同步微点进阶讲义18 抽象函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点18   抽象函数 抽象函数是指没有给出函数解析式，只给出函数的部分性质或特征或运算法则的函数．以抽象函数为载体研究函数和函数图象的性质，对数形结合、一般与特殊、转化与化归等数学思想方法和数学抽象、逻辑思维、数学建模等关键能力有较高的要求.本专题从以下三个方面进行研究： 1、抽象函数与具体函数； 2、赋值法与抽象函数性质 3、抽象函数的综合应用． 首先大部分抽象函数由所给特征可联想与之相对应的基本初等函数．理解题意时以基本初等函数为特例，由一般到特殊启迪思考；解题时，再由特殊到一般，回归本质． 其次可以利用已知抽象函数的部分性质，以及抽象函数的运算法则，需观察运算法则，对自变量合理赋值，有时也需对运算法则适当变形． 最后涉及抽象函数的综合应用的题目通常较为抽象，构思新颖，综合性强，从多层次考查函数的图象与性质，需要灵活运用所学具体函数的图象与性质进行研究． 探究一　抽象函数与具体函数 【典例1】（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的、，.若对任意，有.则满足时实数的取值范围为（ ） A．    B．    C．         D． 【思路引导】由及题意确定函数单调性，巧设具体函数，解一元二次不等式. 【详细解析】法一、具体函数法 不妨设，则，满足题意， 又，即单调递减，可令， 则，解之得，故选A； 法二、赋值法 因为函数的定义域为，对任意的、，. 令，可得，所以，， 令，可得，所以，， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为. 故选：A. 【题后反思】大多数抽象函数都有相对应的基本初等函数，常见的抽象函数特征与其对应的基本初等函数如下表 抽象函数特征 基本初等函数 正比例函数 或 幂函数 或 指数函数（且） 或 对数函数（且） 【举一反三】 1．有如下两条性质：①；②当时，单调递减．下列函数中，同时满足性质①②的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性即可得出答案.. 【详解】对于选项A，B，D在上单调递增，不满足题意，所以只有选项C满足题意. 检验C，可知满足题意. 故选：C． 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详细解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【题后反思】解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 【举一反三】（24-25高一上·四川遂宁·期中） 2．已知为定义在上的偶函数，对于且，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合已知判断其单调性以及奇偶性，继而讨论x的正负，从而将转化为利用的单调性求解不等式. 【详解】设，则，由于，故， 即，令，则时，， 故在上单调递增， 又为定义在上的偶函数，则为上的奇函数， 且在上单调递增， 因为，所以，则， 当时，，则，不成立； 当时，即，即，则； 当时，即，即，则； 综上，的解集为， 故选：C 探究二　赋值法与抽象函数性质 【典例3】（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据题目条件得到，，当时，都有，，故，求出. 【详细解析】函数在上为非减函数，①；由③得， ，令，得， ， 又③，令，有， 令，有， ，，， ，， 又， ，， ，，， 当时，都有，， ， . 故选：C. 【题后反思】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【举一反三】 3．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】[方法一]：在中，令，则， 再令，得， ∴.又令，得，又∵，∴. 再令，得，∵，∴. ∴，故选A. [方法二]：由得，， 所以 .因为在中， 令，得，而是偶函数， 所以，∴.于是， 再在中，令，得， ∴，故选A. [方法三]： ， ， ， ， 0， ， ， ， 0. 故选：A. 【典例4】已知定义在上的函数对于任意，都满足，且，当时，． （1）求的值； （2）求证：在上单调递增． 【思路引导】利用赋值法及单调性的定义计算即可. 【详细解析】（1）令，则， 因为，所以，所以． （2）证明：当时，，由，， 得，所以对于任意实数，， 设且，则，， 因为， 所以函数在上单调递增． 【题后反思】赋值法是一种特殊的解题策略，是研究抽象函数的常用方法，适用于求函数值、判断函数奇偶性、证明函数单调性. 【举一反三】 4．已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)单调递减，理由见解析 【分析】（1）根据题意，利用可以任意取值的特点令,从而求出，再令，从而利用奇偶性的定义证明的奇偶性. （2）取，且，判断的大小关系，即可根据单调性的定义求出的单调性. 【详解】（1）令，则，解得， 令，则，则， 又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数． （2）在上单调递减，理由如下： ，设，令， 则， 即， 因为，所以，， 所以，所以， 因为时，，所以，故， 所以，所以在上单调递减． 探究三　抽象函数的综合应用 【典例5】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【思路引导】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详细解析】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 【题后反思】函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 【举一反三】（24-25高一上·上海·阶段练习） 5．定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式. 【详解】因为，恒有， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以，即是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又，所以， 对于不等式， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上，不等式的解集是. 故选：A 【典例6】已知函数的定义域为，都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3），，都有恒成立，求实数的取值范围． 【思路引导】赋值是研究抽象函数的常用方法，也是优先考虑的方法．多题设问的解答题一般是拾级而上的，即前面的设问为后面难题搭建解题脚手架，在思考第（3）问的解题思路时，需将前两问的解答作为条件整体思考． 【详细解析】（1）令，则，即， 令，，则， 又因为，所以． （2）设，且， 则， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递减． （3），，都有恒成立， 即， 所以，，恒成立， 令，，则， 所以，，恒成立， 由在上单调递减，所以，，恒成立， 即，使得成立，即． 令，，则即可． ①当时，在上单调递增，所以， 所以； ②当时，在上单调递减，所以，所以； ③当时，，即，在此情况下无解． 综上所述，实数的取值范围为． 【题后反思】此类问题需要对抽象函数方程赋值以求解具体函数值，赋代数式以证明函数的奇偶性或单调性，注意根据需要对所赋代数式进行恰当的变形．不等式结构较复杂时，要从整体的角度观察，考虑减元、换元、消元等，要掌握基本的换元和消元模型，比如式中有，时，对换元，将问题转化为二次函数问题，化繁为简．换元时，注意求解新元的取值范围． 【举一反三】 6．已知函数的定义域为，对于任意实数，，都有，当时，. （1）求的值； （2）证明：当时，. （3）证明：在上单调递减. （4）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）. 【分析】（1）令，，化简后可得的值. （2）设，由题设可得，从而得到，结合可得. （3）利用单调性的定义可证在上单调递减. （4）原不等式等价于，利用单调性和（1）中的结论可得对任意的恒成立，参变分离后可求的取值范围. 【详解】（1）令，，∴， ∵时，，∴，∴. （2）设，，则， ∴，∵，∴，即. （3）任取，且， 则 ， ∵，∴，∴， 又∵，∴，即， ∴，∴在上单调递减. （4），∴， 令,则，故在上恒成立， 所以在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当等号成立， 故即. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性、函数值的计算与函数值的范围的讨论，解函数不等式时，需利用单调性去掉对应法则，含参数的一元二次不等式的恒成立问题，可利用参变分离后求新函数的最值来处理，本题属于难题. （24-25高一上·上海·阶段练习） 7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. （24-25高二上·湖南永州·期中） 8．定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或，由，得，则，解得， 由，得或，则或，解得 或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 故选：D （2024高三·全国·专题练习） 9．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据已知求出的周期、可得答案. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，所以， 可得，所以的周期为4， 故，，又，所以， ，所以， 则. 故选：C. （24-25高一上·福建福州·期中） 10．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【详解】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． （24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习） 11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D. 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则，即， 所以函数为奇函数，故B错误； 任取，且，则，由题意可得， 所以， 则，则函数为上的减函数， 所以在区间上有最大值为，故C正确； 由，因为函数为上的减函数， 所以，即， 所以的解集为，故D正确. 故选：ACD. （24-25高一上·江西·阶段练习） 12．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】利用奇函数性质可得，再利用为偶函数可得B正确，结合对称中心以及对称轴可判断C正确，综合奇偶性和对称性可得的周期为8，计算可得D正确. 【详解】由是定义在上的奇函数可知，且； 又为偶函数，可得， 令，所以，即A错误； 由可知的图象关于直线对称，即B正确； 易知关于成中心对称，又关于直线对称， 所以的图象关于点中心对称，即C正确； 显然，即； 所以，即，所以， 可得是以8为周期的周期函数， 即，即D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：在求解函数奇偶性、对称性、周期性等综合性质问题时，往往根据题目给出的两个性质推出第三个性质，再进行综合运用即可得出结论. 13．已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用题中已知条件，结合函数单调性的定义，设，只要证明出，则可得出函数为增函数. （2）利用反证法，假设存在使得成立，从而推导出矛盾结果，即可反向证明题干不等式恒成立. 【详解】（1）由题意得，设，则． 所以，所以，即函数在上单调递增． （2）①若存在，使得成立，则，故， 与是上的增函数矛盾． 所以对任意，恒有成立． ②若存在，使得成立，则， 又在上单调递增，所以， 所以． 所以，与矛盾． 故对任意，恒有成立． 综合①②知，对任意，恒有成立． 【点睛】本题考查了函数单调性的证明，考生需熟练掌握利用定义证明函数单调性的方法，其次在证明不等式恒成立问题时，本题采用了反证法，假设存在满足已知条件的使得不等式不成立，如果能推导出明显矛盾的结论，即可证明原不等式恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点18   抽象函数 抽象函数是指没有给出函数解析式，只给出函数的部分性质或特征或运算法则的函数．以抽象函数为载体研究函数和函数图象的性质，对数形结合、一般与特殊、转化与化归等数学思想方法和数学抽象、逻辑思维、数学建模等关键能力有较高的要求.本专题从以下三个方面进行研究： 1、抽象函数与具体函数； 2、赋值法与抽象函数性质 3、抽象函数的综合应用． 首先大部分抽象函数由所给特征可联想与之相对应的基本初等函数．理解题意时以基本初等函数为特例，由一般到特殊启迪思考；解题时，再由特殊到一般，回归本质． 其次可以利用已知抽象函数的部分性质，以及抽象函数的运算法则，需观察运算法则，对自变量合理赋值，有时也需对运算法则适当变形． 最后涉及抽象函数的综合应用的题目通常较为抽象，构思新颖，综合性强，从多层次考查函数的图象与性质，需要灵活运用所学具体函数的图象与性质进行研究． 探究一　抽象函数与具体函数 【典例1】（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的、，.若对任意，有.则满足时实数的取值范围为（ ） A．    B．    C．         D． 【思路引导】由及题意确定函数单调性，巧设具体函数，解一元二次不等式. 【详细解析】法一、具体函数法 不妨设，则，满足题意， 又，即单调递减，可令， 则，解之得，故选A； 法二、赋值法 因为函数的定义域为，对任意的、，. 令，可得，所以，， 令，可得，所以，， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为. 故选：A. 【题后反思】大多数抽象函数都有相对应的基本初等函数，常见的抽象函数特征与其对应的基本初等函数如下表 抽象函数特征 基本初等函数 正比例函数 或 幂函数 或 指数函数（且） 或 对数函数（且） 【举一反三】 1．有如下两条性质：①；②当时，单调递减．下列函数中，同时满足性质①②的函数有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详细解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【题后反思】解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 【举一反三】（24-25高一上·四川遂宁·期中） 2．已知为定义在上的偶函数，对于且，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 探究二　赋值法与抽象函数性质 【典例3】（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据题目条件得到，，当时，都有，，故，求出. 【详细解析】函数在上为非减函数，①；由③得， ，令，得， ， 又③，令，有， 令，有， ，，， ，， 又， ，， ，，， 当时，都有，， ， . 故选：C. 【题后反思】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【举一反三】 3．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A．0 B． C．1 D． 【典例4】已知定义在上的函数对于任意，都满足，且，当时，． （1）求的值； （2）求证：在上单调递增． 【思路引导】利用赋值法及单调性的定义计算即可. 【详细解析】（1）令，则， 因为，所以，所以． （2）证明：当时，，由，， 得，所以对于任意实数，， 设且，则，， 因为， 所以函数在上单调递增． 【题后反思】赋值法是一种特殊的解题策略，是研究抽象函数的常用方法，适用于求函数值、判断函数奇偶性、证明函数单调性. 【举一反三】 4．已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 探究三　抽象函数的综合应用 【典例5】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【思路引导】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详细解析】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 【题后反思】函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 【举一反三】（24-25高一上·上海·阶段练习） 5．定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例6】已知函数的定义域为，都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3），，都有恒成立，求实数的取值范围． 【思路引导】赋值是研究抽象函数的常用方法，也是优先考虑的方法．多题设问的解答题一般是拾级而上的，即前面的设问为后面难题搭建解题脚手架，在思考第（3）问的解题思路时，需将前两问的解答作为条件整体思考． 【详细解析】（1）令，则，即， 令，，则， 又因为，所以． （2）设，且， 则， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递减． （3），，都有恒成立， 即， 所以，，恒成立， 令，，则， 所以，，恒成立， 由在上单调递减，所以，，恒成立， 即，使得成立，即． 令，，则即可． ①当时，在上单调递增，所以， 所以； ②当时，在上单调递减，所以，所以； ③当时，，即，在此情况下无解． 综上所述，实数的取值范围为． 【题后反思】此类问题需要对抽象函数方程赋值以求解具体函数值，赋代数式以证明函数的奇偶性或单调性，注意根据需要对所赋代数式进行恰当的变形．不等式结构较复杂时，要从整体的角度观察，考虑减元、换元、消元等，要掌握基本的换元和消元模型，比如式中有，时，对换元，将问题转化为二次函数问题，化繁为简．换元时，注意求解新元的取值范围． 【举一反三】 6．已知函数的定义域为，对于任意实数，，都有，当时，. （1）求的值； （2）证明：当时，. （3）证明：在上单调递减. （4）若对任意恒成立，求实数的取值范围. （24-25高一上·上海·阶段练习） 7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·湖南永州·期中） 8．定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 9．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． （24-25高一上·福建福州·期中） 10．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． （24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习） 11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 （24-25高一上·江西·阶段练习） 12．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 13．已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证： (1)函数在上单调递增； (2)，恒有成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$