专题08几何压轴（浙江专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题08 几何压轴题 考点01 选择题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作，连接数 、，延长到点，使，连接，根据可得，利用可证，再利用可证，从而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位线定理可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作，连接数、，延长到点，使，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ， 点是的中点， 是梯形的中位线，                                       ，， ， ， 又， ， ， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 考点02 解答题 1．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示：    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 5．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 6．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，三边之比为（如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． （3）如图3，连接，，过点作于点，    则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 7．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②； (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)线段是定长，长度不发生变化，值为 (3)证明见解析 【分析】（1）以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，与交点为，则，分别以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，与交点为，即、点即为所求； （2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，； （3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；    （2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变； 如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，    ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段是定长，长度不发生变化，值为； （3）证明：如图3，延长、，交点为，          ∵， ∴点H为的中点， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【详解】（1）在中，， 在中，． （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则，    ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2．    ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3．    设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 几何压轴题 考点01 选择题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 考点02 解答题 1．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    5．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 6．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 7．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$