综合与实践练习题 2024-2025学年浙教版八年级数学下册

八下 综合与实践 第1章 二次根式 1．阅读下列材料，并回答问题： 【情境1】：小红在研究学习无理数时发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零． 【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现： 若ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，则a＝0且b＝0． 例如：若，其中a，b为有理数，则a＝0，b＝0． 【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：，其中a，b为有理数． 分析：通过变形，得：， 又a，b为有理数，∴解得：． 运用上述知识解决下列问题： （1）已知，其中a，b为有理数，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知，其中a，b为有理数，求ab+6的值． 解：（1）∵， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1． 故答案为：2，﹣1． （2）原式＝（a+b）+2a﹣b﹣9＝0． ∴a+b＝0，2a﹣b＝9， ∴a＝3，b＝﹣3． 则ab+6＝3﹣3+6＝33＝27． 2．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 解：由 ，得x＝　 　，y＝　 　，＝　 　； （2）探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； （3）拓展应用 已知，求x﹣y的值． 解：（1）∵， ∴， 解得：x＝2023， ∴y＝2024，； （2）由， 解得：x＝3，y＝2， ∴＝ ＝ ＝； （3）由， 得xy＝10，x+y＝7， ∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9， ∴x﹣y＝±3． 3．综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：　 　； （2）观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为 　 　，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 解：（1）等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4： 故答案为． （2）猜想：，证明如下： 左边＝．＝右边， 所以猜想成立． 故答案为：； （3）＝ ＝＝． 第2章 一元二次方程 4．主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，制作的收纳盒的高为5cm， ∴BC＝40﹣5×2＝30（cm），AB＝＝35（cm）． 答：该收纳盒的底面ABCD的边BC的长为30cm，AB的长为35cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB＝＝（40﹣x）cm， 根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0， 解得：x1＝10，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高维10cm． 5．[问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 解：[操作判断] 两个结论是真命题； （1）将x＝1代入方程可得a+b+c＝0，故当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）将x＝﹣1代入方程可得a﹣b+c＝0，即a+c＝b，故当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． [实践探究]∵（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0， ∴（20232x+1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣，x2＝1，则p＝1， x2+2023x﹣2024＝0， （x+2024）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣2024，x2＝1，则q＝﹣2024， ∴p﹣q＝1+2024＝2025． 6．综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为 　 　米，此时，AB＝　 　米． 解：目标1：∵可用的篱笆总长为20米，且AB的长为x米， ∴BC的长为（20﹣2x）米． 根据题意得：x（20﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞10，不符合题意； 当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4＜10，符合题意． 答：BC的长为8米； 目标2：（1）不能围成面积为平方米的矩形花园，理由如下： 假设能围成面积为平方米的矩形花园，设AB的长为y米，则BC的长为（14﹣2y）米， 根据题意得：y（14﹣2y）＝， 整理得：4y2﹣28y+81＝0， ∵Δ＝（﹣28）2﹣4×4×81＝﹣512＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即不能围成面积为平方米的矩形花园； （2）设AB的长为a米，则BC的长为（m﹣2a）米， 根据题意得：a（m﹣2a）＝， 整理得：4a2﹣2ma+81＝0， ∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×4×81≥0， ∴m≥18或m≤﹣18， ∴m的最小值为18米． 当m＝18时，原方程为4a2﹣36a+81＝0， 解得：a1＝a2＝， 当a＝时，18﹣2a＝18﹣2×＝9＜10，符合题意， ∴AB＝米． 故答案为：18，． 第3章 数据分析初步 7．近日，学校有10名同学参加了一次数学综合素质测试，满分100分．各项成绩的统计图表如下： 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 学生甲 90 89 98 90 学生乙 85 93 96 90 （1）“数与代数”成绩的众数是 　 　，中位数是 　； （2）如果“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”的成绩按4：3：1：2计算，请根据表格计算学生甲与乙的成绩． 解：（1）由统计图可知，80分的有1个人，85分的有2个人，90分的有5个人，95分的有2个人， ∴众数是90分，中位数是＝90（分）， 故答案为：90分，90分； （2）甲的数学综合素质成绩为＝90.5（分）， 乙的数学综合素质成绩为＝89.5（分）． 答：甲的成绩是90.5分，乙的成绩是89.5分． 8．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 n 2.0 2.0 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：m＝　 　，n＝　 　； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是 　 　（填序号）； （3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 解：（1）荔枝树叶的长宽比的平均数为：n＝（2.0+2.0+2.0+2.4+1.8+1.9+1.8+2.0+1.3+1.9）＝1.91，芒果树叶的长宽比的中位数m＝＝3.75， 答案为：1.91；3.75； （2）∵0.0424＜0.0669， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是2.0，众数是2.0， ∴B同学说法合理． 故答案为：B； （3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 第4章 平行四边形 9．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在OB和OD上． 问题1：当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？ 请说明理由． 小明：当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下： ∵∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD． 即∠AEO＝∠CFO． ∴AE∥CF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO．（依据1） 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF． ∴AE＝CF． ∴四边形AECF是平行四边形．（依据2） 问题2：当BE、DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 小红：当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：　 　； 依据2：　 　． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． （1）解：依据1：平行四边形的对角线互相平分； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO﹣BE＝DO﹣DF， 即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 10．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理． 问题1：如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？ 小明：OE＝OF． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO（依据1） ∴∠BAO＝∠DCO 又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（依据2）． ∴OE＝OF 问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？ 小亮：EF＝BC，EF∥BC． 理由如下：…． 问题3：如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发， 你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？ 小慧：DE∥BC，DE＝BC． … 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”： 依据1：　 　； 依据2：　 　． （2）请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！） 问题解决： （3）请用图3写出三角形中位线定理的证明过程． （1）解：依据1：是平行四边形的对角线互相平分，依据2：是ASA； 故答案为：平行四边形的对角线互相平分，是ASA； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AO＝CO， ∴∠BAO＝∠DCO 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∵CD＝AB， ∴CF＝CD， ∴BE＝CF， ∵AB∥CD， ∴BE∥CF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴EF∥BC，EF＝BC； （3）证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF， ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥AD，CF＝AD， ∴CF∥BD，CF＝BD， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∵DE＝DF， ∴DE∥BC，DE＝BC． 第5章 特殊平行四边形 11．探究与发现． （1）如图①，四个小长方形拼成一个大长方形，点P在线段AC上，试判断长方形EPHD与长方形GBFP面积的大小关系，并简单说明理由； （2）如图②，长方形GBFP的顶点P在直角三角形ABC的斜边AC上，若AG＝50，FC＝75，利用第（1）小题的探究方法和结论，求长方形GBFP的面积． 解：（1）长方形EPHD与长方形GBFP面积相等， ∵四边形ABCD是矩形， ∴△ABC≌△CDA，△AGP≌△PEA，△PFC≌△CHP， ∴△ABC的面积与△ACD的面积相等，△AGP与△AEP的面积相等，△PCF与△PCH的面积相等， ∴剩下两个长方形的面积也相等． （2）如图， 设GB＝x，BF＝y， 则长方形ABCD的面积为（75+y）（50+x）， 由（1）中的结论可得，（75+y）（50+x）＝2xy+50y+75x， 解得xy＝3750，即长方形GBFP的面积为3750． 12．如图①，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2． （1）探究：当点P分别在图②、图③中的位置时，即点P分别在矩形ABCD的内部和外部时，PA2，PB2，PC2，PD2之间又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（点P在矩形ABCD的内部）的结论． 答：对图②的探究结论为 　 　；对图③的探究结论为 　 　． （2）应用：如图④所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD2的值为 　 　． 解：（1）结论均是PA2+PC2＝PB2+PD2． 如图②，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N， ∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形， 根据图①中的结论可得， 在矩形ABNM中有PA2+PN2＝PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2＝PD2+PN2， 两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PB2+PM2+PD2+PN2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2． 如图③，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N， ∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形， 同样根据图①中的结论可得， 在矩形BCNM中有PC2+PM2＝PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2＝PD2+PM2， 两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PD2+PM2+PB2+PN2， ∴PA2+PC2＝PB2+PD2． （2）由上面结论知：PD2＝PA2+PC2﹣PB2＝32+52﹣42＝18． 故答案为：（1）PA2+PC2＝PB2+PD2，PA2+PC2＝PB2+PD2．（2）18． 13．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． 证明：如图2取EF的中点G，连接AG… 任务：（1）完成材料中的证明过程． （2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数． （1）证明：如图2，取EF的中点G，连接AG， ∵四边形BCAD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAC＝90°， ∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴AG＝EF＝FG， ∴∠F＝∠GAF， ∵EF＝2AB， ∴AG＝AB， ∴∠ABG＝∠AGB＝∠F+∠GAF＝2∠F＝2∠CBF， ∴∠ABC＝3∠CBF，即射线BF是∠ABC的一条三等分线； （2）解：取AC的中点H，连接BH，如图2所示： ∵四边形BCAD是矩形， ∴∠CBA＝∠CBE＝90°， ∵BF是∠CBE的角平分线， ∴∠FBE＝∠CBE＝×90°＝45°， ∵∠FBE＝∠FAB+∠F， ∴∠FAB+∠F＝45°， ∵∠CBA＝90°，点H是AC的中点， ∴BH＝AH＝BF＝AC， ∴∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F， ∴∠BHF＝2∠HAB， ∴∠F＝2∠HAB， ∴∠FAB＝∠F， ∴∠F+∠F＝45°， ∴∠F＝30°． 14．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，平行四边形ABCD的面积记为S，试探究S1+S2与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG＝3，AH＝CF＝2，点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1，S2，求S1+S2． 解：（1）， 理由如下，如图所示，过P点作EF∥AB，作PG⊥BA延长线于点G，延长GP交CD于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴EF∥CD∥AB，GH⊥BG，GH⊥CD，3 ∴ ，S2＝CD•PH，S平行四边形ABFE＝AB•PG，S平行四边形FECD＝CD•PH， ∴S1＝S平行四边形ABFE，S2＝S平行四边形FECD， ∵S＝S平行四边形ABCDAB•GH＝S平行四边形ABFE+S平行四边形FECD， ∵S平行四边形ABFE+S平行四边形FECD＝S， ∴S1+S2＝S平行四边形ABFE+S平行四边形FECD＝S平行四边形ABCD＝． 解决问题：过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于N，连接：PA，PB，PC，PD， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝8，AE＝CG＝3，AH＝CF＝2， ∴BE＝DG＝AH＝CF＝2，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∵PK⊥AB，PM⊥AD， ∴PK+PT＝AD，PM+PN＝MN， ∴ ＝＝ ＝＝12+5＝17． 15．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是　 　． 【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积． 【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是　 　． 解：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC． ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AOE与△COF中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴四边形CDEF的面积＝S△ACD＝▱ABCD的面积＝4； 探究：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AO＝CO． ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO， ∴在△AOE与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∵由菱形的对称性，得S△ABC＝S菱形ABCD， ∴S四边形ABFE＝S△ABC＝×AC•BD＝×5×10＝． 应用：延长AC到E使CE＝AC＝3， 在△ABC与△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠E＝∠BAC＝90°， ∴DE＝， ∴S△ABD＝S△ADE＝AE•DE＝×6×2＝6． 16．问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． （1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴． 第6章 反比例函数 17．综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为100cm的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起．在中点O左侧距离中点30cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）有什么变化，得到如表： L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 F/N 58.8 29.4 19.6 14.7 16 9.8 8.4 7.35 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． （1）当L＝　 　cm时，所对应的F的值明显是错误的； （2）写出F与L之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数F是12N时，弹簧秤与中点O之间的距离L． 解：（1）根据表中数据，可发现L与F的乘积为定值294， 所以第5组数据是错误的， 即当L＝25cm时，所对应的F的值明显是错误的， 故答案为：25； （2）∵FL＝294， ∴F与L之间的函数关系式为F＝， 当F＝12时，L＝＝24.5， ∴弹簧秤与中点O之间的距离L为24.5cm． 18．课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF 　 　米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5 ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值17.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 解：（1）5﹣3.8＝1.2（米）， ∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处， 故答案为：1.2． （2）①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设V＝， 把a＝70，V＝0.1，代入得到k＝7， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是V＝． ②把a＝17.5，代入V＝，得V＝0.4， ∴该行对应的视力值是0.4． 19．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为﹣4℃时，冷柜运行，当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升，到﹣4℃时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示． 当0≤x≤4时，y是x的一次函数；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天运行时间（小时）． 任务1：求4≤x≤t时，y关于x的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 解：任务1，设反比例函数解析式为y＝，（4，﹣20）在函数图象上， ∴k＝﹣80， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（4≤x≤t）； 任务2，由任务1可知，反比例函数解析式为y＝﹣， 当y＝﹣4时，t＝20， ∴该冷柜一个循环耗时20分钟．一个循环运行4分钟，一小时运行12分钟，一天运行24×12＝288分钟 288分钟等于小时， ∴该冷柜一天的耗电量0.15×＝0.72（度）． 答：该冷柜一天的耗电0.72度． 20．综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数y＝的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　 　； （2）作出图象 ①列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ n 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝　 　，n＝　 　； ②描点，连线：在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如图所示； （3）研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为（0，0），结合小明的分析，可知函数的对称中心为 　 　； （4）拓展应用 已知当1≤x≤4时，关于x的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是 　 　． 解：（1）∵x+1≠0， ∴x≠﹣1， 故函数的自变量取值范围是x≠﹣1． 故答案为：x≠﹣1； （2）①x＝﹣时，＝5， ∴m＝5． 当y＝﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣， ∴n＝﹣， 故答案为：5，﹣； （3）该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数的对称中心为 （﹣1，1）； 故答案为：（﹣1，1）； （4）如图， 把（1，0）代入y＝kx+1得，k＝﹣1； 把（4，）代入y＝kx+1得，k＝﹣； ∴当1≤x≤4时，关于x的方程有实数解，k的取值范围是﹣1≤k≤﹣． 故答案为：﹣1≤k≤﹣． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下 综合与实践 第1章 二次根式 1．阅读下列材料，并回答问题： 【情境1】：小红在研究学习无理数时发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零． 【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现： 若ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，则a＝0且b＝0． 例如：若，其中a，b为有理数，则a＝0，b＝0． 【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：，其中a，b为有理数． 分析：通过变形，得：， 又a，b为有理数，∴解得：． 运用上述知识解决下列问题： （1）已知，其中a，b为有理数，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知，其中a，b为有理数，求ab+6的值． 2．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 3．综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：　 　； （2）观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为 　 　，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 第2章 一元二次方程 4．主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 5．[问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 6．综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长． 目标2：探究最少的材料方案． 现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米． （1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为 　 　米，此时，AB＝　 　米． 第3章 数据分析初步 7．近日，学校有10名同学参加了一次数学综合素质测试，满分100分．各项成绩的统计图表如下： 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 学生甲 90 89 98 90 学生乙 85 93 96 90 （1）“数与代数”成绩的众数是 　 　，中位数是 　； （2）如果“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”的成绩按4：3：1：2计算，请根据表格计算学生甲与乙的成绩． 8．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 n 2.0 2.0 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：m＝　 　，n＝　 　； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是 　 　（填序号）； （3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 第4章 平行四边形 9．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在OB和OD上． 问题1：当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？ 请说明理由． 小明：当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下： ∵∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD． 即∠AEO＝∠CFO． ∴AE∥CF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO．（依据1） 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF． ∴AE＝CF． ∴四边形AECF是平行四边形．（依据2） 问题2：当BE、DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 小红：当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：　 　； 依据2：　 　． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 10．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理． 问题1：如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？ 小明：OE＝OF． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO（依据1） ∴∠BAO＝∠DCO 又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（依据2）． ∴OE＝OF 问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？ 小亮：EF＝BC，EF∥BC． 理由如下：…． 问题3：如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发， 你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？ 小慧：DE∥BC，DE＝BC． … 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”： 依据1：　 　； 依据2：　 　． （2）请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！） 问题解决： （3）请用图3写出三角形中位线定理的证明过程． 第5章 特殊平行四边形 11．探究与发现． （1）如图①，四个小长方形拼成一个大长方形，点P在线段AC上，试判断长方形EPHD与长方形GBFP面积的大小关系，并简单说明理由； （2）如图②，长方形GBFP的顶点P在直角三角形ABC的斜边AC上，若AG＝50，FC＝75，利用第（1）小题的探究方法和结论，求长方形GBFP的面积． 12．如图①，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2． （1）探究：当点P分别在图②、图③中的位置时，即点P分别在矩形ABCD的内部和外部时，PA2，PB2，PC2，PD2之间又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（点P在矩形ABCD的内部）的结论． 答：对图②的探究结论为 　 　；对图③的探究结论为 　 　． （2）应用：如图④所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD2的值为 　 　． 13．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． 证明：如图2取EF的中点G，连接AG… 任务：（1）完成材料中的证明过程． （2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数． 14．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，平行四边形ABCD的面积记为S，试探究S1+S2与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG＝3，AH＝CF＝2，点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1，S2，求S1+S2． 15．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是　 　． 【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积． 【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是　 　． 16．问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 第6章 反比例函数 17．综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为100cm的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起．在中点O左侧距离中点30cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）有什么变化，得到如表： L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 F/N 58.8 29.4 19.6 14.7 16 9.8 8.4 7.35 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． （1）当L＝　 　cm时，所对应的F的值明显是错误的； （2）写出F与L之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数F是12N时，弹簧秤与中点O之间的距离L． 18．课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF 　 　米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5 ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值17.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 19．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为﹣4℃时，冷柜运行，当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升，到﹣4℃时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示． 当0≤x≤4时，y是x的一次函数；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天运行时间（小时）． 任务1：求4≤x≤t时，y关于x的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 20．综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数y＝的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　 　； （2）作出图象 ①列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ n 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝　 　，n＝　 　； ②描点，连线：在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如图所示； （3）研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为（0，0），结合小明的分析，可知函数的对称中心为 　 　； （4）拓展应用 已知当1≤x≤4时，关于x的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$