山东省聊城市东阿实验学校2024—2025学年下学期八年级3月月考数学试卷

2024-2025学年山东省聊城市东阿实验学校八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.，，，，，，这六个数中，无理数一共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列条件中，使不是直角三角形的是(    ) A. ，， B. C. ：：：： D. ：：：： 3.已知四边形，有以下四个条件： ，；，；，；，． 其中能判定四边形是平行四边形的有个． A. B. C. D. 4.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是矩形，则原四边形一定是(    ) A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 矩形 5.如图，在▱中，的平分线交边于点已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，▱中的两内角、的平分线、别交于、点若，，则的长度是(    ) A. B. C. D. 7.如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为(    ) A. B. C. D. 8.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在四边形中，，，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若运动时间为秒时，以、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在边长为的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足若，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.若是的算术平方根，则 ______． 14.已知表示的小数部分，则 ______． 15.若，则 ______． 16.如图，菱形的对角线、相交于点，且，，过点作丄，垂足为，则点到边的距离______． 17.如图菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，连接，则的度数是______． 18.如图，在中，，，为边上动点，于，于，为的中点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知，的算术平方根是，是的整数部分，求的算术平方根． 20.本小题分 如图，在▱中，为的中点，连接并延长交的延长线于点求证：四边形是平行四边形． 21.本小题分 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，求点的坐标． 22.本小题分 如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点连接、，若，求证：四边形为矩形． 23.本小题分 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 问是否为从村庄到河边的最近路？即问：与是否垂直？请通过计算加以说明； 求原来的路线的长． 24.本小题分 如图在四边形中，，点为对角线的中点，过点的直线于点，交于点，，连接，． 求证：四边形为菱形． 若，，求的长． 25.本小题分 如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． 求证：； 求证：； 过作于点，连，则的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：是分数，，是整数，是无限循环小数，它们不是无理数， ，是无限不循环小数，它们是无理数，共个， 故选：． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，是直角三角形，不符合题意； B、，是直角三角形，不符合题意； C、，不是直角三角形，符合题意； D、：：：：，，是直角三角形，不符合题意； 故选：． 根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理进行判断即可． 本题考查的是三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【解答】 解：根据平行四边形的判定定理知，，不符合是平行四边形的条件； 满足四边形是平行四边形． 4.【答案】  【解析】解：如图，连接、． 四边形是矩形， ， 又点、分别是、各边的中点， 是三角形的中位线， ， ， 又点、分别是、各边的中点， 是三角形的中位线， ， ， 即， 故原图形一定是：对角线互相垂直的四边形． 故选：． 连接、根据矩形的性质、三角形中位线定理，只要证明即可解决问题． 本题考查中点四边形、矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5.【答案】  【解析】解：在▱中， ． 平分交于点， ． 由题意可得：． 故选：． 主要运用了平行四边形的两个性质：边：平行四边形的对边平行．角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 本题主要考查了平行四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故选：． 根据平行线的性质得到，由平分得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解答本题的关键是判断出． 7.【答案】  【解析】解：如图：连接交于， 平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ． 故选：． 如图：连接交于，由平行四边形的性质可得，进而得到；再说明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． 本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为故选C． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 9.【答案】  【解析】解：，， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的倍， 的值是， 故选：． 根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的倍，本题得以解决． 本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的倍． 10.【答案】  【解析】解：设， ，点是边的中点， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 解得：， ， 故选：． 设，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，再根据题意可得：，从而利用等腰三角形的性质可得，进而列出关于的方程，进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法。根据题意计算、、、，再根据平行四边形的判定方法进行判定。 【解答】 解：选项，时，，，，，此时构不成平行四边形，不符合题意； 选项，时，，，，，因，此时只构成一个平行四边形，不符合题意； 选项，时，，，则，因，此时有个平行四边形：平行四边形和平行四边形，符合题意； 选项，时，，，，，因，此时只构成一个平行四边形，不符合题意。 故选C。 12.【答案】  【解析】解：如图，延长，使，则， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则，， ，， ， 在中，， 即， 解得， ， 故选：． 延长，使，可证≌，得到，，即可得到，再证明≌，得到，，则，，在中，由勾股定理可得，求出即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 是的算术平方根， ， 故答案为：． 先化简，再求解的算术平方根即可． 本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 先估算的大小，然后判断其整数部分和小数部分即可． 本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小． 15.【答案】或  【解析】解：若， 则或， 解得或， 故答案为：或． 根据算术平方根等于它本身的数有和解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：，， ，， ． ， ． 故答案为：． 因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出的长． 本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出边上的高． 17.【答案】  【解析】解：如图，连接， 菱形 中，， ，， ，， 的垂直平分线交对角线于点， ， ， 由菱形的轴对称的性质可得： ， 故答案为： 根据菱形的性质可得，，再证明，再结合菱形的轴对称的性质可得答案； 本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】  【解析】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，由的面积计算公式等积法可得， ， 最短时，， 当最短时，． 故答案为：． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，由直角三角形的面积求出是解决问题的关键，属于中考常考题型． 19.【答案】解：， ， 解得； 由条件可知， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据得，解得；算术平方根是得，得到根据得，确定，继而确定，计算即可． 本题考查了算术平方根，无理数的估算，熟练掌握算术平方根，无理数估算取整是解题的关键． 20.【答案】证明见解答．  【解析】证明：四边形是平行四边形， ， 为的中点，连接并延长交的延长线于点， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形． 由平行四边形的性质得，因为为的中点，的延长线交的延长线于点，所以，，而，可根据“”证明≌，得，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明≌是解题的关键． 21.【答案】  【解析】解：在中， ． 过点作轴的垂线，垂足为， 因为， 所以． 在中， ， 所以点的坐标为 先求出的长，再利用面积法求出点的纵坐标，最后利用勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形性质，巧用勾股定理及面积法是解题的关键． 22.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ，． 又 ≌， ， 四边形是平行四边形． ，， ， ， ， 平行四边形是矩形．  【解析】由，得，，由得≌，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 23.【答案】解：是， 理由是：在中， ， 是直角三角形， ， 所以是从村庄到河边的最近路； 设千米， 在中，由已知得千米，千米，千米， 由勾股定理得：， ， 解得， 答：原来的路线的长为千米．  【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可； 根据勾股定理解答即可． 此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． 24.【答案】证明：， ， 点为对角线的中点， ， 又， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形为菱形； 解：由可知，四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 即， ， ， 即的长为．  【解析】证明≌，得，再证明四边形是平行四边形，然后证明，即可得出结论； 由菱形的性质得，，再由菱形的面积求出，即可得出结论． 本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25.【答案】证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ≌， ； 证明：延长至，且使，连接、，如图所示： 则， 四边形是矩形， ，，， 在和中，， ≌， ， ，， 为的中点， 为的中位线， ， ； 解：过点作交于，如图所示： 则， ， ， ， ， ，， 由角的互余关系得：， ， 在和中，， ≌， ，， 是等腰直角三角形， ， ．  【解析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论； 延长至，且使，则，由证明≌，得出，证出为的中位线，得出，得出，即可得出； 过点作交于，由证明≌，得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案； 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$