一次函数与一次方程、不等式 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

一次函数与一次方程、不等式 思维导图 1. 对于一元一次方程kx+b=0，从“数”看，在一次函数y=kx+b中，当y=0时x的值即为方程kx+b=0的解；从“形”看，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标即为方程kx+b=0的解。 2. 对于一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0），从“数”看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从“形”看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有点的横坐标所构成的集合。 3. 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所 组成的二元一次方程组的解。 知识要点： 1. 一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化 为kx+b=0（k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。 2. 二元一次方程（组）与一次函数的关系：二元一次方程y=kx+b （k≠0）的每一组解对应直线y=kx+b（k≠0）上的每一个点的横、纵坐 标，而方程组的解对应直线y1与y2的交点的横、纵坐标。 3. 函数图象的位置决定两个函数值的大小关系：①若函数y1的图象在y2 的上方，则y1>y2；②若函数y1的图象在y2的下方，则y1<y2。 4. 利用函数图象研究方程或方程组的解以及不等式（组）的解集，主要 体现了数形结合思想，利用函数图象与坐标轴或函数图象之间的交点来 确定方程或方程组的解，利用函数图象之间的上下关系来确定不等式的 解集。 知识点一：一次函数与一次方程 若直线y=mx-2和y=nx-6相交于x轴上同一点，则的值为 （　　） A. B. C. 3 D. -3 根据题意解方程求出两个函数的图象与x轴交点的横坐标， 根据题意建立相等关系即可求解。 依题意，解方程mx-2=0，得，解方程nx-6=0，得，由题意得，解得n=3m，∴。故选A。 本题考查一次函数图象与x轴的交点问题，理解题意是解题 的关键。 已知直线y=x+m和直线y=2x+n的交点坐标是（2，2），那么m+n的值是 ⁠。 【解析】∵直线y= ×2+m，2=2×2+n，解得m=1，n=-2。∴m+n=1-2=-1。故答案为-1。 -1 知识点二：一次函数与二元一次方程组 如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P （m，3），一次函数的图象经过点B（1，1），与y轴的交点 为D，与x轴的交点为C。 （1）求一次函数的表达式。 （2）求点D的坐标。 （3）不解关于x，y的方程组直接写出方程组的解。 （1）将点P（m，3）代入y=-3x，求出m的值，得到P（-1，3），把P，B两点的坐标代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数表达式。（2）根据一次函数的表达式即可求出点D的坐标。（3）正比例函数图象与一次函数图象的交点坐标即为两函数表达式组成的二元一次方程组的解。 （1）∵正比例函数y=-3x的图象过点P（m，3），∴-3m=3，解得m=-1。∴P（-1，3）。把（1，1）和（-1，3）代入一次函数y=kx+b，得解得∴一次函数的表达式为y=-x+2。 （2）由（1）知一次函数的表达式为y=-x+2，令x=0，则y=2，即点D（0，2）。 （3）∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P（-1，3）， ∴方程组的解为 本题考查一次函数与二元一次方程组，在平面直角坐标系 中，二元一次方程组的解可以看成两条直线交点的横、纵坐标。 如图所示为在同一平面直角坐标系内作出的一次函数l1，l2的 图象，设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则方程组的解是 （　D　） D A. B. C. D. 已知一次函数y=mx-n（m，n是常数，m≠0）与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1），则关于x，y的方程组 的解是 　　 。 知识点三：一次函数与不等式 已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象（如图1）。 （1）方程kx+b=0的解为 　　　　，不等式kx+b<4的解集 为 　　　　　　　　。 （2）正比例函数y=mx（m为常数，且m≠0）与一次函数y=kx+b相交于点P（如图2），则不等式组的解集为 　　　　　　　　。 （3）在（2）的条件下，比较mx与kx+b的大小（直接写出结果）。 （1）根据点A的坐标即可得方程kx+b=0的解，再根据点B的 坐标即可得不等式kx+b<4的解集。（2）根据函数图象分别求出不等式 mx>0和kx+b>0的解集，再找出它们的公共部分可得不等式组的解集。 （3）根据点P的横坐标，分x<1，x=1和x>1三种情况，结合函数图象即 可得到答案。 （1）x=2 x>0 （2）0<x<2 （3）由函数图象可知，当x<1时，mx<kx+b；当x=1时，mx=kx+b；当x>1时，mx>kx+b。 本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象与方 程、不等式的关系是解题关键。 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点 （1）求出a，b的值。 【答案】（1）当x=代入y=ax+4，得 。 （2）求出两条直线与x轴围成的三角形的面积。 【答案】（2）∵a=-×6×3=9。 （3）根据图象直接写出，当x为何值时，函数y=ax+4的值大于函数y=2x的值。 【答案】（3）由图象可得，当时，函数y=ax+4的值大于函数y=2x的值。 某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象 与性质。组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与 性质进行了探究，并尝试解决了相关问题。下面是小东的探究过程，请 补充完成： （1）化简函数表达式：①当x≥2时，y= 　　　　。②当x<2时， y= 　　　　。 （2）根据（1）中的结果，请在如图所示的坐标系中画出函数的图象。 （3）结合画出的函数图象，解决问题： 若关于x的方程ax+1=只有一个实数解，写出实数a的取值范围。 （1）分两种情况讨论：当x≥2时，y=x；当x<2时，y=2。 （2）依据函数表达式直接画出函数图象。（3）由图象判断函数y=ax+1 与的图象只有一个交点时a的取值范围，即可使得关于x的 方程ax+1=只有一个实数解。 （1）当x≥2时，；当x<2时，。故答案为x；2。 （2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下： （3）根据画出的函数图象可得， ①当a<0时，直线y=ax+1与函数的图象只有一个交点； ②当a≥1时，直线y=ax+1与函数y=2（x<2）的图象有一个交点，与函数y=x（x≥2）的图象没有交点； ③当a=时，直线y=ax+1经过点（2，2）。综上所述，若关于x的方程 ax+1=只有一个实数解，则实数a的取值范围是或a≥1或 a<0。 本题考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图 象的画法，并将图象与方程联系起来，从图象中获得方程解的信息是解 题的关键。 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A，B两点，若点B 的坐标为（3，0），则不等式ax+b>0的解集是（　D　） A. x>0 B. x>3 C. x<0 D. x<3 D 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n的图象如图所 示，方程组的解为（　B　） A. B. C. D. B 3. 已知A，B两地相距4 km。上午8：00甲从A地出发步行到B地，上午 8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离y（km）与 甲所用的时间x（min）之间的关系如图所示。由图中的信息可知，乙到 达A地的时间为（　C　） A. 8：30 B. 8：35 C. 8：40 D. 8：45 C 4. 若直线y=kx+2与函数y= | x | 的图象恰好只有一个交点，则实数k的取值范围是（　B　） A. 1≤k≤2 B. k≤-1或k≥1 C. k≤-1 D. 1≤k≤2或k≤-1 【解析】若直线y=kx+2与函数y= | x | 的图象恰好只有一个交点，则直线y=kx+2与直线y=-x（x<0）相交，与直线y=x（x>0）不相交，此时k≥1；直线y=kx+2与直线y=x（x>0）相交，与直线y=-x（x<0）不相交，此时k≤。∴k的取值范围是k≤-1或k≥1。故选B。 B 5. 已知某一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象平行，且与直线y=5x-2交于y轴上的同一点，则此一次函数的表达式为 ⁠。 6. 如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=3x+a，直线y2=-bx+5相交于点A（1，2），则关于x的不等式（3+b）x≤5-a的解集是 ⁠。 y=2x-2 x≤1 7. 已知直线l1：y=-3x+a和l2：y=2x+b图象上部分点的横坐标和纵坐标如下表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解 是 　​ 　。 x -2 -1 0 1 2 y=-3x+a 8 5 2 -1 -4 y=2x+b -7 -5 -3 -1 1 ​ 8. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）和（-4，-9）。 （1）求这个一次函数的表达式。 【答案】（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）和 （-4，-9），∴∴这个一次函数的表达式为y=2x-1。 （2）判断点是否在这个一次函数的图象上。 【答案】（2）当在这个一次 函数的图象上。 （3）直接写出关于x的一元一次方程kx+b=0的解。 【答案】（3）由（2）可得一元一次方程kx+b=0的解为。 9. 如图，一次函数y=-x+m的图象与y=x+n的图象交于点P（a，-1），与y轴交于点A（0，1），y=x+n的图象与y轴交于点B。 （1）求a，n的值。 【答案】（1）把A（0，1）代入y=-x+m，得1=0+m，∴m=1。∴y=-x+1。把P（a，-1）代入y=-x+1，得-a+1=-1，解得a=2，∴点P的坐标为（2，-1）。把P（2，-1）代入y=x+n，得2+n=-1，解得n=-3，∴a，n的值分别为2，-3。 （2）求△ABP的面积。 【答案】（2）由（1）知y=x-3，当x=0时，y=-3，∴点B的坐标为（0，-3）。∴AB=4。∴△ABP的面积=×4×2=4。 （3）根据图象写出-x+m>x+n的解集。 【答案】（3）由图象可知，不等式的解集为x<2。 10. 如图，一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y=mx （m是常数，且m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断不正确的 是（　D　） A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B. 关于x，y的方程组的解是 C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 D. 关于x的不等式（m-k）x>b的解集是x<1 D 11. 已知一次函数的图象与x轴交于点A，的图象 与y轴交于点B，这两个一次函数的图象相交于点P，则△ABP的面积 是 　​ 　。 ​ 【解析】令y=0，则联立与x轴的交点为C。 令y=0，则，S△ABP=S△APC+S△ABC=。 12. 如图，同一平面直角坐标系中，函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象交于点P（-1，2），则关于x的不等式k1（x-1）+b1>k2（x-1）+b2的解集为 ⁠。 x<0 【解析】∵两条直线的交点坐标为（-1，2），∴两条直线向右平移一个 单位后，交点坐标为（0，2），且当x<0时，直线y=k1（x-1）+b1在直线y=k2（x-1）+b2的上方。故不等式k1（x-1）+b1>k2（x-1）+b2的解集为x<0。故答案为x<0。 13. 如图，在平面直角坐标系中，过点（1，3）的直线l1：y=kx+b和直线 l2：y2=x交于点A（m，2），与x轴交于点B。 （1）求直线l1的函数表达式。 【答案】（1）∵点A（m，2）在直线l2：y2=x上，∴m=2。∴A（2，2）。∵直线l1：y=kx+b经过点（1，3）和点A， ∴∴直线l1的函数表达式为y=-x+4。 （2）当y1>y2时，自变量x的取值范围是 　　　　　　　　。 【答案】（2）由函数图象可知，当x<2时，y1>y2。故答案为x<2。 （3）求△ABO的面积。 【答案】（3）∵B是直线y=-x+4与x轴的交点，∴B（4，0）。∴OB=4。∵A（2，2），∴S△ABO=×4×2=4。 （4）已知直线l3：y3=k3x+6与直线l1平行，直接写出直线l3与直线l2和x轴围成的区域内（不含边界）整点的个数。（横、纵坐标都为整数的点叫整点） 【答案】（4）∵直线l3：y3=k3x+6与直线l1平行，∴k3=-1。∴直线l3的函数表达式为y3=-x+6。∴∴直线l3与直线l2的交点坐标为（3，3）。∴直线l3与直线l2和x轴围成的区域内（不含边界）整点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），共4个。 14. 如图，已知直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，与直线y=kx相交于点C（2，n），P为直线y=-x+4上一点。 （1）若点P在射线CA上，且S△POC=3S△AOC，求点P的坐标。 【答案】（1）把点C（2，n）代入表达式y=-。∴y=x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A（3，0），B（0，4）。∴OA=3。如图1，过点C作CM⊥x轴于点M，∴CM=。∴S△AOC==2。∴S△POC= 3S△AOC=3×2=6。∵点P在射线CA上， ∴S△OAP=S△POC-S△AOC=4。过点P作PN⊥x轴于点N， ∴S△OAP=×3×PN=4。∴PN= （2）若△POC的面积为1，求点P的坐标。 【答案】（2）设点P的坐标为 （3）点Q在函数y=的图象上，设△QOC的面积为m（m为常数且m>0），试确定当m在不同的取值范围时，满足条件的点Q的个数 （直接写出结果）。 【答案】（3）函数y=的图象如图2所示，当点Q和点A重合时，S△QOC=S△AOC=2，即m=2。由图可知，当m=2时，满足条件的点Q有3个（如图2中红色点）；当m>2时，满足条 件的点Q有2个（如图2中绿色点）； 当0<m<2时，满足条件的点Q有4个 （如图2中黑色点）。 $$