同步微点进阶强化训练11 生活中的函数应用（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

强化练 函数的概念与性质 一、单选择题 1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 （23-24高一上·江西·阶段练习） 2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 3．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 （23-24高一上·山东济南·期末） 4．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系分别记为，定义函数 对于函数，下列结论正确的个数是 ①； ②函数的图像关于直线对称； ③函数值域为； ④函数增区间为． A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） 6．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品进行提价，现有四种提价方案： 方案甲，第一次提价，第二次提价； 方案乙，第一次提价，第二次提价； 方案丙，第一次提价，第二次提价； 方案丁，一次性提价. 其中且，则上述方案中提价最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为      A． B． C． D． 8．某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后发现，一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且．如果以每天的最大值为当天的环境污染指数，并记为，若规定为环境污染指数不超标，则该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 9．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（    ） A．消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米. B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多. C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油. D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. （24-25高三上·江苏南通·开学考试） 11．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 三、填空题： 12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． （24-25高一上·山东青岛·阶段练习） 13．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是 （填“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”）． 14．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 四、解答题. 15．某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x（单位：台），已知总收入R（单位：元）满足函数： (1)将利润P表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润） 16．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和． （1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式； （2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ （24-25高一上·河南新乡·阶段练习） 17．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 18．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）. (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益； ⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 19．已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处． （1）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值． （2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练 函数的概念与性质 一、单选择题 1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 【答案】D 【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30， 可得出=30故=4，可得A=16 从而c=15=60 故答案为D （23-24高一上·江西·阶段练习） 2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 3．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 【答案】C 【分析】判断该顾客购物总金额的范围，根据题意列方程求得总金额，减去享受的优惠金额，即为此顾客实际所付金额，即得答案. 【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时， 享受折扣优惠的金额做多为元， 故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ， 则 ，解得（元）， 则此顾客实际所付金额为元， 故选：C. （23-24高一上·山东济南·期末） 4．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 5．如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系分别记为，定义函数 对于函数，下列结论正确的个数是 ①； ②函数的图像关于直线对称； ③函数值域为； ④函数增区间为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图像的对称性，单调性逐次判断选项. 【详解】由题意可得， 对于①，由，所以，故①正确； 对于②③④，由函数与的图像可得函数的图像 由图像可知：函数的图像关于直线对称；函数值域为；函数在上单调递增，故②③正确，④错误， 故选：C. （24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） 6．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品进行提价，现有四种提价方案： 方案甲，第一次提价，第二次提价； 方案乙，第一次提价，第二次提价； 方案丙，第一次提价，第二次提价； 方案丁，一次性提价. 其中且，则上述方案中提价最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】设产品原价为，依次求出四种方案提价后的价格，再结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】设产品原价为， 方案甲提价后价格为：， 方案乙提价后价格为：， 方案丙提价后价格为：， 方案丁提价后价格为：， 因为，故， 故， 由于，故， 因此最大，故方案丙提价最多. 故选：C 7．如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值. 【详解】如图，    过作与，则，连，交于， 则由折叠知，与关于直线对称，即， 有，，， ∵，，∴， ∴， 设，则，， 代入上式得：， ∵，， ∴，在和中， ∵，∴，∴， 故， ∴梯形的面积为 ， 得当时，梯形面积最小，其最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值. 8．某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后发现，一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且．如果以每天的最大值为当天的环境污染指数，并记为，若规定为环境污染指数不超标，则该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元得到，根据单调性结合端点值得到，求出的取值范围. 【详解】，设，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，故， 当时，， 所以， 其中在上单调递减，在上单调递增， 有，，， 所以 即，当时，， 当时，，当时，， 所以该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为． 故选：B． 二、多选择题 9．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】BCD 【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确． 【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（    ） A．消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米. B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多. C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油. D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. 【答案】ABC 【分析】根据折线图，结合题意对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L， ∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误； 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高， 即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误； 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L， 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误； 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查折线图的理解和应用，属简单题. （24-25高三上·江苏南通·开学考试） 11．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以, 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误. 故选：BC. 三、填空题： 12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． 【答案】 14.59 9 【分析】根据条件列出关系式，分别代入求解即可. 【详解】设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y＝ 当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y＝22.6，知x>8， 由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6， 解得x＝9. 故答案为：14.59；9. （24-25高一上·山东青岛·阶段练习） 13．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是 （填“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”）． 【答案】> 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 故答案为：>. 14．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 【答案】②③④ 【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确. 【详解】对于①，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错； 对于②， ，②对； 对于③，， 因为函数为减函数，则，③对； 对于④选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对. 故答案为：②③④. 四、解答题. 15．某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x（单位：台），已知总收入R（单位：元）满足函数： (1)将利润P表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1) (2)当月产量为500时，公司所获利润最大最大利润为5万元 【分析】（1）由题意，写出分段函数的解析式即可， （2）由（1）的解析式，再在各段求最值即可． 【详解】（1）由题知，利润 （2）当时， 所以，当时，p有最大值5000； 当时， 所以，当时，P有最大值50000 综上，当月产量为500时，公司所获利润最大最大利润为5万元 16．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和． （1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式； （2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）当为55平方米时,取得最小值为57.5万元． 【详解】试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数， 即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值. 试题解析： （1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费. 由,得 所以 （2）因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元． （2）导数解法：，令得 当时，，当时，． 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元． 考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用． （24-25高一上·河南新乡·阶段练习） 17．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】(1)， (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 18．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）. (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益； ⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 【答案】(1)88万元；(2)当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大. 【详解】【试题分析】（1）当甲万时，乙万，代入收益表达式可求得投资收益.（2）设投资甲万，则投资乙万.对分成，两种情况，求出总收益的表达式，利用一次函数和二次函数最值求法求得最大值. 【试题解析】（1）当时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元 所以总收益（万元） 答:总收益为88万元. （2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元 依题意得，解得 当时， < 当时， 令，则 所以 当，即万元时，的最大值为 因为 故的最大值为（万元） 答:当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元 19．已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处． （1）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值． （2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 【答案】（1）；（2）克，理由见解析. 【分析】（1）不妨设水杯高为1个单位，再分别计算杯子的重心位置和水的重心位置，相加即可得水杯的重心位置，即可求解. （2）设装入克水后的水杯的重心位置为，将问题转化为：求当为何值时，最小．再写出关于的表达式，，再利用函数性质求解即可. 【详解】不妨设水杯高为1个单位． （1）由题意可知，当装了半杯水后，杯子质量:水的质量．因为，所以杯子质量:水的质量，即杯子占总质量的，水占总质量的，又因为杯子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水后的水杯的重心位置为，故装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高度的比值为． （2）设装入克水后的水杯的重心位置为，将问题转化为：求当为何值时，最小． 当装入克水后，杯子质量:水的质量，即杯子占总质量的，水占总质量的，杯子的重心位置为．因为装入克水，水的高度为1，所以装入克水，水的高度为，故克水的重心位置为， 所以装入克水后的水杯的重心位置为 ． 当时，， ， ∴； ∴ ， ∴在上递增． 同理在上递减． 故当时，即装入克的水后使装入水后的水杯的重心最低． 【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查数学建模能力与运算能力，是难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$