同步微点进阶强化训练19 函数在生活中的应用（二）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

强化练19    生活中的函数应用（二） 一、单选择题 1．某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 3．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． （2024·陕西安康·模拟预测） 4．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（    ）参考数据：． A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍 （2024·全国·模拟预测） 6．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 7．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 二、多选择题 9．（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，） A．6 B．9 C．8 D．7 10．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 11．甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型： 其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则甲比赛胜利 D．若，则甲比赛胜利 三、填空题： 12．爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为 . 13．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为 天．（结果保留一位小数．参考数据：） 14．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题. 15．科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 16．火箭的起飞质量是箭体（包括搭载的飞行器）的质量（吨）和燃料质量（吨）之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度关于燃料质量（吨）的函数关系式为（其中）.当燃料质量为吨时，该火箭的最大速度为. (1)求该火箭的最大速度与燃料质量之间的函数关系式； (2)已知该火箭的起飞质量是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到？（结果保留一位有效数字） 17．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 18．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时p的比率减少．现有驾驶员甲乙两人喝了一定量的酒后，测试他们血液中的酒精含量均上升到了．（运算过程保留4位小数，参考数据：，．．，） (1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，则驾驶员甲至少要经过多少个小时才能合法驾驶？（最后结果取整数） (2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合（1）的计算，从数学角度给驾驶员乙简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议； (3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶．请你帮乙估算一下：他停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围．（最后结果保留两位小数） （23-24高一上·湖北·期末） 19．随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练19    生活中的函数应用（二） 一、单选择题 1．某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再确定其图象即可. 【详解】依题意，，则，即， 显然选项ABC不符合题意，D符合. 故选：D 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 3．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给关系式，求出，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为时，可得， 即， 因为，所以近似计算可得， 故选：B （2024·陕西安康·模拟预测） 4．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得为指数型函数，即可判断. 【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍， 根据时间以年为单位，以及，得. 故选：C． 5．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（    ）参考数据：． A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍 【答案】C 【分析】按照题中所给公式分别求出当时和当时的最大信息传递率即可求出答案. 【详解】当时，最大信息传递率 当时，最大信息传递率 . 故选：C. （2024·全国·模拟预测） 6．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 7．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由，得 因为， 所以， 即， 解得， 所以 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 二、多选择题 9．（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，） A．6 B．9 C．8 D．7 【答案】BC 【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得. 【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ， 故选BC． 【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 【答案】BD 【分析】由，求出函数模型，判断选项A、B； 对于C、D：直接由得到的函数模型代入判断即可. 【详解】当时，代入得：，代入得：. 故选择函数模型②.A错误；B正确. 对于C：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误； 对于D：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确. 故选：BD 11．甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型： 其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则甲比赛胜利 D．若，则甲比赛胜利 【答案】ABD 【分析】计算，A正确，确定，化简得到B正确，甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，计算得到，C错误D正确，得到答案. 【详解】对选项A：若且，则， 所以，由可得，正确； 对选项B：当时根据A中的结论可知，所以乙方实力先为0， 即，化简可得， 即，两边同时取对数可得， 即，即，正确； 对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可， 设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为， 即，可得， 同理可得，即，解得， 又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利，错误； 对选项D：根据C知正确； 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用函数的性质比较函数值大小，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用作差法比较函数值的大小关系是解题的关键. 三、填空题： 12．爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为 . 【答案】25% 【分析】由题可得，然后根据关系式即得. 【详解】由题，得当时，； 当时，，即， 解得， 所以； 所以当时，， 即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%. 故答案为：25%. 13．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为 天．（结果保留一位小数．参考数据：） 【答案】 【分析】根据已知数据可求得，设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果． 【详解】解：，，，，解得：． 设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为， 则（天． 故答案为：． 14．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为， 对于①，，，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题. 15．科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析 (2)万元 【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可； （2）由，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数在上单调递增， 且当时， 因为 而所以当时恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. （2）由得 所以 所以公司的投资收益至少为万元. 16．火箭的起飞质量是箭体（包括搭载的飞行器）的质量（吨）和燃料质量（吨）之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度关于燃料质量（吨）的函数关系式为（其中）.当燃料质量为吨时，该火箭的最大速度为. (1)求该火箭的最大速度与燃料质量之间的函数关系式； (2)已知该火箭的起飞质量是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到？（结果保留一位有效数字） 【答案】(1) (2)303.3吨 【分析】（1）根据待定系数法即可求得，即可求解； （2）根据题意，利用解析式即对数函数知识即可求解. 【详解】（1）由题意得， 即， 即， 化简得，所以，解得， 所以． （2）由已知得，则， 又，则，解得． 故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到. 17．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，； (2)六月份. 【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式； （2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案. 【详解】（1）函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大， 因此选择模型符合要求． 根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为，，； （2）当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是， 由，得， ∴， ∵，∴， 即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 18．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时p的比率减少．现有驾驶员甲乙两人喝了一定量的酒后，测试他们血液中的酒精含量均上升到了．（运算过程保留4位小数，参考数据：，．．，） (1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，则驾驶员甲至少要经过多少个小时才能合法驾驶？（最后结果取整数） (2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合（1）的计算，从数学角度给驾驶员乙简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议； (3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶．请你帮乙估算一下：他停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围．（最后结果保留两位小数） 【答案】(1)驾驶员甲至少要经过个小时才能合法驾驶 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得到，利用对数运算法则与换底公式运算即可得解； （2）根据（1）中计算结果，给予驾驶员乙合理的建议即可； （3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，根据题意得到关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）根据题意，驾驶员甲停止喝酒后，经过t小时后，体内的酒精含量为， 只需，即，所以， 可得， 取整数为时，满足题意. 所以驾驶员甲至少要经过个小时才能合法驾驶. （2）因为驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车， 说明驾驶员乙血液中的酒精含量每小时下降比率比驾驶员甲小， 所以驾驶员乙在停止喝酒5小时后其血液中的酒精含量大于国家有关规定的含量， 故此，建议驾驶员乙在停止饮酒后的若干个小时进行测试其血液中的酒精含量，从而确定自己停止饮酒后需要经过多少小时，才能合法驾驶. （3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为， 则经过小时后，驾驶员乙体内的酒精含量为， 根据题意可知，驾驶员乙在停止喝酒6小时后其血液中的酒精含量仍不达标，在7小时后其血液中的酒精含量达标， 所以， 对于，即，则，故； 对于，即，则，故； 综上：， 所以驾驶员乙停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围为. （23-24高一上·湖北·期末） 19．随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】(1)选择函数模型①， (2)需要，最少用时为小时. 【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值. 【详解】（1）与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①， 由题意有：解得： 所以. （2）设耗电量为，则， 任取， ， 由，，，， 则有，即， 所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地. 又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地， 则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时. 【点睛】方法点睛： 函数模型的选择有： 一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式； 二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$