同步微点进阶强化训练 函数与方程（二）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

微点17    函数与方程（二） 一、单选择题 （22-23高一上·河南商丘·阶段练习） 1．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·四川泸州·期中） 2．已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·江西赣州·期末） 4．函数图象上总存在两点关于直线对称（其中为自然对数的底数），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 5．函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 （24-25高一上·重庆·阶段练习） 6．定义，设，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·山西吕梁·期末） 8．已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的取值范围为 C．当时， D．当时，的取值范围为 二、多选择题 （23-24高一上·广东江门·阶段练习） 9．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 （23-24高一上·湖北武汉·期末） 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题： （23-24高一上·北京·阶段练习） 12．已知函数有唯一零点，则实数的值是 . （24-25高一上·浙江杭州·期中） 13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 ․ （23-24高一上·江西萍乡·期末） 14．记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题. （24-25高一上·广东江门·阶段练习） 15．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 16．关于的方程的两个实根，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． （23-24高一上·重庆·期末） 17．已知函数. (1)请用单调性的定义证明函数在时为单调递增函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. （23-24高一上·广西贺州·期末） 18．设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． （23-24高一上·江苏泰州·期中） 19．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微点17    函数与方程（二） 一、单选择题 （22-23高一上·河南商丘·阶段练习） 1．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法转化得在上有解，然后参数分离解决即可. 【详解】由题知，在区间上有零点， 令， 所以在上有解， 所以，在上有解， 因为，根据满足对勾函数特点，可作下图 由图知在上单调递增， 所以 的最小值为； 的最大值为； 所以实数的取值范围是 故选：C （24-25高一上·四川泸州·期中） 2．已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 3．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的根即可求解和时的根，由不等式即可求解. 【详解】当时，则，此时无零点，符合题意， 当时，令，则，故或,解得或， 综上可知在区间上无零点，则， 故选：D （23-24高一上·江西赣州·期末） 4．函数图象上总存在两点关于直线对称（其中为自然对数的底数），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题可转化为的图象与在上是有交点的问题，据此构造关于的不等式即可． 【详解】由于的图象关于对称的图象为（）， 故要使函数的图象上存在两点关于直线对称， 只需的图象关于的对称图象与在上有交点即可， 作出它们的图象如右：要使图象满足上述情况，只需即可， 即． 故选：C． （2024高三·全国·专题练习） 5．函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】B 【分析】要求对称点的个数，只需要作出函数，关于原点对称的图象，看它与的交点个数，数形结合即可求解. 【详解】作出函数的图象如图所示， 再作出，关于原点对称的图象，记为曲线， 由图可知：发现，与曲线有且只有两个不同的交点， 所以满足条件的对称点有两对． 故选：B （24-25高一上·重庆·阶段练习） 6．定义，设，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，易得，进而分或，两种情况讨论求解即可. 【详解】令，解得， 令，解得或. 由题意得，， 由，即， 令，则. ①当或时，，解得， 此时，若或，则，解得； 若，则，无解. ②当时，，解得或， 当时，， 若或，则，解得； 若，则，解得或； 当时，， 若或，则，解得（舍去）； 若，则，解得或（舍去）. 综上所述，或或或或. 故选：C. 7．已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． （23-24高二下·山西吕梁·期末） 8．已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的取值范围为 C．当时， D．当时，的取值范围为 【答案】C 【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项. 【详解】令，则，， A.当时，，，由有解，有4解，故，A错； B.当时，则方程、各有一解， 当时，，当且仅当时，等号成立， 由图可得，解得，B错； C.当时，如下图所示： 由图象可知，点、关于直线对称，则， 由图可知，，，由可得，所以，， 则，因此，，C对； D.当时，有两种情况：或， 从而可得的范围为，D错. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选择题 （23-24高一上·广东江门·阶段练习） 9．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 10．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案. 【详解】函数的图象，如图所示： 由题意知，直线与的图象有2个交点． 当直线过点时，， 当直线过点时，． 结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点， 如图所示： 又当直线与曲线相切在第一象限时， 直线与的图象也有2个交点，如图所示： ，化简可得，由，得， 又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合. 综上，实数a的取值范围是. 故选：BCD． （23-24高一上·湖北武汉·期末） 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得方程最多有两个解，一元二次方程最多有两个根，所以若要满足题意，则一元二次方程在时，有两个不同的根，由此即可列出不等式组求解. 【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和直线，如图： 当时，方程无解， 当或时，方程有唯一解， 当时，方程有两个解， 而一元二次方程最多有两个根， 由题意若关于的方程有4个不同的实根， 则当且仅当，一元二次方程在时，有两个不同的根， 令， 所以，解不等式组得或， 对比选项可知实数可能的取值有. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：通过数形结合得方程的根的情况，进一步将原问题转换为一元二次方程根的分布问题即可列出不等式组求解. 三、填空题： （23-24高一上·北京·阶段练习） 12．已知函数有唯一零点，则实数的值是 . 【答案】2 【分析】利用换元法把原函数转化为一个偶函数，因为偶函数图象的对称性，函数只有一个零点，必有，可求的值. 【详解】设，则原函数可化为：， 因为，所以为定义在上的偶函数. 原函数只有唯一零点，转化为有唯一零点，又的图象关于轴对称， 所以只有. 故答案为： （24-25高一上·浙江杭州·期中） 13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 ․ 【答案】 【分析】由方程可得或，将方程有5个不等的实数根等价于与的图象与直线和共有五个交点，再作出的图象，数形结合求出的范围. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 函数的图象如下：    方程化为，解得或， 方程有5个不等的实数根， 等价于与的图象与直线和共有五个交点，而， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. （23-24高一上·江西萍乡·期末） 14．记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过数形结合首先得，进一步若要满足题目条件，只需，由此即可得解. 【详解】如图所示：    若，则函数的图象与函数的图象只有1个交点， 即函数恰有1个零点，不符合题意； 如图所示：    若函数恰有2个零点，且， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点， 显然当时，函数的图象与函数的图象有1个交点， 只需保证当时，函数的图象与函数的图象有1个交点， 则，解不等式组得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先得到，进一步通过画图，列出满足题意的不等式组即可顺利得解. 四、解答题. （24-25高一上·广东江门·阶段练习） 15．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在符合条件的k的值，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，解不等式即得参数范围； （2）先由韦达定理以及题设条件，求得的值，再结合（1）的范围进行检验，即得结论. 【详解】（1）∵方程有两个不等的实数根， 由 ，解得 ，    的取值范围是 （2）设方程的两根分别为， 由根与系数的关系有：， 由 ，可得，解得， 由（1）知，时，，原方程无实根， 故不存在符合条件的k值. 16．关于的方程的两个实根，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次函数零点与根的分布即可求解. 【详解】（1）令，开口向上，对称轴为， 由，，则，解得， 所以的取值范围为. （2）由，则，解得， 所以的取值范围为. （23-24高一上·重庆·期末） 17．已知函数. (1)请用单调性的定义证明函数在时为单调递增函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明函数单调性的定义法即可证明结果； （2）根据条件，能过换元得到，其中，分离常量得，再利用双勾函数的单调性即可求出结果. 【详解】（1）任取，且， 则， 又，且，所以，， 得到，即，所以函数在时为单调递增函数. （2）因为，又， 得到， 令，易知在区间上单调递增，所以， 得到，又，故， 令，任取且， 则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递减， 任取且，则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递增， 所以，当时，， 所以. （23-24高一上·广西贺州·期末） 18．设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. （23-24高一上·江苏泰州·期中） 19．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 【答案】(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数” (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）（2）根据所给定义判断即可； （3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）对于，则， 又函数在定义域上单调递增， 所以不存在使得，即不是“弱偶函数”， 若存在使得，即， 即，又，当且仅当，即时取等号， 所以方程无解，故不存在使得， 即不是“弱奇函数”， 综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”. （2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”. （3）由在上恒成立， 转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，， 即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$