一次函数与几何图形综合 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

一次函数与几何图形综合 思维导图 1. 一次函数的图象是一条直线，利用函数的性质可以研究直线之间的平 行或垂直等特殊位置关系。 2. 利用一次函数的图象结合三角形的性质可以解决三角形的存在性或三 角形面积计算等问题。 3. 平面直角坐标系中点的轴对称、平移和旋转可以拓展到一次函数图象 的轴对称、平移和旋转，由此可解决由图形变换产生的几何计算。 知识要点： 1. 以一次函数为背景的常见几何模型有以下几个： 这些基本图形的主要作用是利用平面直角坐标系中坐标的几何意义构造 直角三角形全等来建立坐标与图形之间的数量关系。 2. 以一次函数为背景的特殊几何图形有等腰三角形、直角三角形和特殊 的四边形，探究这类图形的存在性问题是常见题型，这类问题要根据图 形的位置分类讨论，并利用勾股定理结合方程思想进行计算。 3. 解决坐标平面内的图形面积计算问题的常用方法有：（1）割补法。 （2）转化（等积变形）法。（3）铅垂法（三角形的面积等于铅垂高与 水平宽的积的一半）。 知识点一：平面直角坐标系中几何图形性质的应用 如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D，E是线段BC的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连结EF，若AF平分∠DFE，求k的值。 分两种情况：①当点F在点D，C之间时，作出辅助线，求出 点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时，求出点F的坐标即可 求出k的值。 ∵点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于点B， CD⊥y轴于点D，∴AB=BC=CD=AD=2。 ①如图，过点A作AG⊥EF于点G，连结AE。∵AF平分 ∠DFE，∴AG=AD=2。 在Rt△ADF和Rt△AGF中，∵∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）。∴DF=FG。 ∵E是BC边的中点，∴BE=CE=1。∴AE==。 ∴GE==1。 在Rt△FCE中，EF2=FC2+CE2，即（DF+1）2=（2-DF）2+1，解得DF=。∴把点F的坐标代入y=kx，得2=k，解得k=3。 ②当点F与点C重合时，∵DC=DA，∠ADC=90°，∴∠DCA=45°。同理可得∠ACB=45°，∴AF平分∠DFE。∴F（2，2）。把点F的坐标代入y=kx，得2=2k，解得k=1。综上所述，k的值为1或3。 本题是一次函数与几何图形的综合，涉及角平分线的性质、 三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据 图形的性质确定图中点F的坐标，从而利用待定系数法求k。 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8， 0），与y轴交于点B（0，8），D为OA延长线上一动点，以BD为直角边 在其上方作等腰直角三角形BDE，连结EA。 （1）求证：∠EAD=∠OAB。 【答案】（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于点G。 ∴∠EGD=∠DOB=∠EDB=90°，ED=DB。 ∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°。∴∠1=∠3。在△EGD和△DOB中，∵∴△EGD≌△DOB（AAS）。∴EG=DO，GD=OB。∵A（8，0），B（0，8），∴OB=OA=8。∴GD=OA。∴DO=DA+OA=DA+DG=AG。∴EG=AG。∴∠EAG=∠GEA=45°。又∵OA=OB=8，∴∠OAB=∠OBA=45°。∴∠EAD=∠OAB。 （2）求直线EA与y轴的交点F的坐标。 【答案】（2）如图2，∵∠EAD=45°，∠AOF=90°， ∴∠OAF=∠OFA=45°。∴OA=OF=8。∴点F的坐标为（0，-8）。 知识点二：一次函数与几何图形的相关计算 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三个点，且 OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为8。 （1）求点D的坐标。 （2）求直线AD的函数表达式。 （3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，连结EF，求△EFA的面积。 （1）依据待定系数法即可得到直线BC的函数表达式，再根 据△ABD的面积，即可得到点D的纵坐标。（2）利用待定系数法即可得 到直线AD的函数表达式。（3）依据CF⊥AD，CO⊥AB，即可得到 ∠FCO=∠EAO，再判定△AOE≌△COF（ASA），即可得到OF=OE=，即可得出，根据三角形面积公式即可求出结果。 （1）由题意可得，B（-4，0），C（0，4）。设直线BC的函 数表达式为y=kx+b（k≠0），则解得∴直线BC的函数表达式为y=x+4。∵OA=OB=4，∴AB=8。∵△ABD的面积为8，∴×8×yD=8，解得yD=2。 当y=2时，2=x+4，解得x=-2，∴点D的坐标为（-2，2）。 （2）由题意可得A（4，0）。设直线AD的函数表达式为y=mx+n （m≠0），则解得∴直线AD的函数表达式为y=-x+。 （3）当x=0时，y=-x+=，∴∵CF⊥AD，CO⊥AB， ∴∠FCO+∠CFO=90°，∠EAO+∠CFO=90°。∴∠FCO=∠EAO。在△AOE和△COF 中，∵∴△AOE≌△COF（ASA）。∴OF=OE=。 ∴∴S△EFA=。 本题主要考查一次函数的综合运用，涉及待定系数法以及全 等三角形的判定与性质，利用一次函数的表达式研究几何图形中点、线 的位置是解决问题的关键。 如图，函数y=x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连结BC。 （1）求线段OC的长。 【答案】（1）一次函数y= x+4，∴x=8。∴A（8，0）。设OC=a。∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，∴BC=AC=8-a。在Rt△OBC中，OC2+OB2=BC2，∴a2+42=（8-a）2。∴a=3。∴线段OC的长为3。 （2）若点E是点C关于y轴的对称点，求△BED的面积。 【答案】（2）∵点E是点C关于y轴的对称点，线段OC的长为3，∴E （，0）。∴AE=11。∵A（8，0），B（0，4），∴D（4，2）。∴S△BED=S△ABE-S△AED=×11×2=11。 （3）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角 形，请求出所有满足条件的点P的坐标。 【答案】（3）∵线段OC的长为3，∴C（3，0）。设P（0，m）。∵B （0，4），∴BC2=25，CP2=32+m2=9+m2，BP2=（m-4）2。①当PC=PB时，m2+9=（m-4）2，∴m= ②当CP=CB时，m2+9=25，∴m=4（舍去）或m=-4。∴点P的坐标为（0，-4）。 ③当BC=BP时，25=（m-4）2，∴m=9或m=-1。∴点P的坐标为（0，9）或（0，-1）。 综上所述，点P的坐标为或（0，-4）或（0，9）或（0，-1）。 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点 A，B，点C在x轴的负半轴上，且OC=OB，P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），以BP为斜边在直线BC的右侧作等腰直角三角形BPD。 （1）求直线BC的函数表达式。 （2）如图1，当S△BPD=S△ABC时，求点P的坐标。 （3）如图2，连结AP，E是线段AP的中点，连结DE，OD。试探究∠ODE的大小是否为定值，若是，求出∠ODE的度数；若不是，请说明理由。 （1）由y=-x+4可得点B的坐标为（0，4），而OC=OB=2，得C（-2，0），用待定系数法即可求得答案。（2）设P（m，2m+4）（-2<m<0），由S△BPD=BD ⋅ PD=BD2=PB2，结合勾股定理列出方程即可求得点P的坐标。（3）延长DE到点G，使EG=DE，连结AG，OG，先证明△AEG≌△PED，再证△OBD≌△OAG，可得OD=OG，∠DOG=∠BOA=90°，即 得∠ODE=∠OGD=45°。 （1）在y=-x+4中，令x=0得y=4，∴B（0，4）。∵OC=OB=2，∴C（-2，0）。设直线BC的函数表达式为y=kx+b。∴解得∴直线BC的函数表达式为y=2x+4。 （2）设P（m，2m+4）（-2<m<0）。∵△BPD是等腰直角三角形， ∴S△BPD=BD ⋅ PD=BD2=PB2。∵B（0，4），∴PB2=m2+（2m+4-4）2=5m2。∴S△BPD=m2。 在y=-x+4中，令y=0得x=4，∴A（4，0）。∴S△ABC=AC ⋅ OB=×[4-（-2）]×4=12。∵S△BPD=S△ABC，∴m2=×12，解得m=（不合题意，舍去）或m=-。 ∴ （3）∠ODE是定值，∠ODE的度数为45°。理由如下： 如图3，延长DE到点G，使EG=DE，连结AG，OG。设∠PAO=x°， ∠GAO=y°。 ∵EP=EA，∠DEP=∠GEA，∴△AEG≌△PED（SAS）。∴AG=PD，∠DPE=x°+y°。∵∠BPA=∠PCO+∠PAC，∠BPA=∠BPD+∠DPA，∴∠PCO=45°+x°+y°-x°=45°+y°。∴∠CBO=90°-（45°+y°）=45°-y°。∵∠PBD=45°，∴∠OBD=y°=∠GAO。∵AG=PD，PD=BD，∴AG=BD。又∵OA=OB，∴△OBD≌△OAG（SAS）。 ∴OD=OG，∠BOD=∠AOG。 ∴∠DOG=∠BOA=90°。 ∴∠ODE=∠OGD=45°。 本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面 积、全等三角形的判定与性质等多个知识点，难度较大，解题的关键是 作辅助线，构造全等三角形解决问题。 1. 如图，A为x轴负半轴上一点，过点A作AB⊥x轴，与直线y=x交于点B，将△ABO沿直线y=x向上平移5个单位得到△A′B′C′，若点A的坐标为（-3，0），则点B′的坐标是（　B　） A. （1，1） B. （2，2） C. （3，3） D. （5，5） B 2. 如图，Rt△ABC的斜边BC=5，点A，B的坐标分别是（1，0），（4， 0），将Rt△ABC沿第一象限的角平分线方向平移，当点C落在直线y=2x-6上时记作点C′，则点C′的坐标是（　A　） A. （9，12） B. （10，14） C. （11，16） D. （12，18） A 3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，C，D分别是 线段OB，AB的中点，P为线段OA上的一动点，则PC+PD的值最小时点P的坐标是（　B　） A. （2，0） B. （1，0） C. D. B 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1）， （4，1），（2，3），若直线y=kx与△ABC的三边有两个公共点，则k的 取值范围是 　​ 　。 ​ 5. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是 　​ 　。 ​ 6. 如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A（4，0），过点A作直线 AB⊥x轴，交正比例函数的图象于点B。点M从点O出发，以每秒1 个单位的速度沿射线OB运动，设其运动时间为t（s），过点M作MN⊥OB 交直线AB于点N，当△MBN≌△ABO时，t= s（写出所有可能的结果）。 2或8 7. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：与 x轴、y轴的正半轴分别相交于点A，B，过点C（-2，-2）作平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=5。 （1）求m的值。 【答案】（1）∵CD=5，C（-2，-2），∴D（-2，3）。将点D（-2，3）代入y=-×（-2）+m=3，∴m=2。 （2）求证：△ABC是等腰直角三角形。 【答案】（2）由（1）得y=-x+2，令x=0，则y=2，∴B（0，2）。令y=0，则-x+2=0，解得x=4，∴A（4，0）。如图，过点C作CH⊥y轴于点H，∴CH=OH=2，BH=4。在△AOB和△BHC中，∵∴△AOB≌△BHC （SAS）。∴AB=BC，∠HBC=∠OAB。 ∴∠ABC=∠ABO+∠HBC=∠ABO+∠OAB=90°。∴△ABC是等腰直角三角形。 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m交y轴于点A，交x轴于点B，C为线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连结BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M。 （1）求点F的坐标。（用含m的代数式表示） 【答案】（1）直线y=-x+m，令x=0，则y=m，令y=0，则x=m，∴点A，B的坐标分别为（0，m），（m，0）。∴OA=OB=m。∴∠ABO=45°。∵C为线段OB的中点，∴OC=BC= （2）求证：OF⊥AC。 【答案】（2）由（1）得OC=BF=m，OB=OA，∠AOC=∠OBF=90°，∴△AOC≌△OBF（SAS）。∴∠OAC=∠FOB。∵∠FOB+∠AOE=90°， ∴∠OAC+∠AOE=90°。∴∠AEO=90°。∴OF⊥AC。 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分 别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么点A2027的纵坐标是（　A　） A. B. C. D. A 【解析】如图，分别过点A1，A2，A3，…作A1E1⊥x轴， A2E2⊥x轴，A3E3⊥x轴，…于点E1，E2，E3，…。 ∴A1E1=OE1=B1E1，A2E2=B1E2=B2E2，A3E3=B2E3=B3E3，…。∵A1（1，1）在直线上，∴+b=1，解得。∴。设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2027（x2027，y2027），则有y2=x2+，y3=x3+，…，y2027=x2027+。又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，∴x2=2y1+y2，x3=2y1+2y2+y3，…，x2027=2y1+2y2+2y3+…+2y2026+y2027。将点坐标依次代入直线表达式得，y2=y1+1，y3=y1+y2+1=y2，y4=y3，…，y2027=y2026，又∵y1=1， ∴y2=，y3=，y4=，…，y2027=。故选A。 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的 坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正 方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2 为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点 D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3……按此规律操作下所得到的正方形 A2028B2028C2028D2028的面积是 　​ 　。 ​ 【解析】∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D1OA1=45°。 ∴D1A1=OA1=1。∴正方形A1B1C1D1的面积=1=。 11. 如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l的函数表达式为 　​ 　。 ​ 【解析】如图，作直线BM交CD于点M，过点M作MN∥y轴，交BC于点 N。设直线BM将四边形ABCD分成面积相等的两部分。 设直线DC的函数表达式为y=k1x+b1，将点D（0，3），C（3，0）代入，得 。 12. 如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系xOy中的一个动点，直线l1： y=2x+6与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2经过点B和点（6，3）并与x轴交于点C。 （1）求直线l2的函数表达式及点C的坐标。 【答案】（1）令x=0，则y=2x+6=6，∴B（0，6）。令y=0，则2x+6=0，解得x=-3，∴A（-3，0）。设直线l2的函数表达式为y=kx+b。将（0，6），（6，3）代入得∴直线l2的函数表达式为y=-x+6=0，解得x=12，∴C（12，0）。 （2）点P会落在直线l1：y=2x+6上吗？请说明理由。 【答案】（2）将点P（a，a+3）代入y=2x+6，∴a+3=2a+6，解得a=-3。∴P（-3，0）。∴点P会落在直线l1上。 （3）当点P在△ABC的内部时。 ①求a的取值范围。 【答案】（3）①∵P（a，a+3），∴点P在直线y=x+3上。令y=0，则 x+3=0，解得x=-3，∴直线y=x+3与x轴的交点为（-3，0）。联立方程组∴直线y=x+3与直线BC的交点为（2，5）。∵点P在△ABC的内部，∴-3<a<2。 ②是否存在点P，使得∠OPA=90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】②存在点P，使得∠OPA=90°。理由如下：∵A（-3，0）， ∴AO=3。设AO的中点为M，则点M的坐标为 13. 【模型建立】 如图1，在等腰直角三角形ABC中，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E。求证：△ACD≌△CBE。 【答案】【模型建立】∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB=CA， ∠ACD+∠BCE=90°。又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC=∠CEB=90°， ∠EBC+∠BCE=90°。∴∠ACD=∠EBC。在△ACD和△CBE中， ∵∴△ACD≌△CBE（AAS）。 【模型应用】 （1）如图2，直线l1：y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2对应的函数表达式。 【答案】【模型应用】（1）如图1，过点B作BC⊥AB，交l2于 点C，过点C作CD⊥y轴于点D。 ∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形。由（1）可知△CBD≌△BAO，∴BD=AO，CD=OB。在直线l1：y=x+4=0，解得x=-3；若x=0，则y=4，∴A（-3，0），B（0，4）。∴BD=AO=3，CD=OB=4。∴OD=4+3=7。∴C（-4，7）。设直线l2的函数表达式为y=kx+b，则∴直线l2的函数表达式为y=-7x-21。 （2）如图3，四边形ABCO是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为（8， -6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限。若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标。 【答案】（2）D（4，-2）， $$