同步微点进阶强化训练18 抽象函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

强化练18    抽象函数 一、单选择题 1． 偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则函数在区间[－a,a]内零点的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【详解】因为偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0,所以f(x)在上各有一个零点，且零点非0. （2024高三·全国·专题练习） 2．若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由确定周期，即可求解. 【详解】因为，所以， 即函数的周期为4，故. 因为函数为偶函数，所以. 当时，，又，所以. 故选：D. （2024高三·全国·专题练习） 3．已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】通过迭代可得周期，利用周期性，结合已知求解即可. 【详解】因为，所以，得 所以是以4为周期的函数， 又，所以， 又当时，， 所以． 故选：C． （2024高三·全国·专题练习） 4．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据函数与的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期得，，再由为奇函数即可得解. 【详解】由题意得. 又因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即的周期为4. 所以. 又因为，所以. 故选：C. （24-25高一上·黑龙江鸡西·期中） 5．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性. 【详解】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键. （24-25高一上·上海·阶段练习） 6．存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件的定义判断即可. 【详解】对于命题在上单调递减，且恒成立， 当时，此时， 又因为在上单调递减，所以， 又因为恒成立，所以， 所以，所以命题⇒命题， 对于命题在上单调递增，且存在使得， 当时，此时，， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以命题⇒命题， 所以、都是的充分条件， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握函数单调性的定义，找到相应的值，从而得解. （24-25高一上·浙江温州·期中） 7．已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期. 【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，； 由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称； 结合条件关于直线对称，， 可以得出. 对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误； 对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确； 对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误； 对于D选项，，D选项错误. 故选：B （24-25高一上·江苏连云港·期中） 8．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 二、多选择题 （24-25高一上·全国·课后作业） 9．设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 【答案】AC 【分析】通过奇函数得到两个等量关系，再通过对自变量进行取值后化简得到，判断A选项；根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断B,C选项；结合函数周期，通过化简知道函数的奇偶性，判断D选项. 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， 所以， ∴，A选项正确； 由为奇函数可知关于点对称，由为奇函数， 可知关于点对称，B错误，C正确； 因为是奇函数，D选项错误. 故选：AC. 10．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（    ） A．当时， B．任意， C．存在非零实数，使得任意， D．存在非零实数，使得任意， 【答案】ABD 【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确. 【详解】对于A，令，则，即， 又，； 令得：，，，， 则由可知：当时，，A正确； 对于B，令，则，即， ， 由A的推导过程知：，，B正确； 对于C，为上的增函数， 当时，，则；当时，，则， 不存在非零实数，使得任意，，C错误； 对于D，当时，； 由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心； 当时，为上的增函数，，，， ； 由图象对称性可知：此时对任意，，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质. （24-25高一上·浙江杭州·期中） 11．定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据赋值可以求得，令，可得，即得奇函数，正确；赋值，可得正确；根据单调性定义，判断在为增函数，可得正确；再利用赋值和函数单调性确定错误. 【详解】对于选项，令，则， 令，，则对恒成立， 则函数为奇函数，故正确； 对于选项，令，， 即，故正确； 对于选项，，设，则， ，则 则，则， 即函数在为增函数，故正确； 对于选项，，因为为增函数，则， 则，故错误. 故选：. 【点睛】抽象函数问题解决策略： 赋值法求函数值或者判断不等关系； 抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造，比较其和的大小（或者构造，比较其和的大小），进而确定单调性. 三、填空题： （24-25高一上·上海·阶段练习） 12．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. （24-25高一上·全国·课后作业） 13．已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ． 【答案】②③（或②④） 【分析】根据函数的性质分别讨论当①②，①③，①④，②③，②④，③④为真命题时，其他条件是否符合，即可得结论. 【详解】若①②为真，则函数为，此时也满足③④，故不符合题意； 若①③为真，则，则， 则关于对称，④为真，不符合题意； 若①④为真，则， 则，则，③为真，不符合题意； 若②③为真，则，则， 则关于对称，④为假，①为假,符合题意； 若②④为真，则，， 则，③为假，①为假符合题意； 若③④为真，则由可得，又， 所以，则是奇函数，①为真，不符合题意. 综上，正确的组合为②③或②④． 故答案为：②③（或②④）. （24-25高一上·四川泸州·期中） 14．已知函数的定义域为，，且．若关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先通过赋值法求函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解．参变分离转化为求函数的最值问题. 【详解】令，则． 令，则，则． 由在上有解，得，即在上有解． 即存在，，即，函数在上单调递减， 当时，取得最小值，则. 故答案为： 四、解答题. （24-25高一上·全国·课后作业） 15．已知定义在上的函数满足． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）根据条件结合奇函数的定义证明； （2）利用条件并结合（1）的结论即得结果. 【详解】（1）由于，故，从而，故是奇函数． （2）我们有，故. （24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习） 16．是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）令，即可求出，通过，可求出； （2）任取，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. （24-25高一上·江西景德镇·期中） 17．设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 【答案】(1), (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，得，令，得，从而得到，再令，确定出的范围，从而得到； （2）令，结合，可得为偶函数； （3），得周期为2，再分别令，，可得，，从而得到，结合周期性，得到答案. 【详解】（1）由于不恒为0，故存在，使， 令，则，所以， 令，由，由 令，得，所以得到， 又令，， 因为当时，，所以， 所以，，故； （2）定义域为, 令，得， 因为，所以，所以为偶函数； （3）由，取，得， 又为偶函数，则，即是以2为周期的周期函数； 令，得，即， 再令，得，即. 而，解得，， 由得，， 所以， 又由于是以2为周期的周期函数， 所以 【点睛】关键点点睛：求抽象函数的值，判断抽象函数的奇偶性和周期性，利用赋值法求抽象函数的函数值是一种常用的方法. 18．设定义域为的函数对于任意满足. (1)证明：为奇函数； (2)设，若有三个零点，且存在使在单调递增. （i）证明：； （ii）当时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先利用赋值法得到，再得到，由此证得结论； （2）（i）利用反证法，结合（1）中结论推得至多只有一个零点，矛盾即可； （ii）利用反证法，先证得，再结合零点存在定理证得在上必为即可. 【详解】（1）因为对于任意满足， 所以令，得，故， 再令，则有，即， 又的定义域为， 所以为奇函数； （2）（i）反证，假设， 因为在单调递增，所以在单调递增， 因为，所以也在单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 则由零点存在定理可知方程至多只有一个根， 所以至多只有一个零点，矛盾，假设不成立，故； （ii）先用反证法证，假设，则有， 因为在单调递增， 所以，矛盾，假设不成立，故， 又在单调递增，，所以， 又，所以由零点存在定理可知在上存在唯一零点， 由于，故， 假设，则有，又，故， 所以，与矛盾，故， 综上：，故. （23-24高一上·广东深圳·期末） 19．在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有 (1)证明：在上单调递增； (2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围； (3)若，求证：对任意，都有． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，结合已知条件和函数单调性的定义推导即可； （2）根据题意结合恒成立问题分析求解即可； （3）令可得，用累乘法即可得对任意正整数与正数，都有，进而可得和，结合的范围及函数的单调性即可证明. 【详解】（1）任取，且， 则， 由，可知，则， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）当时，， 注意到，则，，可得， 即，可得； 又因为，均有， 即， 整理得， 即， 注意到，则，即， 可得，可得，即； 综上所述：实数的取值范围为. （3）由题意知，对任意， 且，均有， 令，可得，即， 故对任意正整数与正数，都有， 所以对任意正整数与正数，都有， 即对任意正整数与正数，都有， 令，则， 令，则， 对任意，可得， 由（1）可知：在上单调递增， 则，， 所以. 【点睛】关键点睛：1.根据题意证明对任意正整数与正数，都有； 2.根据1.中结论结合单调性证明，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练18    抽象函数 一、单选择题 1． 偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则函数在区间[－a,a]内零点的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 （2024高三·全国·专题练习） 2．若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （2024高三·全国·专题练习） 3．已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 （2024高三·全国·专题练习） 4．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 （24-25高一上·黑龙江鸡西·期中） 5．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 （24-25高一上·上海·阶段练习） 6．存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 （24-25高一上·浙江温州·期中） 7．已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． （24-25高一上·江苏连云港·期中） 8．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 （24-25高一上·全国·课后作业） 9．设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 10．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（    ） A．当时， B．任意， C．存在非零实数，使得任意， D．存在非零实数，使得任意， （24-25高一上·浙江杭州·期中） 11．定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．在上单调递增 三、填空题： （24-25高一上·上海·阶段练习） 12．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . （24-25高一上·全国·课后作业） 13．已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ． （24-25高一上·四川泸州·期中） 14．已知函数的定义域为，，且．若关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 四、解答题. （24-25高一上·全国·课后作业） 15．已知定义在上的函数满足． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求． （24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习） 16．是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． （24-25高一上·江西景德镇·期中） 17．设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 18．设定义域为的函数对于任意满足. (1)证明：为奇函数； (2)设，若有三个零点，且存在使在单调递增. （i）证明：； （ii）当时，证明：. （23-24高一上·广东深圳·期末） 19．在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有 (1)证明：在上单调递增； (2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围； (3)若，求证：对任意，都有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$