专题21.4 一元二次方程的解法-公式法（2个知识点+9个题型+14个巩固题）-2025-2026学年九年级上册数学精准提分系列人教版

专题21.4 一元二次方程的解法“公式法” 【人教版】 题型一：利用公式法还原一元二次方程 2 题型二：确定公式法中的各项系数 4 题型三：用公式法解一元二次方程（选填题） 6 题型四：公式法解一元二次方程（解答题） 9 题型五：根据根的判别式判断根的情况 13 题型六：根据一元二次方程根的情况求参数 16 题型七：根的判别式中已知根的情况求参数（解答题） 19 题型八：根的判别式中几何问题 27 题型九：一元二次方程公式法中新定义问题 32 知识点一 ：“公式法”解一元二次方程 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式（其中a≠0，a、b、c为常数） 根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题： 原方程变形：化为标准形式。 常数项移动：将常数项移到方程的右边。 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数。 加上一次项系数一半的平方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方 配方：将方程左边配成一个完全平方 因为a≠0，所以，式子的值有以下三种情况 当时，，∴， ∴方程有两个不相等的实数根，， 当时，，∴ ∴方程有两个相等的实数根， 当时，，因此方程没有实数根。 题型一：利用公式法还原一元二次方程 例1（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型二：确定公式法中的各项系数 例2（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【变式训练2-1】（24-25九年级上·福建三明·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2-2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 【变式训练2-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 【变式训练2-5】（24-25九年级上·云南昭通·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A． B． C． D． 题型三：用公式法解一元二次方程（选填题） 例3（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的两个实数根中较大的根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 题型四：公式法解一元二次方程（解答题） 例4（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 【变式训练4-1】（24-25八年级下·北京石景山·期末）用适当的方法解方程：． 【变式训练4-2】（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1) ； (2) ． 【变式训练4-3】（24-25八年级下·重庆·期末）解方程 (1) (2) 【变式训练4-4】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【变式训练4-5】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用字母“△”表示，即△= 当△＞0时，方程有两个不等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根； 题型五：根据根的判别式判断根的情况 例5（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【变式训练5-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式训练5-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式训练5-3】（24-25八年级下·山东威海·期末）对于一元二次方程，若，则该方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式训练5-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式训练5-5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式训练5-6】（2025九年级上·全国·专题练习）若直线不经过第二象限，则关于x的一元二次方程的根的存在情况是 ． 【变式训练5-7】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 题型六：根据一元二次方程根的情况求参数 例6（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可能是（    ） A．16 B． C． D． 【变式训练6-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式训练6-2】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【变式训练6-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式训练6-4】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【变式训练6-5】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 题型七：根的判别式中已知根的情况求参数（解答题） 例7（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【变式训练7-1】（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【变式训练7-2】（24-25八年级下·北京顺义·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【变式训练7-3】（24-25八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程一个根为，求m的值． 【变式训练7-4】（24-25八年级下·山东东营·期中）已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 【变式训练7-5】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 【变式训练7-6】（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 【变式训练7-7】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【变式训练7-8】（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 题型八：根的判别式中几何问题 例8（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【变式训练8-1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【变式训练8-2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【变式训练8-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式训练8-4】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练8-5】（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 题型九：一元二次方程公式法中新定义问题 例9（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【变式训练9-1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【变式训练9-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：． (1)填空：________； (2)按照这个规定，解方程． 【变式训练9-3】（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 【变式训练9-4】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． (1)不等式与 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； (2)关于的不等式与不等式“有整数交集”，求的取值范围； (3)若关于的不等式与“没有整数交集”，则的取值范围是 ． 【变式训练9-4】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【变式训练9-5】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 1．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程只有一个实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程，得 ， ． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 8．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）若一个四位正整数除以千位数字余数为，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数为“劳动数”．例如：因为，且，所以是“劳动数”，则最小的“劳动数”为 ．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”的最大值为 ． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 一元二次方程的解法“公式法” 【人教版】 题型一：利用公式法还原一元二次方程 2 题型二：确定公式法中的各项系数 4 题型三：用公式法解一元二次方程（选填题） 6 题型四：公式法解一元二次方程（解答题） 9 题型五：根据根的判别式判断根的情况 13 题型六：根据一元二次方程根的情况求参数 16 题型七：根的判别式中已知根的情况求参数（解答题） 19 题型八：根的判别式中几何问题 27 题型九：一元二次方程公式法中新定义问题 32 知识点一 ：“公式法”解一元二次方程 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式（其中a≠0，a、b、c为常数） 根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题： 原方程变形：化为标准形式。 常数项移动：将常数项移到方程的右边。 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数。 加上一次项系数一半的平方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方 配方：将方程左边配成一个完全平方 因为a≠0，所以，式子的值有以下三种情况 当时，，∴， ∴方程有两个不相等的实数根，， 当时，，∴ ∴方程有两个相等的实数根， 当时，，因此方程没有实数根。 题型一：利用公式法还原一元二次方程 例1（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-2】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【变式训练1-3】（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为．据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：D． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【变式训练1-5】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 题型二：确定公式法中的各项系数 例2（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 【变式训练2-1】（24-25九年级上·福建三明·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 【变式训练2-2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：， 这里， 故选：C． 【变式训练2-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 【变式训练2-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【详解】∵ ∴或 ∴的值分别是或 故答案选B 【变式训练2-5】（24-25九年级上·云南昭通·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程-公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：用公式法解方程时， 整理得：， 二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是， 故选：C． 题型三：用公式法解一元二次方程（选填题） 例3（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 【变式训练3-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的两个实数根中较大的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴，， ∴较大的根是， 故选：． 【变式训练3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法直接解一元二次方程即可 【详解】 解： ∴方程有两个相等的实数根 故答案选B 【变式训练3-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用公式法、配方法均可求解. 【详解】解：将方程化为一般式， ∴a=2，b=-8，c=-3， ∴Δ==64-4×2×（-3）=88＞0， ∴ 故选： A． 【变式训练3-4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 【变式训练3-5】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型四：公式法解一元二次方程（解答题） 例4（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 【变式训练4-1】（24-25八年级下·北京石景山·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∴． ∴方程的解为，． 【变式训练4-2】（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 ． 配方，得 ， 即 ， ， ， ． （2）解：解： ， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， ， ， ． 【变式训练4-3】（24-25八年级下·重庆·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查分式方程和二次方程的解法．分式方程的关键是去分母转化为整式方程，需注意分母不为零；二次方程需用求根公式，需正确计算判别式． （1）确定最简公分母为，同乘方程两边，转化成整式方程，解得，最后要检验是否为原分式方程的根； （2）先确定一元二次方程的各项系数，代入根的判别式，判断有解，再代入求根公式进行求解． 【详解】（1）解： 当时， 是增根，原方程无解 （2）解： 方程中 【变式训练4-4】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 【变式训练4-5】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为． ，，， ， ， ，， 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用字母“△”表示，即△= 当△＞0时，方程有两个不等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根； 题型五：根据根的判别式判断根的情况 例5（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式训练5-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况成为解题的关键．先算出，再判断该方程有两个不相等的实数根，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式训练5-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：， ， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式训练5-3】（24-25八年级下·山东威海·期末）对于一元二次方程，若，则该方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，掌握一元二次方程是解题的关键． 根据判别式，结合条件，推导的符号，从而判断根的情况． 【详解】， ， 将代入判别式， 得：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式训练5-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【分析】解：由新运算定义，方程可化为：． 整理为标准形式：． 计算判别式：． 因，方程有两个不相等的实数根； 故选D． 【变式训练5-5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，将已知条件代入方程，整理成标准形式后计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：由得， 代入原方程： 左边：， 右边：． 将方程整理为： ， 化简得：． 判别式． 因， 则方程无实数根， 故选A． 【变式训练5-6】（2025九年级上·全国·专题练习）若直线不经过第二象限，则关于x的一元二次方程的根的存在情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】直线不经过第二象限，是关于x的一元二次方程， ，， ， 则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式训练5-7】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 题型六：根据一元二次方程根的情况求参数 例6（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可能是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知关于的一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键．直接根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴ k 的取值可能是． 故选：D． 【变式训练6-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负。 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得且． 故选D． 【变式训练6-2】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 【变式训练6-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次项系数非零且结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即且， 故选：D． 【变式训练6-4】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 【变式训练6-5】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个实数根时，判别式，据此列出关于的不等式求解取值范围． （2）先结合（1）中的范围确定正整数的可能值，再根据方程根为整数，利用求根公式分析根的表达式，结合完全平方数的性质确定的值． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系、求根公式，以及完全平方数的性质是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程的判别式 ． 【详解】（1）根据题意，得，解得． 故答案为：； （2）用求根公式表示出方程的根为． 方程的根为整数， 为完全平方数， 的值为2． 故答案为：2． 题型七：根的判别式中已知根的情况求参数（解答题） 例7（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 【变式训练7-1】（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 【变式训练7-2】（24-25八年级下·北京顺义·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用公式法解方程得到，，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得： 方程总有两个实数根； （2）解： ， 方程有一个根是正数， ． 【变式训练7-3】（24-25八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程一个根为，求m的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，以及不等式的性质，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程得到根的判别式，再结合，利用不等式的性质，得出，即可得到答案； （2）将代入一元二次方程得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 其中，，， ， ， ， ，即， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：方程一个根为， ， 解得：． 【变式训练7-4】（24-25八年级下·山东东营·期中）已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2009 【分析】本题考查了一元二次方程. （1）根据根的判别式计算即可； （2）将代入原方程得到，再代入计算即可. 【详解】（1）证明：， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程有一个根为3， ，即． ． 【变式训练7-5】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判定即可； （2）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得， 解得：． 【变式训练7-6】（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或6或15 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． （1）计算方程的判别式得出即可证明结论； （2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 设方程的两个根为，． ，． 方程的求根公式为． ，则． 因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数． 设（k为整数），则． 当（m，n为整数，且），两式相减得，． ， ， ， ， m，n，k均为整数，且p为非负整数， ， 当时，，此时． 当，，（舍负）， 当，时， ，，（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，的值为0或6或15． 【变式训练7-7】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （）求出的值即可求证； （）求出一元二次方程的两个根，根据为正整数，且方程的两个根均为整数即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 【变式训练7-8】（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得：， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． 题型八：根的判别式中几何问题 例8（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 【变式训练8-1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质求解即可； 【详解】（1）解：， 整理得：， ， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 矩形的对角线长度大于边长， 为对角线，， 解得：， 【变式训练8-2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 【变式训练8-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 【变式训练8-4】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， (3)为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出，二者关系，从而判断的形状． （2）利用等边三角形的性质可知，， 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于的一元二次方程，求出的值即可． （3）根据题意即可知道，从而求出，，三者关系， 利用勾股定理逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 将方程的一个根代入原方程得：， ． ，是的两边， 是等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，． 这个一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． （3）解：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ． 为直角三角形． 【变式训练8-5】（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 题型九：一元二次方程公式法中新定义问题 例9（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 【变式训练9-1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 【详解】（1）解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 【变式训练9-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：． (1)填空：________； (2)按照这个规定，解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，分两种情况，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：当时，有，解得，（舍去）， 时，有，解得，（舍去）． 综上：或． 【变式训练9-3】（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为或 【分析】（1）先比较大小，后选择公式计算即可． （2）分类，列式计算即可求x的值． 本题考查了实数的新定义计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解：当时即，； 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时即，． 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 综上所述，符合题意的x的值为或． 【变式训练9-4】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． (1)不等式与 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； (2)关于的不等式与不等式“有整数交集”，求的取值范围； (3)若关于的不等式与“没有整数交集”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)有 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式组的整数解，理解不等式“有整数交集”和“没有整数交集”是解题的关键． （）把不等式的解集在数轴上表示出来即可求解； （）求出两个不等式的解集，由两个不等式“有整数交集”可得，解之即可求解； （）求出不等式为，根据不等式与“没有整数交集”可得． 【详解】（1）解：不等式的解集在数轴上表示如下，由数轴可知，它们有“整数交集”， 故答案为：有； （2）解：由不等式得，， 由不等式得，， ∵两个不等式“有整数交集”， ∴， 解得； （3）解：由不等式得，， ∵不等式与“没有整数交集”， ∴， 故答案为：． 【变式训练9-4】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 【变式训练9-5】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键． （1）根据定义的新运算即可求解； （2）先解方程得或，再分，和，两种情况分类讨论，根据定义的新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 1．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根．计算判别式并解方程即可求出参数的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程只有一个实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程只有一个实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式公式，代入题目方程的系数计算即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，， 故选：D． 4．（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程，得 ， ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程，求出方程的根即可． 【详解】解：方程整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：， 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【答案】 65 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可求出一般式，然后求出即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 8．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）若一个四位正整数除以千位数字余数为，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数为“劳动数”．例如：因为，且，所以是“劳动数”，则最小的“劳动数”为 ．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了“劳动数”定义，一元二次方程根的判别式，分式运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据“劳动数”定义，一元二次方程根的判别式，分式运算进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，当时，有最小“劳动数”， ∵一个四位正整数除以千位数字余数为， ∴个位数字为或， ∵十位数字与百位数字之差等于个位数字， 时，要使有最小“劳动数”， 则，，“劳动数”为； 时，要使有最小“劳动数”， 则，，“劳动数”为； ∴最小“劳动数”为； ∵若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∵一个四位正整数是“劳动数” ∴，即， ∴， ∴， ∴，则， ∵四位正整数除以千位数字余数为， ∴， ∴， ∵满足条件的“劳动数”的最大值， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴时，， 则，，不符合题意； 当，即， 则，， 此时，不符合题意； 当，即， 则，， 此时，符合题意； 故答案为：，． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题关键． （1）按题干要求用配方法求解即可； （2）按题干要求用公式法求解即可，． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解得，； （2）， ，，， ， ， ，． 11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1)的长为． (2)线段的长是方程的一个根，理由见解析； 的值为． 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的求根公式，解题的关键是正确理解作图过程． （1）用勾股定理解直角三角形即可； （2）根据勾股定理，用和表示线段的长，用求根公式写出一元二次方程的解，对比即可；由作图过程结合已知条件得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列方程，化简整理即可得的值． 【详解】（1）解：由作图过程可知， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 答：的长为． （2）解：线段的长是方程的一个根， 理由： ∵，，，， ∴， 由得，， ∴， ∴线段的长是方程的一个根． 由作图过程可知，，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为2，，1，3 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质；（1）由题意得，当时，四边形是矩形，据此建立方程组求解即可； （2）分三种情况讨论：①当，②当，③当，再根据等腰三角形的边相等列方程求解即可； （3）假设存在，利用勾股定理列方程，再利用根的判别式判断方程是否有解，有解假设成立，无解假设不成立． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， 故答案为：3； （2）解：作于点M， 由题意，，，，， ①当时，， 即，解得，， ②当时， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ③当时， 由勾股定理得，， 即， 解得或3， 综上所述，t的值为2，，1，3； （3）解：不存在，理由如下： 设，则， 即， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不成立， 即，不存在某一时刻t使得． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$