广西南宁市邕宁区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广西南宁市邕宁区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 A. B. C. D. 2.下列函数中，是的正比例函数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列式子属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为(    ) A. B. C. D. 5.某校舞蹈队成员的年龄分布如表，则该校舞蹈队成员的平均年龄是(    ) 年龄岁 人数 A. B. C. D. 6.在▱中，对角线，相交于点，且，则等于(    ) A. B. C. D. 7.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 8.关于一次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过 B. 图象可由直线向上平移个单位长度得到 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 随自变量的增大而减小 9.点，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 10.目前，南宁地铁号线一期工程正如火如荼地建设中现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条米长的隧道，所挖隧道长度米与挖掘时间天之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是(    ) A. 甲队每天挖米 B. 乙队开挖天后，每天挖米 C. 甲队比乙队提前天完成任务 D. 当时，甲、乙两队所挖隧道长度相等 11.如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 12.已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有(    ) 方程组的解为； ； ； 当的值最小时，点的坐标为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.计算： ______． 14.年月日，我国跳水名将全红婵、陈芋汐在世界杯跳水总决赛北京中夺得女子双人米跳台冠军，其中第跳的得分分别为：，，，，，，，，，，，则这组数据的众数是______． 15.观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 16.如图，正方形的边长为，点在边上，，过点作，分别交，于点，，点，分别是，的中点，则的长是______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 已知，求代数式的值． 18.本小题分 观察如图，每个小正方形的边长均为． 图中长方形的面积是______，与该长方形面积相等的正方形的边长是______． 作图：在图中画一个以格点为顶点的正方形，使它的面积与图中的长方形面积相等． 19.本小题分 【问题情景】年春节前夕在网上引起热议，央视春晚上人形机器人又扭起了东北秧歌，在全球范围内掀起了风暴某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加人工智能科普测试． 【收集数据】现从七、八年级各抽取名同学记录下他们的测试成绩成绩用表示，共分为四组：：，：，：，：． 七年级人的成绩分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 八年级人的成绩在组中的分数分别为： ，，，，，，，； 【整理数据】对成绩进行整理和分析统计了部分信息： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______； 根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由； 若七年级有人参与测试，八年级有人参与测试，请估计七、八年级得分在组的共有多少人？ 20.本小题分 如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，． 求证：四边形是平行四边形； 若，，，求四边形的面积． 21.本小题分 年春节档电影哪吒之魔童闹海掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色如哪吒、敖丙赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为，元，请分别求出，与购买数量个的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点已知点的横坐标为，点的坐标为． 点的坐标是______；点的坐标是______；直线的解析式是______； 若是直线上的点，且的面积为，求点的坐标； 在的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标此时在平面内存在点，使以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 23.本小题分 【问题发现】 如图，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ______，______，______，______； ______填“”“”或“”； 【类比探究】 如图，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 如图，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意得：， ， 故选：． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：，，不符合正比例函数的定义，它们不是正比例函数， 符合正比例函数的定义，它是正比例函数， 故选：． 一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，据此进行判断即可． 本题考查正比例函数，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 满足以下两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：坐标原点与点之间的距离， 故选：． 直接根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：该校舞蹈队成员的平均年龄是岁， 故选：． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 6.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， ， ， ， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，由，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质，推导出是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：．，所以选项不符合题意； B.，所以选项不符合题意； C.与不能合并，所以选项不符合题意； D.，所以选项符合题意． 故选：． 根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：、一次函数图象过，原说法错误，不符合题意； B、一次函数的图象可由直线向上平移个单位长度得到，原说法正确，符合题意； C、一次函数图象经过第一、二、三象限，原说法错误，不符合题意； D、一次函数的，随自变量的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：． 根据一次函数的性质及一次函数图象与几何变换逐项分析判断即可． 本题考查了一次函数与几何变换、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：一次函数的， 随的增大而减小， ， ． 故选：． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10.【答案】  【解析】解：甲队每天挖米天， 不正确，不符合题意； 乙队开挖天后，每天挖米， 不正确，不符合题意； 乙队完成任务需要天， 则甲队比乙队提前天完成任务， 不正确，不符合题意； 当时，甲队所挖隧道长度为米，乙队所挖隧道长度为米， 当时，甲、乙两队所挖隧道长度相等， D正确，符合题意． 故选：． 根据图象计算即可； C.求出乙队完成任务需要的天数，再计算甲队比乙队提前几天完成任务即可； D.分别计算当时，甲、乙两队所挖隧道长度即可． 本题考查一次函数的应用，根据图象进行有关计算是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：连接，过作于， 菱形的边长为， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值是， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 的最小值为． 故选：． 连接，过作于，判定是等腰直角三角形，求出，由垂线段最短得到，由三角形中位线定理推出，即可得到的最小值． 本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到． 12.【答案】  【解析】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ，故不符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：． 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意； 解方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到为直角三角形；不符合题意； 作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，不符合题意． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理，正确地求得函数解析式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 根据，，可以计算． 本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减运算法则是关键． 14.【答案】  【解析】解：数据，，，，，，，，，，中出现次数最多， 众数是， 故答案为：． 根据众数的定义解答即可． 本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义来解答． 15.【答案】  【解析】解：根据题意可知，， ， ， ． 故答案为：． 根据算术平方根的定义和数字的变化规律进行计算． 本题考查了算术平方根，数字的变化规律，掌握算术平方根的定义是关键． 16.【答案】  【解析】解：过点作直线交于点，交于点，连接，，如图所示： 四边形是正方形，且边长为， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 同理：四边形和四边形都是矩形， ，，，，， 点是的中点， 是的中位线， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 在和中， ， ≌， ，， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， 点是的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 故答案为： 过点作直线交于点，交于点，连接，，依题意得，证明四边形是矩形，四边形和四边形都是矩形，是的中位线，是等腰直角三角形，进而得，，由此依据“”判定和全等得，，进而得是等腰直角三角形，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 17.【答案】；  ．  【解析】 ； ， ， ． 根据二次根式的运算法则进行计算； 先根据完全平方公式变形为，再将的值代入求出结果． 本题考查了二次根式，解题的关键是根据运算法则进行计算． 18.【答案】，；   见解析．  【解析】长方形的面积，与该长方形面积相等的正方形的边长为． 故答案为：，； 如图，正方形即为所求． 判断出长方形的长宽可得结论，根据正方形的面积是，求出边长即可； 作一个边长为的正方形即可． 本题考查作图应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19.【答案】，，；   八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解答；   人．  【解析】，， 八年级组人数所占百分比为， 则，即， 故答案为：，，； 八年级在此次人工智能科普测试中表现更好， 由表知，七、八年级学生成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 所以八年级高分人数多于七年级， 所以八年级在此次人工智能科普测试中表现更好； 人， 答：估计七、八年级得分在组的共有人． 根据中位数的定义及百分比的概念求解即可； 根据平均数和中位数的意义求解即可； 分别用七、八总人数乘样本中组人数所占比例，再相加即可得出答案． 本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． 20.【答案】证明见解析；   ．  【解析】证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ，， 延长至点，使得， ，， 四边形是平行四边形； 解：点是的中点， ， 由得：， ， ， 是直角三角形， 由得：四边形是平行四边形， 四边形的面积． 证明是的中位线，得出，，再推出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； 先求出、的长，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后由平行四边形的性质和三角形面积公式即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21.【答案】；；   当时到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算．  【解析】根据题意，可得当时，， 当时，； ； ； ， 解得， 当时到乙商店购买更划算； 当时，到甲、乙两个商店购买花费一样； 当时，到甲商店购买更划算． 根据题意可以求得、与之间的函数关系式； 令，求出的值，再分情况讨论即可． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出、与之间的函数关系式． 22.【答案】；；；   点的坐标为或；   的坐标为，的坐标为  【解析】在中，令得， ； 把，代入得：， 解得， 直线的解析式是； 令得， ； 故答案为：；；； 设， ， ， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或； 当点在第一象限时，点的坐标为， 由，可得直线解析式为， 设，其中， 当时，如图： ， 解得此时，重合，舍去或， ， ， ， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； 当时，如图： ， 解得舍去或， ， 四边形是以为对角线的菱形，， 将向下平移个单位即得， ； 当时，过作于，如图： ，即为中点， ， ， 解得， ， ， 此时， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； 综上所述，的坐标为，的坐标为 求出；用待定系数法可得直线的解析式是；再令可得； 设，由的面积为，有，即可解得或，故点的坐标为或； 当点在第一象限时，点的坐标为，可得直线解析式为，设，其中，分三种情况：当时，有，可解得，此时，故在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在；当时，，可解得，根据四边形是以为对角线的菱形，即可得；当时，过作于，可得，即为中点，故，可得，此时，故这种情况不存在． 本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形判定与等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 23.【答案】，，，；   成立，理由见解析；   的最小值为．  【解析】如图，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，，，． ，， ， 故答案为：． 成立， 理由：如图， 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． 如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案； 由，，得，于是得到问题的答案； 先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立； 作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$