4.2.1 同类项与合并同类项　课件　2025—2026学年人教版数学七年级上册

人 教 版 第四章 整式的加减 4.2.1 同类项与合并同类项 情境引入 【问题】 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，行驶的平均速度为96 km/h；另一段为海底隧道，行驶的平均速度为72 km/h．如果汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，香港口岸到西人工岛的全长(单位:km)是多少？ 72a+96×1.25a=72a+120a 【问1】如何计算72a+120a？ 让我们共同学习人教版第四章第二节： 《同类项与合并同类项》 2 人 教 版 第四章 整式的加减 4.2.1 同类项与合并同类项 学习目标 1.通过具体情景认识同类项，理解同类项的概念，并能在多项式中找出同类项。 2.通过类比数的运算来学习式的运算，掌握合并同类项的法则。 3.能准确合并同类项，感悟合并同类项的本质。 4.体会由由特殊（具体）到一般（抽象）的数学思想和数式通性. 4 探究新知 请把下面的单项式按类型用直线连接起来. -3a2b π 【问2】你是按什么标准连接的呢？ 2a2b 5a +2a -9 ＋7ab ①每个式子的项含有相同的字母； ②并且相同字母的指数也相同. 新知学习 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项.几个常数项也是同类项. 含有相同字母x, y 指数3 指数2 相同字母的指数相同 【例】 同类项满足条件： (1)两相同：①字母相同； ②相同字母指数相同. (2)两无关：①系数无关； ②字母顺序无关. 例1、下列各式中，是同类项的是（ ） A、5a2b与—5ab2 B、n与mn C、xy与—2yx D、2与a C 判断同类项的方法： 1、所含字母相同，相同字母的指数也相同. 2、与系数无关，与字母的排列顺序无关. 3、几个单独的数也是同类项. 巩固练习 巩固练习 答案详解： 选项 A对于5a2b与−5ab2： 这两项都含有字母a和b，但在5a2b中a的指数是2，b的指数是1；在−5ab2中a的指数是1，b的指数是2 ，相同字母的指数不同，所以它们不是同类项。 选项 B对于31n与mn： 31n中所含字母只有n，mn中所含字母是m和n，所含字母不同，所以它们不是同类项。 选项 C对于xy与−2yx： 这两项都含有字母x和y，xy中x的指数是1，y的指数是1；−2yx中x的指数是1，y的指数是1， 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以它们是同类项。 选项 D对于2与a： 2是常数项，不含有字母a，a是含有字母a的单项式，所含字母不同，所以它们不是同类项。综上，答案是 C 。 巩固练习 v v m+1=3 2n=2 例3、若单项式-xa+1y3与x2yb是同类项，那么(2a-b)2025的值为 　． 解：∵单项式-xa+1y3与x2yb是同类项，∴a+1＝2，b＝3，解得a＝1，b＝3，∴(2a-b)2025＝(2-3)2025＝(-1)2025＝-1． 例2、若2xm+1y2与﹣3x3y2n是同类项，则m+n的值为 　． 3 -1 探究新知 (1)运用运算律计算： 53×4+147×4=_________； 89×(-3)+112×(-3)= __________. 53×4+147×4 =(53+147)×4 =200×4 =800 根据分配律可得： 89×(-3)+112×(-3) =(89+112)×(-3) =201×(-3) = -603 探究新知 (2)根据上面的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a＋120a=________. 72a+120a = (72+120) a = 192a 根据分配律得： 192a 知识回顾：乘法分配律 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加 。用字母表示为：(a+b)×c=a×c+b×c，此外还有a×(b+c)=a×b+a×c 。 同时其逆运算：a×c+b×c=(a+b)×c也成立 。 道理：依据乘法分配律的逆运用。 上述多项式的运算有什么共同特点? ①根据分配律把多项式各项的系数相加； ②字母部分保持不变. 填空： (1)83a-117a=( )a； (2)7m2+8m2=( )m2； (3)9xy2-11xy2=( )xy2. -34 15 -2 探究新知 83a-117a= (83-117) a=-34a 根据分配律得： 7m2+8m2= (7+8) m2=15m2 9xy2-11xy2= (9-11) xy2=-2xy2 归纳新知 合并同类项：多项式中的同类项合并成一项. 特点： 一加两不变 a2b + 6a2b = ( ____ + ____ )a2b = ____ a2b 1 6 7 1 合并同类项的法则： 1. 同类项的系数相加，所得结果作为系数. 2. 字母和字母的指数不变. 依据：逆用乘法分配律 本质：有理数的加减法 作用：化简 典例解析 例4、合并下列各式的同类项: (1) xy2-xy2； (2)5a2+4b2+2ab-5a2-6b2 解：原式=(1-) xy2 =xy2 解：原式= (5a2-5a2)+(4b2-6b2)+2ab = (5-5)a2+(4-6)b2+2ab =-2b2+2ab 【注意事项】合并同类项应注意的问题： ①运用交换律、结合律将多项式变形时，不能丢掉各项系数的符号； ②不要漏项； ③运算结果通常按某一字母的降幂(或升幂)排列. 典例解析 【方法总结】合并同类项的一般步骤： ①找：找出同类项（并做标记）； ②移：运用交换律、结合律将同类项集中在一起； ③合：合并同类项； ④写：按同一字母的降幂（或升幂）排列写出. 巩固练习(教材P98.1) 合并下列各式的同类项: (1) 5x+4x； (2)y-y+2y； (3)-7ab+6ab； 解：原式=(5+4) x =9x 解：原式=(-+2) y =y 解：原式=(-7+6) ab =-ab (4) 10y2-0.5y2； (5)mn2+3mn2； (6)-3x2y+3xy2+2x2y-2xy2； 解：原式=(10-0.5)y2 =9.5y2 解：原式=(1+3) mn2 =4mn2 解：原式=-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2 =(-3+2) x2y+(3-2)xy2 =-x2y+xy2 巩固练习(教材P98.2) 先化简，在求值： (1) 3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1； 解:原式=3a-5a+2b-b =-2a+2b 当a=-2，b=1时，原式=-2×(-2)+2×1=6. (2) 3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x=-3. 解:原式=3x-3x-4x2+2x2+7+1 =-2x2+8 当x=-3时，原式=-2×(-3)2+8=-10. 巩固练习(教材P98.3) 如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的，求阴影部分的面积. 解：小圆的面积为πR2， 大圆的面积为πR2， 则阴影部分的面积为πR2-πR2=πR2. 典例解析 例5、化简：4x2 +2x +7 +3x -8x2 -2. 【方法小结】合并同类项的方法： 1、先分组，再合并. 2、系数相加，所得的结果作为系数，字母同它的指数不变. 3、结果统一写成省略括号和加号的形式，同时注意用字母表示数的书写规范. 解：原式= (4-8)x2 + (2+3)x + (7-2) = -4x2 +5x + 5 所得项之间用加号连接，各项系数的符号不变 典例解析 例6、合并同类项：-4x2y+8xy2－9x2y－21xy2; 解：原式=(-4-9)x2y+(8-21)xy2 =-13x2y-13xy2 合并同类项：mn－mn+nm+5. 解：原式 = ( - + )mn+5 = mn+5 = (- + )mn+5 典例解析 例7、关于x,y的多项式5x3+ax2y-2x3+7-2x2y不含x2y项，求4-5a的值. 解：5x3＋ax2y－2x3＋7－2x2y ＝(5-2)x3＋(a－2)x2y＋7， ＝3x3＋(a－2)x2y＋7， 因为多项式不含x2y项，所以a＝2， 所以4－5a＝4－5×2＝－6. 方法小结: 若不存在某一项,则表示合并同类项后的该项系数为0. 例8、有这样一道题：计算2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3的值，其中x= =-1”. 甲同学把“x= ”错抄成“x=- ”, 但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果. 典例解析 解：2x3 -3x2y -2xy2 -x3 +2xy2 -y3 -x3 +3x2y -y3 =(2-1-1)x3 +(-3+3)x2y+(-2+2)xy2+(-1-1)y3 =-2y3=-2×(-1)3=2. 因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关. 巩固新知 例9、如果代数式x4+ax3+3x2+5x3-7x2+6x-2-bx2合并同类项后不含x3，x2项，求3a-2b的值． 解：x4+ax3+3x2+5x3-7x2+6x-2-bx2 ＝x4+(a+5)x3+(3-7-b)x2+6x-2， 由x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，得 a+5＝0，3-7-b＝0． 解得a＝-5，b＝-4． ∴3a-2b＝3×(-5)-2×(-4)＝-7． 【方法总结】在整式加减运算的过程中涉及“不含某项”或“无关某项”： 一合并：合并同类项；二找：找到“不含项”或“无关项”； 三求：令该项的系数为0，求解相关字母的值。 课堂小结 整式 多项式 单项式 2.所含的字母相同 3.相同字母的指数也相同 同类项 1.都是单项式 特别规定:所有的常数项也看做同类项. 合并同类项 合并多项式中的同类项 法则:一加两不变 步骤:一找、二移、三合、四写 系数相加； 字母连同它的指数不变. 同 类 项 合并同类项 两相同 法则 （1）字母相同，相同字母的指数也相同的项； （2）与系数无关，与字母的排列顺序无关. （1）系数相加； （2）字母连同它的指数不变. 步骤 先分组，再合并 (一加两不变) 板书设计 谢谢欣赏！ $$