数形结合 以数解形 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

数形结合 以数解形 思维导图 知识要点： 数形结合中的另一种情况是借助数的精确性来阐明形的某些属性， 即为以数解形，这里的“数”指的是数、代数式、方程、函数、数量表达 式等。 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计 算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确地把图形数字化，还要留心 观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何 意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。以数解形，就是 用代数的方法来研究平面几何问题，视为代数问题的实际应用或化归为 代数问题来解决，具体表现为： 1. 运用代数的概念知识。 2. 恰当使用数式运算或方程。 3. 适时建立代数模型。 知识点一：利用方程解决几何图形的边角计算问题 如图，公路上A，B两点相距8 km，C为某村庄，D为新开发景点， DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=3 km，CB=2 km，现在要在公路AB上建一个加油站E，使得加油站E到C，D两地的距离相等。 （1）尺规作图确定加油站E的位置。（保留作图痕迹） （2）加油站E应建在距点A多少千米处？请说明理由。 （1）连结CD，作线段CD的垂直平分线即可。（2）连结 DE，CE，则DE=CE，设AE=x km，可得BE=（8-x） km，由勾股定理得AD2+AE2=BE2+BC2，列方程求出x的值即可。 （1）如图，点E即为所求。 （2）如图，连结DE，CE，则DE=CE。 设AE=x km，则BE=AB-AE=（8-x） km。∵DA⊥AB，CB⊥AB， ∴AD2+AE2=BE2+BC2，即32+x2=（8-x）2+22，解得x=。∴加油站E应建在距点A km处。 本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段 垂直平分线的性质以及利用勾股定理得到方程是解题的关键。 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连结MN，交AD于点E，求AE的长。 【答案】如图，连结EC，由作图方法可得，MN垂直平分 AC，则AE=EC。∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD=DC=3，AD⊥BC。 在Rt△ABD中，。设 DE=x，则AE=EC=4-x。在Rt△EDC中，DE2+DC2=EC2，即x2+32=（4-x）2，解得x=。 知识点二：利用平面直角坐标系解决图形变换或几何计算问题 运用“同一图形的面积的不同表示方式”可以证明一类含有线段的等 式，这种解决问题的方法我们称之为面积法。 （1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB，AC的距离分别为h1，h2。请用面积法证明：h1+h2=h。 （2）在（1）的条件下，当点M在BC的延长线上时，h1，h2，h之间的等量关系式为 　　　　。（直接写出结论不必证明） （3）如图2，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=-3x+3，若直线l2上的一点M到直线l1的距离是1，请运用（1）（2）的结论求出点M的坐标。 （1）连结AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h。（2）根据（1）的方法，利用三角形面积的关系求解即可。（3）先根据直线的函数表达式求出A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解。 （1）连结AM。∵S△ABC=S△ABM+S△AMC， S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h， ∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2。∵AB=AC，∴h1+h2=h。 （2）h1-h2=h （3）在yx+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，∴A（-4，0），B（0，3）。 同理求得C（1，0），∴AB==5，AC=5。∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。 ①当点M在BC边上时，由h1+h2=h，得1+yM=OB，∴yM=3-1=2。 把y=2代入y=-3x+3中，得x=，∴ ②当点M在CB的延长线上时，由h1-h2=h，得yM-1=OB，∴yM=3+1=4。 把y=4代入y=-3x+3中，得x=，∴∴点M的坐标为或 解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角 形面积的关系，利用面积法求解在几何计算中经常用到，同时在平面直 角坐标系中，结合函数图象确定几何图形的边长和形状也非常重要。 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-2x+8交y轴于点 A，交x轴于点B，以AB为底作等腰三角形ABC，顶点C恰好落在y轴上， 连结BC，直线x=2交AB于点D，交BC于点E，连结CD。 （1）求点C的坐标和直线BC的函数表达式。 【答案】（1）在y=-2x+8中，令x=0可得y=8；令y=0可得x=4，∴A（0，8），B（4，0）。 ∴OA=8，OB=4。设OC=a，则AC=BC=8-a。在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC2=OC2+OB2，即（8-a）2=a2+42，解得a=3，∴C（0，3）。设直线BC的函数表达式为y=kx+b。把点B，C的坐标代入可得x+3。 （2）在x轴上存在一点P使PD+PC的值最小，请求出点P的坐标。 【答案】（2）将x=2代入y=-2x+8，得y=4。∴D（2，4）。作点C关于x轴的对称点C1，则点C1的坐标为（0，-3）。当点P为直线DC1与x轴的交点时，PD+PC的值最小。设直线DC1的函数表达式为y=mx+n。 可得∴直线DC1的函数表达式为y=3.5x-3。将y=0代入表达式，可得x= （3）求△DBC的面积。 【答案】（3）由（2）得D（2，4）。∵直线x=2交BC于点E， ∴×4=5，即△DBC的面积为5。 【综合与实践】美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形。 （1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形 较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾 股定理。 （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围 轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积。 （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=42，求S2的值。 （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来， 即可验证勾股定理。（2）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再 根据直角三角形的面积公式计算即可求解。（3）设八个全等的直角三 角形的面积均为m，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相 等，即可得到2S2=S1+S3，再根据S1+S2+S3=42，即可得出S2的值。 （1）由图1可得大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示 为4×ab+（a-b）2，∴4×ab+（a-b）2=c2，化简可得a2+b2=c2。 （2）24÷4=6，设AC=x，则AB=6-x。依题意得（x+3）2+32=（6-x）2，解得x=1，∴该飞镖状图案的面积为×（3+1）×3×4=×4×3×4=24。 （3）设八个全等的直角三角形的面积均为m，则S2=S1-4m，S2=S3+4m，两式相加，可得2S2=S1+S3。又∵S1+S2+S3=42，∴3S2=42。∴S2=14。 本题考查勾股定理的证明以及正方形的性质，本题是用数形 结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法。题（3） 考查了图形面积关系，根据已知得出用S1，S3表示出S2，再利用 S1+S2+S3=42求出S2的值是解决问题的关键。 1. 如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与点B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE=3∠BFH，∠BFH=20°，则∠GFH的度数为（　C　） A. 90° B. 120° C. 100° D. 60° C 2. 将正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（　A　） A. （63，32） B. （32，63） C. （25，28） D. （28，25） A 3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16 cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E。若BD=CE，则AC的长为（　A　） A. 12 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 15 cm A 4. 如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上， BD⊥AC于点D，则AC的长为 ，BD的长为 ⁠。 5 3 5. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB=AC，BD=AD，AC=DC，那么∠B= ⁠。 【解析】设∠B=x。∵AB=AC，∴∠C=∠B=x。∵AD=DB，∴∠DAB=∠B=x。∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x。∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=2x。在△ACD中，∠C=x，∠ADC=∠CAD=2x，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°。∴∠B=36°。故答案为36°。 36° 6. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后 人称其为“赵爽弦图”，如图1所示。在图2中，若正方形ABCD的边长为 14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ⁠。 【解析】设AH=a，则HD=14-a，由图可得，EK=HD，JK=2。∵AH=EJ=EK-JK=14-a-2=12-a，∴a=12-a，解得a=6。在Rt△AEH中，∵AH=6，AE=HD=14-6=8，∴HE=10。故答案为10。 10 7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC延长线上一点，AD=AB，求证：∠BAD=2∠ACB。 【答案】∵AD=AB，∴∠B=∠D。∴∠BAD=180°-∠B-∠D= 180°-2∠B。∵∠BAC=90°，∴∠ACB=90°-∠B。 ∴∠BAD=2∠ACB。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s。 （1）求BC边的长。 【答案】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理得（cm）。 （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值。 【答案】（2）由题意知BP=2t cm。①当∠APB=90°时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=4，∴t=4÷2=2。 ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=2t-4。在Rt△ACP中， AP2=AC2+CP2=32+（2t-4）2， 在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=（2t）2-52，∴32+（2t-4）2=（2t）2-52，解得。 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或。 9. 在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=α，∠BAD=β，且 AB=AC=CD，则β与α之间不可能存在的关系式为（　D　） A. β=90°-α B. β=180°-α C. β=-90° D. β=120°-α D 【解析】如图1，当点D在线段BC上时，∵∠ABC=α，CA=AB， ∴∠C=∠ABC=α。∵CD=CA，∴∠ADC=∠CAD= α-90°。故选D。 10. 如图，在△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分线，交CB的延长线于点F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分线，交AC的延长线于点G，若AF=BG=AB，则∠F的度数为 ⁠。 48° 【解析】设∠BAC的度数为x。∵BG=AB，∴∠BAC=∠G=x。 ∴∠DBG=∠BAC+∠G=2x。∵BG是∠DBC的平分线，∴∠DBC=4x。∴∠ABF=∠DBC=4x。∵AB=AF，∴∠F=∠ABF=4x。∴∠ACB=3x。∴∠EAF=∠F+∠ACB=7x。∵AF是∠BAC的外角∠EAB的平分线，∴∠BAF=7x。∴7x+7x+x=180°，解得x=12°。∴∠F=12°×4=48°。故答案为48°。 11. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E在边BC上，连结AE，若∠BAD-∠BAE=45°，AB=BC=4CD，AE=3，则线段AD的长为 　​ 　。 ​ 【解析】如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，延长DF至点H，使FH=BE，连结AH。 ∵∠AFD=∠B=∠C=90°，AB=BC，∴四边形ABCF为正方形。∴AB∥CD，AF=AB。在△ABE和△AFH中，∵ 。 12. 如图，用三种大小不等的正方形①②③和一个缺角的长方形拼成一 个长方形ABCD（不重叠且没有缝隙），若BF=a，GH=a，GK=a+1。 （1）试用含a的代数式表示：正方形②的边长为 　　　　，正方形③的 边长为 　　　　。 【答案】（1）2a 3a-1 【解析】由题意得，GN=GH+HN=GH+BF=a+a=2a，KM=GM-GK=2GN-GK=2×2a-（a+1）=4a-a-1=3a-1。故答案为2a；3a-1。 （2）用含a的代数式表示长方形ABCD的周长，并求出当a=3时，长方形ABCD的周长。 【答案】（2）由（1）可得，BC=a×3+2a×2=3a+4a=7a，CD=2a+（3a-1）=5a-1，∴长方形ABCD的周长为2×[7a+（5a-1）]=2×（7a+5a-1）=2×（12a-1）=24a-2。当a=3时，长方形ABCD的周长=24×3-2=70。 13. 对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决 有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下 列问题： （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 　　　　。 【答案】（1）如图1，作点A关于x轴的对称点A′（0，-1），连结A′B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小。设直线A′B的函数表达式为y=kx+b，则解得∴直线A′B的函数表达式为y=x-1。当y=0时，x-1=0，解得x=1。 ∴点P（1，0）。故答案为（1，0）。 （2）如图2，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD=2，AB=BC=5，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是 　　　　。 【答案】（2）如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连结BA′交直线l于点 P，此时PA+PB的值最小，且最小值为A′B的长。过点A作AM⊥BC于点M，则BM=BC-CM=BC-AD=5-2=3。 在Rt△ABM中，AM2=AB2-BM2=25-9=16=A′H2， BH=CH+BC=A′D+BC=2+5=7，在Rt△A′BH中， A′B===， 即PA+PB的最小值为。故答案为。 （3）如图3，直线a∥b，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为 2，点B到直线b的距离为2，且AB=，问：在直线a上是否存在点C， 在直线b上是否存在点D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，请说明理由。 【答案】（3）存在。理由如下：如图3，将点A向下平移1个单位得到点A′，连结BA′交直线b于点D，过点D作DC⊥a于点C，连结AC，则点C，D即为所求。∵AA′∥CD，且AA′=CD=1，∴由平移的性质可知AC=A′D。此时AC+CD+DB=A′D+CD+BD=CD+A′B为最小。 过点A′，A分别作直线a的平行线，分别交过点B的a的垂线于点G，H，则四边形AA′GH为长方形。∵BH=2+1+2=5，AB=，∴AH==3。在Rt△A′BG中，A′G=AH=3，BG=2+1+1=4，∴A′B===5。∴AC+CD+DB的最小值=CD+A′B=1+5=6。 （4）如图4，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD 在直线y=x上运动，且CD=2，则四边形ABCD周长的最小值 是 　　　　，此时点D的坐标为 　　　　。 【答案】（4）如图4，将点A沿平行于直线y=x的方向向右平移2个单 位得到A′（8，2），作点A′关于直线y=x的对称点A″（2，8），连结A″B 交直线y=x于点C，将点C沿直线y=x向下平移2个单位得到点D，则点 C，D即为所求。连结AD，A′C。∵A′A=CD，且CD∥AA′，∴AD=A′C。又∵A′C=A″C，∴AD=A″C。四边形ABCD的周长 =AB+CD+BC+AD=AB+CD+BC+A″C=4+2A″B为最小， A″B==4， ∴四边形ABCD周长的最小值为6+4。 由A″（2，8），B（6，4）可得，直线A″B的函数表达式为y=-x+10，则解得∴点C（5，5）。∵CD=2，直线y=x与x轴所夹锐角为45°，∴易得点D在点C左方2个单位、下方2个单位的位置。∴点D（3，3）。故答案为6+4；（3，3）。 $$