1.5全称量词与存在量词 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五节 全称量词与存在量词 思维导图 知识点解读 知识点1:全称量词和存在量词 全称量词 一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示. 存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示. 知识点2:全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题 含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此,全称量词命题就是形如“对集合中的所有元素”的命题,可简记为“”. 存在量词命题 含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就是形如“存在集合中的元素 ”的命题,可简记为“”. 知识点3:全称与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素,验证成立; 若为假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立即可; （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中,至少能找到一个,使成立,则这个命题为真,否则为假. 知识点4:命题的否定 （1）命题的否定:对命题p加以否定,得到一个新的命题,记作“”,读作“非p”或p的否定. （2）全称量词命题的否定: 一般地,全称量词命题“”的否定是存在量词命题: . （3）存在量词命题的否定: 一般地,存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题: . （4）命题与命题的否定的真假判断: 一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.即:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定是假命题,反之亦然. 题型分练 题型一、全称与存在量词命题的识别 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 2.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 5.指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 题型二、全称与存在量词命题的真假 1.下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 2.（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 3.用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 6.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 题型三、全称与存在量词命题的否定 1.已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 2.命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3.（多选）已知命题p：，：命题q：，，则（   ） A．是， B．是真命题 C．p和都是假命题 D．和q都是真命题 4.命题“对任意一个实数，都有”的否定是 5.写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 6.写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 7.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 8.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 题型四、由全称（存在）量词命题求参 1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 3.已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4.已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（多选）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6.已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 7.已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 8.已知命题，命题 ，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 9.已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 10.已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 11.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 巩固练习 1、 单选题 1.下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 2.已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 3.已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 4.若“，”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D． 5.已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 6.命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7.若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 8.若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 9.下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B．命题“，”的否定是“，” C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 10.已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11.下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 3、 填空题 12.命题：“，”的否定是 ． 13.若命题为真命题，则的最大值为 . 14.若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 15.观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 4、解答题 16.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 17.写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 18.判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 19.已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 20.已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五节 全称量词与存在量词 思维导图 知识点解读 知识点1:全称量词和存在量词 全称量词 一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示. 存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示. 知识点2:全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题 含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此,全称量词命题就是形如“对集合中的所有元素”的命题,可简记为“”. 存在量词命题 含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就是形如“存在集合中的元素 ”的命题,可简记为“”. 知识点3:全称与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素,验证成立; 若为假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立即可; （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中,至少能找到一个,使成立,则这个命题为真,否则为假. 知识点4:命题的否定 （1）命题的否定:对命题p加以否定,得到一个新的命题,记作“”,读作“非p”或p的否定. （2）全称量词命题的否定: 一般地,全称量词命题“”的否定是存在量词命题: . （3）存在量词命题的否定: 一般地,存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题: . （4）命题与命题的否定的真假判断: 一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.即:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定是假命题,反之亦然. 题型分练 题型一、全称与存在量词命题的识别 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 2.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 5.指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)“所有”是全称量词；， (2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解 (3)“存在”是存在量词；，， (4)“存在”是存在量词；， 【分析】利用全称量词，存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义求解即可 【详解】（1）“所有”是全称量词； ，； （2）“所有”是全称量词； ，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词； ，，； （4）“存在”是存在量词； ，． 题型二、全称与存在量词命题的真假 1.下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【分析】根据全称命题的概念排除BD，然后举反例排除C，即可判断. 【详解】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称命题，排除选项BD； 因为是无理数，而 不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称命题且为真命题，符合题意． 故选：A 2.（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 【答案】AC 【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得，得解；对D，由，是3个连续的整数，所以是偶数，得解. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误； 对于C，任意，则，所以，故C正确； 对于D，因为，当时，是3个连续的整数， 至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误. 故选：AC. 3.用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析. 【分析】（1）用全称量词表示该命题，取可判断原命题的真假； （2）用特称量词表示该命题，利用完全平方公式可判断原命题的真假； （3）用特称量词表示该命题，取，可判断原命题的真假； （4）用全称量词表示该命题，根据有理数的性质可判断原命题的真假； （5）用全称量词表示该命题，取可判断原命题的真假； （6）利用全称量词和特称量词表示该原命题，取可判断原命题的真假. 【详解】（1）命题为：，假命题，当时，结论不成立； （2）命题为：，假命题， 对任意的，； （3）命题为：、，，真命题，如，，则； （4）命题为：，，真命题； （5）命题为：，，假命题，当时，命题不成立； （6）命题为：，，有，真命题，即满足． 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 6.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 题型三、全称与存在量词命题的否定 1.已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】已知命题，则为. 故选：B. 2.命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】“，”是存在量词命题， 其否定是全称量词命题， 即“，”. 故选：B. 3.（多选）已知命题p：，：命题q：，，则（   ） A．是， B．是真命题 C．p和都是假命题 D．和q都是真命题 【答案】BCD 【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题p，q的真假，即可求解 【详解】命题q：，，则是，，故A错误； 当时，，故命题p为假命题，则是真命题，故B正确； 是，，当时，， 故是假命题，q为真命题，故CD正确． 故选：BCD. 4.命题“对任意一个实数，都有”的否定是 【答案】存在实数，有或. 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案. 【详解】命题“对任意一个实数，都有”的否定是： 存在实数，有或. 故答案为：存在实数，有或. 5.写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【详解】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 6.写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【答案】(1)，，为假命题 (2)，，为假命题 (3)存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题 【分析】（1）根据特称量词命题的否定为全量词命题写出其否定，再判断其真假； （2）（3）根据全称量词命题的否定为特称量词命题写出其否定，再判断其真假； 【详解】（1）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为当 ，，即命题，，为假命题； （2）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为恒成立，所以不存在使得， 故命题，，为假命题； （3）命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题； 因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题. 7.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可. 【详解】（1）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题． （2）存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题． （3）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题． （4）全称量词命题． 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题. 8.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【答案】(1)，假 (2)，假 (3)任意直角三角形都是等腰三角形，假 (4)，假 (5)，假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假． 【详解】（1）全称命题的否定是特称命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题； （2）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题； （3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形， 即任意直角三角形都是等腰三角形，例如边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命题的否定是假命题； （4）全称命题的否定是特称命题， 的否定是：， 由于，因此，不可能为，因此原命题的否定为假命题； （5）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，由平方的定义知只有或时才有，因此原命题的否定是假命题． 题型四、由全称（存在）量词命题求参 1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 2.“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 3.已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 4.已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 5.（多选）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据存在量词命题为真命题求出的取值范围，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】若命题“，”为真命题，则， 因为，，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是BD选项. 故选：BD. 6.已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【详解】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 7.已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 8.已知命题，命题 ，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】通过均为真命题，求得的取值范围，再取补集即可. 【详解】若命题为真命题， 则，∴. 若命题 ，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 9.已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 10.已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）求出集合然后求其补集即可，求出集合的补集，再求与集合的交集即可. （2）由题意可得，讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）集合，或， 则或，，则 （2），为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 11.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 巩固练习 1、 单选题 1.下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 2.已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 3.已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题的否定为. 故选：A 4.若“，”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】由特称命题的否定求出结果即可； 【详解】由题意可得，， 因为，且， 所以，所以的取值可以是5， 故选：A. 5.已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【分析】代入具体数值可判断命题和的真假，即可得到和的真假. 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题为假命题，为真命题. 故选：B. 6.命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 7.若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由特称量词命题的真假性对分类讨论即可得解. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以实数a的范围为. 故选：C. 2、 多选题 8.若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用列举法表示集合，再结合集合交并运算判断AB；确定命题真假判断CD. 【详解】对于AB，，则，，A错误，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 9.下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B．命题“，”的否定是“，” C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【详解】对于A，是无理数，是有理数，故A错误；对于B，由全称量词命题与存在量词命题的定义知其正确；对于C，，可取，，不符合且，而且可以推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C错误；对于D，若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 10.已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 11.下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【分析】根据命题的否定的定义判断A，由充分必要条件的定义判断BD，由全称命题的真假判断C． 【详解】选项A，全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定是“”，A错误； 选项B，时，如，但不成立，不是必要条件，B错； 选项C，时，不成立，C正确； 选项D，有一正一负根，即， 反之，时，，有两个不等实根且，一正一负根，D正确． 故选：CD． 3、 填空题 12.命题：“，”的否定是 ． 【答案】， 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题：“，”的否定是， 故答案为：， 13.若命题为真命题，则的最大值为 . 【答案】9 【分析】由题意可得，进而结合二次函数的最值求解即可. 【详解】由题意，命题为真命题， 所以， 因为，所以当时，， 则，即， 所以的最大值为9. 14.若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令 ，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令 ， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 15.观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 【答案】对于任意的正整数n，必有成立 【详解】对于任意的正整数n，必有成立. 4、解答题 16.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在 ，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得 的实数x不存在，该命题是假命题． 17.写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)，方程没有实数根 (3)，，使方程的解不唯一或不存在 (4)存在被5整除的整数，末位不是0 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定. 【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在一个平行四边形，它的对边不都平行. （2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，方程没有实数根. （3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，，使方程的解不唯一或不存在。 （4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在被5整除的整数，末位不是0. 18.判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 【答案】（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x∈R，x2≥0. 【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行逐一求解即可. 【详解】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0. 19.已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 20.已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$