第一章 特殊平行四边形 单元测试2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试 一、选择题 1.如图是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(　　) A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6 2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为(　　) A.2.4 B.2 C.1.8 D.1.5 3.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 4.依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 5.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边作正方形EFGH，则正方形EFGH的周长为(　　) A.2 B.2 C.＋1 D.2＋1 6.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(　　) A.(3，1) B.(3，－1) C.(1，－3) D.(1，3) 7.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP的长为（　　） A.2 B.3 C.5 D.8 9.现有1张大长方形和2张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（　　） A.m﹣n B.2m﹣n C. D. 10.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 12.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10 cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　） A. cm2 B.50 cm2 C. cm2 D.25 cm2 二、填空题 13.如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 14.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　     　． 15.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是__________(只填写序号)． 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__________． 17.如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的最小值为2，则AE的长为 　     　． 三、解答题 18.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC. 19.平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 20.如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB. (1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； (2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 21.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF. (1)求证：BD＝AF； (2)判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 22.如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2，求点Q的坐标. 北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(　　) A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6 【答案】D 【解析】如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分， ∴(6＋9＋x)×9－x·(9－x)＝(6＋9＋x)×9－6×3，解得x＝3或x＝6. 2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为(　　) A.2.4 B.2 C.1.8 D.1.5 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∠D＝90°，CD＝AB＝3，∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠AEC，∴∠AEB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴EC＝BC＝5，∴DE＝＝4，∴AE＝AD－DE＝1， ∴＝AE·AB＝×1×3＝1.5. 3.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】如图， ∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°， ∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°. 4.依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意； B．32+42=52，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意； C．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意； D．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意. 5.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边作正方形EFGH，则正方形EFGH的周长为(　　) A.2 B.2 C.＋1 D.2＋1 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∠BCD＝90°， ∵E，F分别是BC，CD的中点，∴CE＝BC＝，CF＝CD＝，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EF＝CE＝，∴正方形EFGH的周长＝4EF＝4×＝2. 6.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(　　) A.(3，1) B.(3，－1) C.(1，－3) D.(1，3) 【答案】B 【解析】连接AB交OC于点D， ∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，∴点B的坐标是(3，－1)． 7.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC，△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确； 由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD，AC互相平分，故②正确； 由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，BA＝BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵AC∥DE，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE，故④正确； 综上可得①②③④正确，共4个． 8.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP的长为（　　） A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】B 【解析】∵A（﹣10，0），C（0，﹣4），∴AO＝10，OC＝4， ∵D是OA的中点，∴AD＝OD＝5，∴OP＝OD＝5， ∴CP＝＝＝3. 9.现有1张大长方形和2张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（　　） A.m﹣n B.2m﹣n C. D. 【答案】D 【解析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的长为a，则m+y＝a+x，y+a＝n+x， ∴x＝﹣a+y+m，y＝x+n﹣a，∴x﹣y＝（﹣a+y+m）﹣（x+n﹣a）， 即x﹣y＝y+m﹣n﹣x，2x﹣2y＝m﹣n， ∴x﹣y＝， 即小长方形的长与宽的差是. 10.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于 【答案】B 【解析】如图，连接BD． ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝4， ∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°． ∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°．∴∠A＝∠CDB． ∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE， 在△ABE和△DBF中， ∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝4， 即AE+CF的长度保持不变恒等于4． 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【答案】D 【解析】如图，作BM⊥x轴于M． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5， ∴AD＝＝＝， ∴正方形ABCD的面积为34. 12.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10 cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　） A. cm2 B.50 cm2 C. cm2 D.25 cm2 【答案】D 【解析】如图1，连接AC， ∵菱形ABCD中，AB＝BC， 又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵对角线AC＝10 cm，∴BC＝10 cm，∴CE＝BC＝10 cm， 如图3，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵△DCE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ECH＝30°，∴EH＝CE＝5 cm， ∴△BCE的面积＝（cm2）. 二、填空题 13.如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 【答案】130° 【解析】如图，延长HG交CD于点M， ∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝40°， ∵四边形EFGH是矩形，∴∠FGH＝90°，∴∠FGM＝90°，∴∠CFG＝∠FGM＋∠2＝90°＋40°＝130°. 14.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　     　． 【答案】9 【解析】设图1中的直角三角形另一条直角边长为b， ∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2， ∴S1﹣S2＝9. 15.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是__________(只填写序号)． 【答案】②③或①④ 【解析】有6种选法： (1)①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； (2)②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误； (3)①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； (4)②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； (5)①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误； (6)③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； 综上所述：错误的是②③或①④. 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__________． 【答案】5或6 【解析】如图，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6. 如图1，当PB＝PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP＝DP＝AD＝3. 在Rt△ABP中，由勾股定理得PB＝＝＝5； 如图2，当BP＝BC＝6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．综上所述，PB的长度是5或6. 17.如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的最小值为2，则AE的长为 　     　． 【答案】4 【解析】作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接PE，则∠PFE＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝30°，∴AD＝AB，CD＝CB， ∵AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝15°，∴PG＝PF， ∵PQ≥PG，∴当PQ＝PG时，PQ的值最小， ∵PQ的最小值为2，∴PG＝PF＝2， ∵EG垂直平分AP，∴AE＝PE，∴∠EPA＝∠BAC＝15°，∴∠PEF＝∠EPA+∠BAC＝30°， ∴AE＝PE＝2PF＝4. 三、解答题 18.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，∴DC∥BE， 又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形， ∴DB＝CE，∴AC＝CE. 【解析】 19.平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴DF∥BE， ∵CF＝AE，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD， 又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF， 在Rt△ADE中，∵AE＝3，DE＝4，∴AD＝＝5，∴DF=5，∴. 【解析】 20.如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB. (1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； (2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 【答案】解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形. (2)∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形. (3)∵四边形AEDF为正方形，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可． 【解析】 21.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF. (1)求证：BD＝AF； (2)判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE， ∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴BD＝AF. (2)四边形ADCF是菱形； 理由如下：由(1)知，AF＝DB. ∵DB＝DC，∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC， ∴四边形ADCF是菱形． 【解析】 22.如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2，求点Q的坐标. 【答案】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E， ∵四边形ABCO为正方形，∴OC＝BC＝AB＝OA，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°， ∵PE⊥OB，∴△OPE为等腰直角三角形，∴PE＝＝＝， ∵BP为∠ABO的平分线，PA⊥AB，PE⊥OB，∴PE＝PA＝，∴OA＝OP+PA＝， ∴C，A，P（2，0），B， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将C，A代入得，解得 ∴直线AC的解析式为， 设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将P（2，0），B代入得，解得 ∴直线BP的解析式为， 联立直线AC与直线BP的解析式得，解得 ∴Q． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$