1.4 充分条件与必要条件（知识点解读+五个题型分练+复习巩固练习）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四节 充分条件与必要条件 思维导图 知识点解读 知识点1:命题的概念及结构 （1）命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题. 判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. （2） 命题的表示:命题表示为“若,则”时,是命题的条件,是命题的结论. 知识点2:充分条件条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件定义 ①一般地,“若,则”为真命题,是指由条件通过推理可以得出结论.这时,我们就说,由可推出,记作,并且说,是的充分条件,是的必要条件. ②如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作p⇏q.这时,我们就说,不是的充分条件,不是的必要条件. （2）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了,而是的必要条件也反映了,所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而是的充分条件只反映了,与能否推出没有任何关系. 知识点3:充要条件 （1）充要条件的定义:“若,则”和其逆命题“若,则”均为真命题,即既有,又有,就记作.此时,是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称充要条件. （2）如果且q⇏p,则称是的充分不必要条件. （3）如果p⇏q且,则称是的必要不充分条件. （4）如果p⇏q且q⇏p,则称是的既不充分也不必要条件. 知识点4:充分必要条件与集合的关系 若条件,以集合的形式出现,即,, 则由可得,是的充分条件, ①若A⊊B,则是的充分不必要条件; ②若,则是的必要条件; ③若B⊊A,则是的必要不充分条件; ④若,则是的充要条件; ⑤若A⊊B且B⊊A,则是的既不充分也不必要条件. 充分必要条件判断精髓: 小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两个集合范围一样,就是充要条件的关系. 题型分练 题型一、充分、必要条件的判断 1.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 3.下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 4．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 题型二、充要条件的判断 1.已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 4.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 5.（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 6.若集合，试写出的一个必要不充分条件 . 7.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”填空 （1）且是的 . （2）是“”的 . 8.（1）若 ， ，则是的 条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的 条件. 题型三、根据充分、必要条件求参数 1.已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 4.方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 5.（多选）在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（    ） A．平行于，且等于 B．平行于，且不等于 C．平行于，且不平行于 D．平行于或平行于 6.已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 7.已知集合，集合 ． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 8.已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 题型四、充要条件的证明 1.已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 2.已知，求证：成立的充要条件是．提示： 3.已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 4．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 5．证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 6．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 题型五、充要条件的探索 1.已知，求成立的充要条件． 2.记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 3.求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 4.设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 巩固练习 1、 单选题 1.已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 3.已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 4.已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5.已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 6.关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 7.方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 8.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 11.“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 12.设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（    ） A． B． C． D． 13.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 14.集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、 填空题 15.已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 16.命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 17.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 18.有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 19.设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 20.已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 4、解答题 21.用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 22.用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 23.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 24.若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的一个充要条件； （2）A∪B＝R的一个必要不充分条件； （3）A∪B＝R的一个充分不必要条件. 25.求方程与有一个公共实数根的充要条件. 26.已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 27.已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 28. (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节 充分条件与必要条件 思维导图 知识点解读 知识点1:命题的概念及结构 （1）命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题. 判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. （2） 命题的表示:命题表示为“若,则”时,是命题的条件,是命题的结论. 知识点2:充分条件条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件定义 ①一般地,“若,则”为真命题,是指由条件通过推理可以得出结论.这时,我们就说,由可推出,记作,并且说,是的充分条件,是的必要条件. ②如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作p⇏q.这时,我们就说,不是的充分条件,不是的必要条件. （2）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了,而是的必要条件也反映了,所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而是的充分条件只反映了,与能否推出没有任何关系. 知识点3:充要条件 （1）充要条件的定义:“若,则”和其逆命题“若,则”均为真命题,即既有,又有,就记作.此时,是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称充要条件. （2）如果且q⇏p,则称是的充分不必要条件. （3）如果p⇏q且,则称是的必要不充分条件. （4）如果p⇏q且q⇏p,则称是的既不充分也不必要条件. 知识点4:充分必要条件与集合的关系 若条件,以集合的形式出现,即,, 则由可得,是的充分条件, ①若A⊊B,则是的充分不必要条件; ②若,则是的必要条件; ③若B⊊A,则是的必要不充分条件; ④若,则是的充要条件; ⑤若A⊊B且B⊊A,则是的既不充分也不必要条件. 充分必要条件判断精髓: 小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两个集合范围一样,就是充要条件的关系. 题型分练 题型一、充分、必要条件的判断 1.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 【分析】先根据条件得到他们之间的推导关系，再判定他们的逻辑关系. 【详解】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件. （4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件. （5）由于为无理数，但不全是无理数，可得， 所以 q不是p的必要条件. 2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 3.下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 【答案】(1)是充分条件 (2)是充分条件 (3)不是充分条件 (4)是充分条件 【分析】（1）根据充分条件的定义判断； （2）根据充分条件的定义判断； （3）根据充分条件的定义判断； （4）根据充分条件的定义判断. 【详解】（1）菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； （2）矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； （3）对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； （4）菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． 4．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 题型二、充要条件的判断 1.已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 2.“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 3.下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为是的真子集，即由能推出， 而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”． 故选：C． 4.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 5.（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 6.若集合，试写出的一个必要不充分条件 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意，结合充要条件与必要不充分条件，利用集合的交集，可得答案. 【详解】由，则， 所以的一个必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一）. 7.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”填空 （1）且是的 . （2）是“”的 . 【答案】 充分不必要条件 必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】（1），但时不能得出且，例如但其中，因此应填充分不必要条件， （2）或，故应填必要不充分条件． 故答案为：充分不必要条件；必要不充分条件． 8.（1）若 ， ，则是的 条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的 条件. 【答案】 必要不充分 充分不必要 【分析】利用充分必要条件的判断方法即可得解. 【详解】（1）当时，或，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. （2）当四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，即充分性成立； 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，四边形ABCD不一定是正方形，也有可能是菱形，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故答案为：（1）必要不充分；（2）充分不必要. 题型三、根据充分、必要条件求参数 1.已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 2.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【详解】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 3.集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 4.方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 5.（多选）在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（    ） A．平行于，且等于 B．平行于，且不等于 C．平行于，且不平行于 D．平行于或平行于 【答案】BC 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示，    当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确， 对于选项C，“平行于且不平行于” 可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示，    当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确， 对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC. 6.已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 7.已知集合，集合 ． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 8.已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求解二次不等式以及分式不等式解得集合，根据，分类讨论，即可列出不等式求得参数范围； （2）根据（1）中所求，结合是的充要条件，即可容易求得结果. 【详解】（1）解不等式，即，解得，则. 由于是的充分不必要条件，则A，又， ①当时，即当或时，，满足题意； ②当时，即当或时，， 因为A，则，解得， 又当，，不合乎题意.所以； ③当时，即当时，因为A，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是； （2）由于是的充要条件，则， 所以，和1是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 故. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题. （1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围； （2）由题意，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值. 题型四、充要条件的证明 1.已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 2.已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 3.已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 4．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明见解析 【分析】根据因式分解可得，即可由充要条件的定义求解. 【详解】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 5．证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 6．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 题型五、充要条件的探索 1.已知，求成立的充要条件． 【答案】 【分析】根据充要条件的定义分析求解即可 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 2.记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 【答案】(1)； (2)为所求的充要条件． 【分析】（1）等价于或，，M恰有3个元素，即得解； （2）先考虑必要性，得到；再考虑充分性，即得解. 【详解】（1）原方程等价于或， 所以或， 由于， 所以当时，M恰有3个元素，即． （2）必要性：由（1）知，两个方程或， 两个方程的三个根分别为， 若它们是直角三角形的三边，则， 解得． 充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形． 所以为所求的充要条件． 3.求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【答案】或 【分析】充要条件问题解决，第一步需要充分性，第二步必要性.二次函数有一个正根和一个负根，先判断二次函数与y轴交点，再判断开口是最便捷的思路. 【详解】当开口向上，，所以,当开口向下，，所以满足充要条件 故答案为：或. 4.设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 【答案】. 【分析】先根据题意得，再证明即可. 【详解】解:因为关于x的方程有一个根为， 所以代入得，下证明充要性. 充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 巩固练习 1、 单选题 1.已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考虑的等价命题，求得的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2.设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然 ，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则 ，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 3.已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 4.已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简集合，依题意，即可得到，解得即可. 【详解】因为， 又是的充分条件，所以， 因为或，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：A 5.已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 6.关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 7.方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 8.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 2、 多选题 9.下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 10.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 11.“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，“”是“”的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，“”是“”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，“”是“”的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”是“”的一个必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. 12.设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用韦恩图结合集合运算可判断ABD，举反例可判断C. 【详解】对于A，由韦恩图可知，当时，，故A错误； 对于B，由韦恩图可知，等价于，故B正确； 对于C，当时，取，，， 此时，，满足条件，但不成立，故C错误； 对于D，由韦恩图可知，等价于，故D正确. 故选：BD.    13.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 14.集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 3、 填空题 15.已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 【答案】 充分不必要 充要 【分析】根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】当，时，，满足充分性； 因为时，，或，，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件； 当，所以或，满足充分性； 当或时，，满足必要性， 所以“”是“或”的充要条件． 故答案为：充分不必要；充要． 16.命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 17.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 18.有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】①② 【分析】根据集合间关系及运算的定义分别判断即可. 【详解】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 19.设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 20.已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 4、解答题 21.用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】（1）在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件（如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直）. （2）“”是“”的充分条件，但不是必要条件（如，满足条件，但推不出）﹒ （3）“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. （4）“是一元二次方程的两个实数根”是“”的充分条件，但不是必要条件（如满足，但不满足的实数，不是一元二次方程的根）. 22.用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析. 【分析】利用必要条件的定义求解. 【详解】（1）解：是的必要条件； （2）四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件； （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等是两条直线平行的必要条件. 23.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 24.若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的一个充要条件； （2）A∪B＝R的一个必要不充分条件； （3）A∪B＝R的一个充分不必要条件. 【答案】（1）b≥－2；（2）b≥－3；（3）b≥－1. 【分析】先求得A∪B＝R的充要条件，然后根据充分不必要条件、必要不充分条件的定义求解. 【详解】集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}， （1）若A∪B＝R，则b≥－2， 故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. （2）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3. （3）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1. 【点睛】本题主要考查充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的定义，属于基础题. 25.求方程与有一个公共实数根的充要条件. 【答案】 【解析】先由两方程有一个公共实数根求出参数的范围，再证明充分性． 【详解】若方程与有一个公共实数根，设为， 则 由②得，代入①得，，解得，因此. 反过来，当时，，解得； ，解得或，两方程有公共实数根1. 所以两方程有一个公共实数根的充要条件为. 【点睛】本题考查由充要条件求参数取值范围，解题时先由结论求条件，这是必要性，然后还需要证明充分性． 26.已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 27.已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 28. (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$