同步微点进阶强化训练 三角函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

强化练20三角函数三兄弟 一､单选择题 （24-25高一上·四川绵阳·阶段练习） 1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解. 【详解】由题意，，解得， 所以， 故选：D 2．当为钝角时，（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据为钝角，判断的符号，求解. 【详解】因为为钝角，所以， 故. 故选：C. 3． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：（1）若，则， ∴“”是“”的充分条件； （2）若，则，得不出， ∴“”不是“”的必要条件， ∴“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题. （24-25高一上·全国·课后作业） 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解. 【详解】易知， 故. 故选：B （24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习） 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 6．对于角，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用同角三角函数的关系可得，即可得解. 【详解】， ， 故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于中档题. （23-24高一上·江苏南京·期末） 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得或，再将化为，代入的值即可得答案. 【详解】因为，所以， 则， 所以，即， 解得或. 又，将或代入， 均得到. 故选：C. 8．在三角形中，，，以点为圆心、长为半径作圆，交三角形斜边于点，其中所有角度的大小用弧度制表示，则下列结论正确的个数为（    ） （1）；                （2）； （3）；            （4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据当时，，结合对数函数、指数函数的性质以及不等式的性质，判断出（1）（2）（3）（4）的正误，得到答案. 【详解】根据题意，可知为锐角，满足， 所以， 所以有， 故（1）错误，（2）正确； 因为当时，有， 所以，所以（4）错误； 因为当时，有，且， ，所以（3）正确； 即错误的有（1）（4）两个， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有三角函数的有关性质，指数函数和对数函数的性质，以及不等式的性质，属于较难题目. 二､多选择题 （24-25高一上·广东东莞·期中） 9．下列说法，正确的是（   ） A． B．若角与角的终边在同一条直线上，则 C．若角的终边经过点，则 D．若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用平方差公式即同角的平方关系计算可判断A；角与角的终边可能重合可判断B；由已知可求得，可得，代入求值可判断C；设扇形的半径为，可求得，由扇形的面积可求面积判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，此时，故B错误； 对于C，因为角的终边经过点，所以且， 所以，故C正确； 对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为， 所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确. 故选：ACD. （24-25高一上·全国·课后作业） 10．(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据对数函数的图象求出定点的坐标，再根据三角函数的定义求出和的值即可求解. 【详解】因为函数的图象经过定点， 所以或， 当点在角的终边上时，，， 此时，B正确； 当点在角的终边上时，，， 此时，D正确； 故选：BD （24-25高一上·吉林长春·阶段练习） 11．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 三､填空题： 12．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ . 【答案】－1 【分析】通过，平方后求出的值，然后对二次的齐次式进行弦化切，得到关于的二次方程进行求解． 【详解】解：， ，所以 ，. 故答案为：. 13．设、是非零实数，，若，则 【答案】 【分析】由已知化简可得，，代入已知式子可得，即可求解. 【详解】 化简得， 即， ∴， ∴. 故答案为: 【点睛】本题考查三角指数幂的运算，合理利用已知条件，以及平方关系是解题的关键，属于较难题. 14．已知函数在上为减函数，命题为假命题，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据给出的函数得到，，进而得到，然后利用放缩法验证不符合题意，进而得到答案. 【详解】因为函数在上为减函数，且， 所以，， 即，， 所以， 所以，即时，一定满足题意， 此时由知，的最大值为2； 下验证不符合题意， 如图：在直角坐标系中作出单位圆，，的终边与单位圆交于P， 的正弦线为有向线段MP，则， 因为， ，又. 所以，即． 所以， 即时原命题为真命题，不符合. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的综合问题.三角函数问题要善用数形结合的方法，通过已知条件的转化进而求解答案. ． 四､解答题. 15．已知，计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用商数关系，由弦化切来求结果. 【详解】（1）； （2）. 16．已知，其中为第二象限角. (1)求cos﹣sin的值； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由已知条件可得，利用同角三角函数基本关系式可得，结合在第二象限，解得cos的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解. （2）利用同角三角函数基本关系式可求tan的值，进而即可求解. 【详解】（1）解：由已知条件可得，化简可得，代入sin2α＋cos2α＝1，得， 所以或， 又在第二象限，故cos＜0，所以， 所以， 所以. （2）解：由（1）得， 所以. 所以. 17．（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（1）证明见解析 【分析】（1）（2）利用平方差公式及平方关系、特殊三角函数值求值，并确定三者关系； （3）应用平方差公式及平方关系证明即可. 【详解】（1）； （2）； （3），得证. 18．已知，． (1)若，求a的值； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由即可列方程求出a的值； (2)化简f(x)解析式，利用进行换元，将问题转化为在内有且只有一个零点，在上无零点进行讨论. 【详解】（1）由得， 即， ， 解得， ∵，∴； （2）， 令， 则当时，，， ， 在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，在上无零点. ∵a＞1，在内为增函数. ①若在内有且只有一个零点，内无零点， 故只需，解得； ②若为的零点，内无零点， 则，得， 经检验，符合题意． 综上，实数a的取值范围是． （23-24高一下·上海徐汇·期中） 19．如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一､单选择题 （24-25高一上·四川绵阳·阶段练习） 1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．当为钝角时，（    ） A．1 B．0 C．2 D． 3． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （24-25高一上·全国·课后作业） 4．若，则（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习） 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．对于角，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·江苏南京·期末） 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．在三角形中，，，以点为圆心、长为半径作圆，交三角形斜边于点，其中所有角度的大小用弧度制表示，则下列结论正确的个数为（    ） （1）；                （2）； （3）；            （4）. A．1 B．2 C．3 D．4 二､多选择题 （24-25高一上·广东东莞·期中） 9．下列说法，正确的是（   ） A． B．若角与角的终边在同一条直线上，则 C．若角的终边经过点，则 D．若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 （24-25高一上·全国·课后作业） 10．(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·吉林长春·阶段练习） 11．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 三､填空题： 12．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ . 13．设、是非零实数，，若，则 14．已知函数在上为减函数，命题为假命题，则的最大值为 ． 四､解答题. 15．已知，计算： (1)； (2). 16．已知，其中为第二象限角. (1)求cos﹣sin的值； (2)求的值. 17．（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 18．已知，． (1)若，求a的值； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围． （23-24高一下·上海徐汇·期中） 19．如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$