，即恒成立，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，函数，显然函数在上单调递增，若函数是 “上的函数”， 则，有 ， 所以函数是 “上的函数”，的最小值为． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. （24-25高一上·江西南昌·期中） 19．对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意，结合在上的单调性和值域，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述，a的取值范围为. （3）当时，函数在上单调递减， 则，， 由题意，对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意. 综上所述，b的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练13    指数函数图象与性质 一、单选择题 1．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ）． A． B． C． D．3 （24-25高一上·河南南阳·期中） 2．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．若函数是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞） （24-25高三上·北京丰台·期中） 4．已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． （22-23高一上·山东青岛·期中） 7．设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·宁夏银川·阶段练习） 8．已知函数，，且，则（ ） A．，， B．，， C． D． 二、多选择题 9．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·四川绵阳·期中） 10．已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（    ） A．“函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件 B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数 C．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 D．若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则 （23-24高一上·浙江温州·期中） 11．若实数x，y满足，，，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为7 D． 三、填空题： （24-25高三上·山东济宁·阶段练习） 12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值为 . （24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） 13．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是 ． （23-24高一上·广东深圳·期中） 14．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是 ． 四、解答题. 15．已知函数（是常数，且）在区间上有最大值，最小值为．试求的值． 16．已知函数． (1)求的定义域和值域； (2)讨论的奇偶性； (3)讨论的单调性． （24-25高一上·湖南·期中） 17．已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 18．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围． (3)定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）．试判断函数是否为“上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）． （24-25高一上·江西南昌·期中） 19．对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$